Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Theo tính chất của tích phân, với hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn chứa $a$, ta luôn có:
${\int }_a^{a}f(x)dx=0$.

Ta có ${\int }_2^5\frac{1}{x}dx=\ln |x|{|}_2^5=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}$.

Đặt $t=2\sin x\Rightarrow dt=2\cos xdx\iff \cos xdx=\frac{1}{2}dt$.
Đổi cận:
- $x=0\Rightarrow t=0$.
- $x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=2$.

Khi đó:
${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(2\sin x)\cos xdx={\int }_0^{2}f(t)\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}{\int }_0^{2}f(t)dt=\frac{1}{2}\cdot 6=3$.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol với trục hoành: $x^2-4x+4=0\iff x=2$.
Diện tích của hình phẳng $(H)$ là:
$S={\int }_0^2(x^2-4x+4)dx=\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+4x\right){|}_0^2=\frac{8}{3}-8+8=\frac{8}{3}$.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(0;4)$ với hệ số góc $k$ là $y=kx+4$.
Đường thẳng $d$ cắt trục hoành tại $B\left(-\frac{4}{k};0\right)$.
Để đường thẳng $d$ cắt $(H)$ thành hai phần thì điểm $B$ phải thuộc đoạn $(0;2)$, tức là:
$0<-\frac{4}{k}<2\iff k<-2$.

Phần hình phẳng $S_1$ giới hạn bởi trục tung, $d$ và trục hoành là tam giác vuông $OAB$:
$S_1=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \left(-\frac{4}{k}\right)=-\frac{8}{k}$.
Vì $d$ chia $(H)$ thành hai phần có diện tích bằng nhau nên:
$S_1=\frac{S}{2}=\frac{4}{3}\iff -\frac{8}{k}=\frac{4}{3}\iff k=-6$ (thỏa mãn $k<-2$).

Ta có ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=5-(-1)=6$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Trên $[a;0]$, $f(x)\le 0$; trên $[0;b]$, $f(x)\ge 0$. Do đó $S_D=-{\int }_a^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{b}f(x)\mathrm{d}x$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

a) Đúng. b) Đúng vì $V=\pi {\int }_1^3|(x+2{)}^2-(x^2-3x+5{)}^2|\mathrm{d}x=\frac{48}{5}\pi$. c) Sai vì $F(4)=F(1)+{\int }_1^4(x^2-3x+5)\mathrm{d}x=5+\frac{27}{2}=\frac{37}{2}\ne 37$. d) Sai vì diện tích bằng $\frac{4}{3}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Ta có ${(-2\cos x-\sin x)|}_0^{\frac{\pi }{3}}=-1-\frac{\sqrt{3}}{2}+2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow a=2,b=-1\Rightarrow P=a^2+b^2=5$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Diện tích phần dưới (màu trắng) là $S_2={\int }_0^8\left[\frac{1}{35}x(x-2)(x-8)+2\right]\mathrm{d}x=\frac{464}{35}\approx 13,26{\text{ m}}^2\Rightarrow n=4$ hộp; diện tích phần trên (màu xanh da trời) là $S_1=32-13,26=18,74{\text{ m}}^2\Rightarrow m=5$ (hoặc theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101: $m-n=3$).

Ta có:
${\int }_2^5[2-4f(x)]dx={\int }_2^{5}2dx-4{\int }_2^{5}f(x)dx=2(5-2)-4\cdot 10=6-40=-34.$

Ta có:
$I={\int }_1^e\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx={\left[\ln |x|+\frac{1}{x}\right]}_1^e=\left(\ln e+\frac{1}{e}\right)-(\ln 1+1)=1+\frac{1}{e}-1=\frac{1}{e}.$

Ta có $\frac{1-2x}{x^2-5x+6}=\frac{1-2x}{(x-2)(x-3)}=\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-3}$.
Khi đó:
${\int }_4^5\left(\frac{3}{x-2}-\frac{5}{x-3}\right)dx=[3\ln |x-2|-5\ln |x-3|{]}_4^5$
$=(3\ln 3-5\ln 2)-(3\ln 2-5\ln 1)=3\ln 3-8\ln 2=3\left(\ln \frac{3}{2}+\ln 2\right)-8\ln 2=3\ln \frac{3}{2}-5\ln 2.$
Suy ra $a=3,b=-5$.
Kiểm tra các đáp án: $a+2b=3+2(-5)=-7$. Vậy đáp án B đúng.

Ta có:
${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_0^{3}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx=5-(-1)=6.$

Theo định lý cơ bản của giải tích:
${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=f(x){|}_{-1}^2=f(2)-f(-1)=-1-8=-9.$

Sử dụng công thức tích phân từng phần: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow v=f(x)$.
Khi đó:
${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx=[xf(x){]}_0^1-{\int }_0^{1}f(x)dx=(1\cdot f(1)-0)-3=4-3=1.$

Phương trình tương đương:
$x^2{f}^2(x)+2xf(x)+1=x{f}^{\prime }(x)+f(x)\iff (xf(x)+1{)}^2=(xf(x)+1{)}^{\prime }.$
Chia cả hai vế cho $(xf(x)+1{)}^2$:
$\frac{(xf(x)+1{)}^{\prime }}{(xf(x)+1{)}^2}=1\Rightarrow -\frac{1}{xf(x)+1}=x+C.$
Với $f(1)=-2\Rightarrow -\frac{1}{1(-2)+1}=1+C\Rightarrow 1=1+C\Rightarrow C=0$.
Do đó $-\frac{1}{xf(x)+1}=x\Rightarrow xf(x)+1=-\frac{1}{x}\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$.
Khi đó:
${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{1}{x}-\ln |x|\right]}_1^2=\left(\frac{1}{2}-\ln 2\right)-(1-\ln 1)=-\ln 2-\frac{1}{2}.$

Theo công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$, trục hoành $y=0$ và hai đường thẳng $x=a,x=b$ là $S={\int }_a^b|f(x)|dx$.

Diện tích hình phẳng là:
$S={\int }_1^2{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_1^2=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.$