Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $2^x-4$ đổi dấu tại $x=2$ (vì $2^2=4$). Do đó
$$I={\int }_0^2(4-2^x)dx+{\int }_2^3(2^x-4)dx.$$
Tính từng phần:
$${\int }_0^2(4-2^x)dx={\left[4x-\frac{2^x}{\ln 2}\right]}_0^2=\left(8-\frac{4}{\ln 2}\right)-\left(0-\frac{1}{\ln 2}\right)=8-\frac{3}{\ln 2},$$
$${\int }_2^3(2^x-4)dx={\left[\frac{2^x}{\ln 2}-4x\right]}_2^3=\left(\frac{8}{\ln 2}-12\right)-\left(\frac{4}{\ln 2}-8\right)=\frac{4}{\ln 2}-4.$$
Cộng lại:
$$I=8-\frac{3}{\ln 2}+\frac{4}{\ln 2}-4=4+\frac{1}{\ln 2}.$$
Vậy $a=4,b=1,c=1$ (phân số $\frac{1}{1}$ tối giản), suy ra
$$P=a^2+b^2+c^2=16+1+1=18.$$
Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị $y=f(x)$, $y=g(x)$ và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)-g(x)\right|\mathrm{d}x$, vì trên mỗi khoảng con ta lấy khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa hai đồ thị (giá trị tuyệt đối đảm bảo luôn không âm bất kể hàm nào nằm trên). Do đó đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, do đó diện tích phần bên trái là $-{\int }_a^{0}f(x)dx$. Trên đoạn $[0;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, diện tích phần bên phải là ${\int }_0^{b}f(x)dx$. Vậy $S_D=-{\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{b}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo hai khoảng: $I={\int }_{-1}^0(2x+1)dx+{\int }_0^2{e}^{x}dx$. Phần thứ nhất: ${\left[x^2+x\right]}_{-1}^0=0-(1-1)=0$. Phần thứ hai: ${\left[e^x\right]}_0^2=e^2-1$. Vậy $I=e^2-1$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_1^{5}3f(x)\mathrm{d}x=3{\int }_1^{5}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot (-4)=-12$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx=F(1)-F(-2)=7-(-4)=11$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$. Công thức này đúng vì lấy trị tuyệt đối của $f(x)$ đảm bảo phần đồ thị nằm dưới trục hoành cũng được tính với diện tích dương. Các phương án khác sai: $\int f^{2}dx$ không phải diện tích; $\left|\int fdx\right|$ chỉ đúng khi $f$ không đổi dấu trên $[a;b]$; $\int fdx$ có thể âm. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\int \sin xdx=-\cos x+C$.
b) Sai: ${\int }_a^b\sin xdx=-\cos b+\cos a=\cos a-\cos b$, không phải $\cos b-\cos a$.
c) Sai: ${\int }_0^{\pi /2}2xdx=x^2{|}_0^{\pi /2}=\frac{{\pi }^2}{4}$ và ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$, nên kết quả là $\frac{{\pi }^2}{4}-1$, không phải $\frac{{\pi }^2}{4}+1$.
d) Sai: ${\int }_{\pi /4}^{\pi /3}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}=[-\cot x{]}_{\pi /4}^{\pi /3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}+1=1-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Phương trình trở thành $1-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\sin 2x\Rightarrow \sin 2x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trên $[0;\pi ]$ chỉ có $x=\frac{\pi }{4}$, tức một nghiệm chứ không phải ba nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b\sin xdx=\cos a-\cos b$, đề nói ngược dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
Kết quả đúng là $\frac{{\pi }^2}{4}-1$ vì ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$ bị trừ đi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình dẫn đến $\sin 2x=1$, chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ trong $[0;\pi ]$ (một nghiệm).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_2^3\frac{x^2-2x+1}{x}dx={\int }_2^3\left(x-2+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}-2x+\ln x\right]}_2^3=\left(\frac{9}{2}-6+\ln 3\right)-\left(2-4+\ln 2\right)=\frac{1}{2}+\ln 3-\ln 2$. Vậy $a=2,b=1,c=1$, do đó $S=2a+b+c=4+1+1=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_{-2}^{0}2f(x)dx=\frac{8}{3}$ suy ra ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx=\frac{4}{3}$. Theo hình vẽ, trên $[-2;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên parabol $y=x^2+4x$, nên diện tích hình $(H)$ là $$S={\int }_{-2}^0\left[f(x)-(x^2+4x)\right]dx={\int }_{-2}^{0}f(x)dx-{\int }_{-2}^0(x^2+4x)dx.$$ Tính ${\int }_{-2}^0(x^2+4x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x^2\right){|}_{-2}^0=0-\left(-\frac{8}{3}+8\right)=-\frac{16}{3}$. Vậy $$S=\frac{4}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{20}{3}\approx 6,67.$$ Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng $\frac{20}{3}\approx 6,67$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$ thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Do đó mệnh đề đúng là phương án A; các phương án B, C, D đều sai vì sai dấu hoặc dùng tổng thay vì hiệu.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[f(x)-g(x)\right]\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-\underset{1}{\overset{2}{\int }}g(x)\mathrm{d}x=2-6=-4$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(1)=5$. Suy ra $f(2)=5+f(1)=5+1=6$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F$ là nguyên hàm của $f$ nên theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(0)=10$. Do đó ${\int }_0^{2}3f(x)\mathrm{d}x=3{\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=3\cdot 10=30$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^3$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(3)-F(1)=27-1=26$. Do đó ${\int }_1^3(1+f(x))\mathrm{d}x={\int }_1^3\mathrm{d}x+{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=(3-1)+26=28$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_2^{5}f(x)dx=-3-5=-8$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^3[x-3f(x)]dx={\int }_0^{3}xdx-3{\int }_0^{3}f(x)dx=\frac{9}{2}-3\cdot 2=\frac{9}{2}-6=-\frac{3}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x=F(9)-F(1)=F(9)-8$. Suy ra $F(9)=8+{\int }_1^{9}f(x)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x+\frac{2}{x}\right)\mathrm{d}x=\left(\frac{x^2}{2}+2\ln |x|\right){|}_1^3=\frac{9}{2}+2\ln 3-\frac{1}{2}-0=4+2\ln 3$. Suy ra $a=4$, $b=3$ (thỏa $a,b\in \mathbb{Z}$), do đó $a+b=4+3=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_{\pi }^{b}4\cos 2xdx=2\sin 2b-2\sin 2\pi =2\sin 2b$. Điều kiện $2\sin 2b=1\iff \sin 2b=\frac{1}{2}$. Với $b\in (\pi ;3\pi )$ thì $2b\in (2\pi ;6\pi )$, khoảng này có độ dài $4\pi$ tương ứng với 2 chu kỳ của hàm số $\sin$. Trên mỗi chu kỳ, phương trình $\sin t=\frac{1}{2}$ có đúng 2 nghiệm, vậy tổng cộng có $2\times 2=4$ nghiệm. Đáp án A.