Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Dựa vào hình vẽ, trên đoạn $[a;c]$ đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành ($f(x)\le 0$), trên đoạn $[c;b]$ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành ($f(x)\ge 0$).
Do đó:
$S={\int }_a^b|f(x)|dx={\int }_a^c-f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx=-{\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx.$

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^2-2x=x\iff x^2-3x=0\iff x=0\text{ hoặc }x=3.$
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường là:
$S={\int }_0^3|x^2-3x|dx=\left|{\int }_0^3(x^2-3x)dx\right|=\left|{\left[\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right]}_0^3\right|=\left|9-\frac{27}{2}\right|=\frac{9}{2}.$

Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $r=2\sqrt{2}$ là $x^2+y^2=8$.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn:
$x^2+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=8\iff \frac{x^4}{4}+x^2-8=0\iff x^2=4\iff x=\pm 2.$

Diện tích phần nhỏ giới hạn bởi nửa trên đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ và parabol $y=\frac{x^2}{2}$ là:
$S={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx-{\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx.$
- Đặt $x=2\sqrt{2}\sin t$, tính được tích phân đường tròn $2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx=2\pi +4$.
- Tích phân parabol ${\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx={\left[\frac{x^3}{6}\right]}_{-2}^2=\frac{8}{6}-\left(-\frac{8}{6}\right)=\frac{8}{3}$.
Do đó $S=2\pi +4-\frac{8}{3}=2\pi +\frac{4}{3}$.

Diện tích phần giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=a$ là:
$S_1=2{\int }_0^{\sqrt{a}}(a-x^2)dx=2{\left[ax-\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{a}}=\frac{4}{3}a\sqrt{a}=\frac{4}{3}{a}^{\frac{3}{2}}.$
Tổng diện tích phần giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=b$ là $S_1+S_2=\frac{4}{3}{b}^{\frac{3}{2}}$.
Vì $S_1=S_2$ nên:
$S_1+S_2=2S_1\iff \frac{4}{3}{b}^{\frac{3}{2}}=2\cdot \frac{4}{3}{a}^{\frac{3}{2}}\iff b^{\frac{3}{2}}=2a^{\frac{3}{2}}\iff b=2^{\frac{2}{3}}a=\sqrt[3]{4}a.$

**Chọn A**
2 x
Xét ∫ ( 3 x − 1) e dx .2

0
x x
Đặt u = ( 3x − 1) ⇒ du = 3dx ; d=
v e 2 dx ⇒ =
v 2e 2 .
2 x x 2 2 x x 2 x 2
Vậy ta có: ∫ ( 3 x − 1) e d
= x 2e ( 3 x − 1) − 12e
x 2e ( 3 x − 1) − 6 ∫ e d=
2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

= 2 ( e ( 3.2 − 1) − e0 ( 3.0 − 1) ) − 12 ( e − e0 ) = 10e + 2 − 12e + 12 = 14 − 2e .
Vậy ta có a =14; b =−2 ⇒ a 2 − b 2 =192 .

**Chọn D**
2
Từ f ( x ) = 2 f ( 3 x ) suy ra ∫ f ( x ) dx= 2 ∫ f ( 3 x ) dx ⇒ F ( x=
)F ( 3x ) + C
3
 2  2
 F (1) =+3
F ( 3) C 

F (1) =
3
.9 + C
Lần lượt thay x = 1 và x = 3 vào ta có  ⇔
2
 F ( 3) = F ( 9 ) + C 9 =2 F ( 9 ) + C
 3  3
2
Trừ vế theo vế ta được F (1) − 9 = 6 − F ( 9 ) ⇔ 3F (1) + 2 F ( 9 ) = 45
3
−9 nên suy ra F (1) = 9 và F ( 9 ) = 9
Lại theo đề bài ta có 2 F (1) − 3F ( 9 ) =
9
Ta có ∫ f ( x ) dx = F ( 9 ) − F (1) = 9 − 9 = 0
1

**Chọn D**
2 2 2
Ta có : y =f ( x ) =x 2 + ∫ ( x + u ) f ( u ) du =x 2 + x ∫ f ( u )du + ∫ u. f ( u )du .
0 0 0
2 2
Đặt A = ∫ f ( u )du , B = ∫ u. f ( u )du ta có : y = f ( x ) = x 2 + Ax + B .
0 0
2
2 2 2
 x3 x2  8
A =∫ f ( u )du =∫ f ( x )dx =∫ ( x + Ax + B )dx = + A + Bx  = + 2 A + 2 B
2

0 0 0  3 2 0 3
8
Suy ra : A + 2 B =
− (1).
3
2
2 2 2
 x4 x3 x2  8
B=∫0 u. f ( u )du =∫0 x. f ( x )dx =∫0 ( x + Ax + Bx )dx = + 3
A + B 2
4
 =+ A + 2B
 4 3 2 0 3
8
Suy ra : A+ B =−4 (2).
3
 16 28
Từ (1) và (2) ta có : A =
− ;B =
−
13 39
16 28
f ( x ) =x 2 − x − .
13 39
114 1003
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 5 là=
: y x− .
13 39
5
 2 16 28   114 1003  125
Diện tích cần tìm là : S = ∫  x − 13 x − 39  −  13 x − 39  =
0
3
.

**Chọn C**
3 3 3
Xét ∫  4 f ( x ) − 3 x 2  dx =
5 ⇔ 4 ∫ f ( x ) dx − ∫ 3 x 2 dx =
5
0 0 0
3 3
⇔ 4 ∫ f ( x ) dx − 27 =5 ⇔ ∫ f ( x ) dx =8 .
0 0

Ta có ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]dx={\int }_1^{2}f(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=3-(-2)=5$.

Ta có ${\int }_{-2}^5[f(x)-4g(x)-1]dx={\int }_{-2}^{5}f(x)dx-4{\int }_{-2}^{5}g(x)dx-{\int }_{-2}^{5}1dx=8-4(-3)-7=13$.

Thay $x$ bởi $1-x$ ta có hệ: $\{\begin{array}{l}2f(x)+f(1-x)=3x^2-6\\ f(x)+2f(1-x)=3(1-x{)}^2-6=3x^2-6x-3\end{array}\Rightarrow 3f(x)=3x^2+6x-9\Rightarrow f(x)=x^2+2x-3$ và $f^{\prime }(x)=2x+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2+2x-3=2x+2\iff x=\pm \sqrt{5}$.
Diện tích hình phẳng là $S={\int }_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}|x^2-5|dx=\frac{20\sqrt{5}}{3}\Rightarrow a=20,b=3\Rightarrow a+b=23$.

Vì $F(x),G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ nên $G(5)-G(-3)=F(5)-F(-3)$. Trừ hai đẳng thức đã cho ta được:
$4[F(5)-F(-3)]=48\Rightarrow F(5)-F(-3)={\int }_{-3}^{5}f(t)dt=12$.
Khi đó ${\int }_0^{2}x\left(4+f(2x^2-3)\right)dx={\int }_0^{2}4xdx+\frac{1}{4}{\int }_{-3}^{5}f(t)dt=8+\frac{12}{4}=11$.

Ta có ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x=-3-(-1)=-2$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Ta có $S={\int }_1^2{x}^3\mathrm{d}x={\frac{x^4}{4}|}_1^2=\frac{15}{4}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

a) Sai vì ${\int }_0^2{x}^2\mathrm{d}x=\frac{8}{3}$. b) Sai vì thiếu $\pi$ ($V=\frac{\pi }{5}$). c) Đúng vì ${\int }_1^3(4x-3-x^2)\mathrm{d}x=\frac{4}{3}$. d) Đúng (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Ta có $S={\int }_1^2{x}^2\mathrm{d}x={\frac{x^3}{3}|}_1^2=\frac{7}{3}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Ta có ${\int }_1^2[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x=3-(-1)=4$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

a) Sai vì ${\int }_1^2(3x-2-x^2)\mathrm{d}x=\frac{1}{6}$. b) Sai vì $V=\pi {\int }_0^2{x}^4\mathrm{d}x=\frac{32\pi }{5}$. c) Đúng. d) Đúng vì $S=\frac{(x_B-x_A{)}^3}{6}\le \frac{A{B}^3}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ (dấu bằng xảy ra khi $AB$ song song trục hoành) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm hình vuông, các parabol có phương trình $y=1-2x^2,y=2x^2-1,x=1-2y^2,x=2y^2-1$. Diện tích phần giao ở giữa bằng $\frac{16\sqrt{2}-14}{3}$ (hoặc tương ứng $p=8,q=-7\Rightarrow p-2q=22$) (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn A.

Ta có ${\int }_0^1[2022f(x)+2023g(x)]dx=2022(-2)+2023(1)=-4044+2023=-2021$.