Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $4{\sin }^{2}x=2-2\cos 2x$. Do đó $${\int }_0^{\pi /6}4{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /6}(2-2\cos 2x)dx={\left[2x-\sin 2x\right]}_0^{\pi /6}=\frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Vậy $a=\frac{1}{3}$, $b=-\frac{1}{2}$, suy ra $ab=-\frac{1}{6}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{e^{x+2}}=e^{\frac{x+2}{2}}$. Do đó ${\int }_0^2{e}^{\frac{x+2}{2}}dx=2e^{\frac{x+2}{2}}{|}_0^2=2e^2-2e$. Vậy $a=1$, $b=-2$ nên $a^2+b^2=1+4=5$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$. Do đó $${\int }_1^3\frac{dx}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}={\int }_1^3(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})dx={\left[\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}+\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_1^3.$$ Tại $x=3$: $\frac{2}{3}(8+\sqrt{27})=\frac{2}{3}(8+3\sqrt{3})$. Tại $x=1$: $\frac{2}{3}(2\sqrt{2}+1)$. Hiệu: $\frac{2}{3}(8+3\sqrt{3}-2\sqrt{2}-1)=\frac{2}{3}(7+3\sqrt{3}-2\sqrt{2})=2\sqrt{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}+\frac{14}{3}$. Vậy $a=2,b=-\frac{4}{3},c=\frac{14}{3}$, nên $P=2-\frac{4}{3}+\frac{14}{3}=\frac{16}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{6x+3}{3x+5}=\frac{2(3x+5)-7}{3x+5}=2-\frac{7}{3x+5}$. Do đó ${\int }_0^1\frac{6x+3}{3x+5}dx={\left[2x-\frac{7}{3}\ln (3x+5)\right]}_0^1=2-\frac{7}{3}\ln 8+\frac{7}{3}\ln 5=2-7\ln 2+\frac{7}{3}\ln 5$. Vậy $a=2,b=-7,c=\frac{7}{3}$, nên $a+2b+3c=2-14+7=-5$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích phân thức: $\frac{2x+1}{x^2-4}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}$ với $A(x+2)+B(x-2)=2x+1$, suy ra $A+B=2,2(A-B)=1\Rightarrow A=\frac{5}{4},B=\frac{3}{4}$. Khi đó $${\int }_0^1\frac{2x+1}{x^2-4}dx=\frac{5}{4}\ln |x-2|{|}_0^1+\frac{3}{4}\ln |x+2|{|}_0^1=\frac{5}{4}(\ln 1-\ln 2)+\frac{3}{4}(\ln 3-\ln 2)=-2\ln 2+\frac{3}{4}\ln 3.$$ Vậy $a=-2,b=\frac{3}{4}$, nên $ab=-2\cdot \frac{3}{4}=-\frac{3}{2}$. (Kiểm tra lại bằng cách tách $2x+1=2x+1$: ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2-4}dx=\ln 3-\ln 4$ và ${\int }_0^1\frac{dx}{x^2-4}=\frac{1}{4}[\ln |x-2|-\ln |x+2|{]}_0^1=-\frac{1}{4}\ln 3$, tổng cho cùng kết quả $\frac{3}{4}\ln 3-2\ln 2$.) Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x}{(x-1{)}^2}=\frac{(x-1)+1}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1{)}^2}$. Do đó $${\int }_4^5\frac{x}{(x-1{)}^2}dx={\left[\ln (x-1)-\frac{1}{x-1}\right]}_4^5=(\ln 4-\frac{1}{4})-(\ln 3-\frac{1}{3})=\ln \frac{4}{3}+\frac{1}{12}=\frac{1}{12}+2\ln 2-\ln 3.$$ Vậy $a=\frac{1}{12},b=2,c=-1$, suy ra $abc=\frac{1}{12}\cdot 2\cdot (-1)=-\frac{1}{6}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, ta có $f(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x+C$. Với $f(0)=1$: $-\frac{1}{4}+C=1\Rightarrow C=\frac{5}{4}$, nên $f(x)=\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\cos 2x=1+\frac{1}{2}{\sin }^{2}x$. Khi đó $$I={\int }_0^{\pi /4}\left(1+\frac{1}{2}{\sin }^{2}x\right)dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /4}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{16}-\frac{1}{8}=\frac{5\pi -2}{16}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=1-\cos 2x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+\left(0-\frac{1}{4}\right)+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ ta có $f(x)=2\sqrt{x+1}+C$. Vì $f(0)=-2$ nên $2+C=-2\Rightarrow C=-4$, tức $f(x)=2\sqrt{x+1}-4$. Do đó $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x={\left[\frac{4}{3}(x+1{)}^{3/2}-4x\right]}_0^3=\frac{4}{3}\cdot 8-12-\frac{4}{3}=\frac{28}{3}-\frac{36}{3}=-\frac{8}{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ là parabol có đỉnh $(0;1)$ và đi qua điểm $(1;4)$ (đối xứng qua trục tung nên cũng qua $(-1;4)$). Suy ra $f^{\prime }(x)=a{x}^2+1$ với $a+1=4\Rightarrow a=3$, tức $f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Theo định lý Newton - Leibniz: $f(3)-f(2)={\int }_2^3(3x^2+1)dx=\left(x^3+x\right){|}_2^3=(27+3)-(8+2)=30-10=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$. b) Sai: từ $F(9)-F(0)=9$ và $F(0)=3$ suy ra $F(9)=12$, không phải $-12$. c) Đúng: ${\int }_0^{9}3f(u)du=3{\int }_0^{9}f(u)du=3\cdot 9=27$ (tích phân không phụ thuộc biến lấy tích phân). d) Sai: theo tính chất cộng tính ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9$, không phải $18$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức Newton–Leibniz: ${\int }_0^{9}f(x)dx=F(9)-F(0)$ vì $F$ là nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(9)-F(0)=9\Rightarrow F(9)=9+3=12$, không phải $-12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{9}3f(u)du=3{\int }_0^{9}f(u)du=3\cdot 9=27$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tích phân: ${\int }_0^{6}f(x)dx+{\int }_6^{9}f(x)dx={\int }_0^{9}f(x)dx=9\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: f(x)=3x²−2x−1, f'(x)=6x−2.
a) ∫₋₁² f'(x)dx = f(2)−f(−1) = (12−4−1)−(3+2−1) = 7−4 = 3 → đúng.
b) ∫₀¹ f(x)dx = [x³−x²−x]₀¹ = 1−1−1 = −1 ≠ 7 → sai.
c) ∫₀³ f(x)dx = [x³−x²−x]₀³ = 27−9−3 = 15, nên ∫₀³ 3f(x)dx = 45 ≠ 42 → sai.
d) ∫₀¹ x·f(x)dx = ∫₀¹ (3x³−2x²−x)dx = 3/4 − 2/3 − 1/2 = (9−8−6)/12 = −5/12 ≠ 31/12 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₁² f'(x)dx = f(2)−f(−1) = 7−4 = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹ f(x)dx = [x³−x²−x]₀¹ = −1 ≠ 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀³ f(x)dx = 15 nên ∫₀³ 3f(x)dx = 45 ≠ 42.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₀¹ x f(x)dx = 3/4 − 2/3 − 1/2 = −5/12 ≠ 31/12.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số f(x) = x² − 2x khi x ≥ 2 và f(x) = x − 2 khi x < 2.
a) Trên [1;2] có x < 2 nên f(x) = x − 2, do đó ∫₁² f(x)dx = ∫₁² (x−2)dx. Đúng.
b) Trên [2;3] có x ≥ 2 nên f(x) = x² − 2x, do đó ∫₂³ f(x)dx = ∫₂³ (x² − 2x)dx. Đúng.
c) Nguyên hàm của x − 2 trên [1;2] là x²/2 − 2x (đúng), nhưng nguyên hàm của x² − 2x trên [2;3] phải là x³/3 − x², không phải x²/2 − 2x. Vậy khẳng định sai.
d) ∫₁² (x−2)dx = (x²/2 − 2x)|₁² = (2 − 4) − (1/2 − 2) = −1/2. ∫₂³ (x² − 2x)dx = (x³/3 − x²)|₂³ = (9 − 9) − (8/3 − 4) = 4/3. Tổng: −1/2 + 4/3 = 5/6. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [1;2], x < 2 nên f(x) = x − 2, do đó ∫₁² f(x)dx = ∫₁² (x−2)dx.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [2;3], x ≥ 2 nên f(x) = x² − 2x, do đó ∫₂³ f(x)dx = ∫₂³ (x² − 2x)dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của x² − 2x trên [2;3] là x³/3 − x², không phải x²/2 − 2x như đề viết.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₁² (x−2)dx = −1/2 và ∫₂³ (x² − 2x)dx = 4/3, tổng bằng −1/2 + 4/3 = 5/6.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\ln (x+1)-\ln (x+2)\right]}_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3$. Vậy $a=2,b=-1,c=0$, nên $a+b+c=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+\left(0-\frac{1}{4}\right)+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy $a=16,b=-4$, do đó $a+b=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 8: $A(-2;1)$, $B(1;1)$, $C(3;-1)$. Trên $[-2;1]$, $f(x)=1$ nên $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=1\cdot 3=3$. Trên $[1;3]$, $f$ là đoạn thẳng từ $(1;1)$ đến $(3;-1)$, cắt trục hoành tại $x=2$ (điểm $D$). Phần trên trục từ $1$ đến $2$ có tích phân $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$; phần dưới trục từ $2$ đến $3$ có tích phân $-\frac{1}{2}$. Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$. Do đó $\underset{-2}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=3+0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\frac{x}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{x+2}-\frac{2}{(x+2{)}^2}$. Khi đó ${\int }_0^1\frac{xdx}{(x+2{)}^2}={\left[\ln (x+2)+\frac{2}{x+2}\right]}_0^1=\ln 3+\frac{2}{3}-\ln 2-1=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{3}$. Vậy $a=-\frac{1}{3},b=-1,c=1$, nên $3a+b+c=-1-1+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của tích phân, $f(4)-f(-4)={\int }_{-4}^4{f}^{\prime }(x)dx$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: đường gãy khúc cắt trục hoành tại $x=-4$ và $x=4$, đạt đỉnh cao $3$ tại $x=1$ (đoạn thẳng đi lên từ $(-4;0)$ qua $(0;2)$ đến đỉnh, rồi đi xuống cắt trục tại $x=4$). Trên $[-4;4]$, đồ thị nằm trên trục hoành và tạo thành một tam giác có đáy $4-(-4)=8$ và chiều cao $3$, nên ${\int }_{-4}^4{f}^{\prime }(x)dx=\frac{8\cdot 3}{2}=12$. Vậy $f(4)-f(-4)=12$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $x^2=2x+3\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Trên đoạn $[-1;3]$ ta có $2x+3\ge x^2$. Diện tích: $S={\int }_{-1}^3(2x+3-x^2)dx={\left[x^2+3x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^3=(9+9-9)-\left(1-3+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{5}{3}=\frac{32}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên $(x_1,x_2)$ đồ thị nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó ${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx$ chính là diện tích phần gạch phía trên trục. Trên $(x_2,x_3)$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, do đó ${\int }_{x_2}^{x_3}f(x)dx$ là số đối của diện tích phần gạch phía dưới. Vậy tổng diện tích là $S={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)dx-{\int }_{x_2}^{x_3}f(x)dx$. Đáp án B.