Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 13-14, mã đề 124; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tập xác định: $\{\begin{array}{l}4-x^2\ge 0\\ x^2-3x+2\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2\le x\le 2\\ x\ne 1,x\ne 2\end{array}\iff x\in [-2;2)\setminus \{1\}$. Do TXĐ bị chặn nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Tại $x=1$, ${\lim }_{x\to 1}y=\infty$ nên $x=1$ là TC đứng. Tại $x\to 2^{-}$, $\frac{\sqrt{4-x^2}}{(x-1)(x-2)}=-\frac{\sqrt{2+x}}{(x-1)\sqrt{2-x}}\to -\infty$ nên $x=2$ là TC đứng thứ hai. Vậy đồ thị có $2$ đường tiệm cận đứng. Chọn C.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 190; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 1 (Phần I) chọn đáp án D.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x-5}{x+2}$ có đường tiệm cận đứng là $x=-2$.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 11, mã đề 101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 7, mã đề 311; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x+1}{x-1}=2$. Do đó tiệm cận ngang là đường thẳng $y=2$. Chọn A.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 5101, trang 7), Câu 10 (Phần I) chọn đáp án D.

Đồ thị hàm số $y=\frac{2x+2}{x+3}$ có tiệm cận đứng $x=-3$ và tiệm cận ngang $y=2$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{3x+1}{x-2}=3$, nên đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=3$.

Đồ thị có đường tiệm cận đứng $x=-1$, đường tiệm cận ngang $y=1$ và cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$ (nằm phía dưới gốc tọa độ $O$), nên là đồ thị của hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$.

Tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to (-2{)}^{-}}\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=-\infty$, còn ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}=0$, nên đồ thị hàm số có đúng $1$ đường tiệm cận đứng là $x=-2$ ($a=1$).
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=2$ và ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{2x-4}{\sqrt{x^2-4}}=-2$, nên đồ thị hàm số có $2$ đường tiệm cận ngang là $y=2$ và $y=-2$ ($b=2$).
Vậy $20a-10b^2=20\cdot 1-10\cdot 2^2=-20$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 4 (Phần I) chọn đáp án B.

Từ bảng biến thiên, ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-5$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-5$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận ngang $y=-5$. Lại có ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có $1$ tiệm cận đứng $x=2$. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 6), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án C.

Ta có $y=-x+\frac{5}{x+2}$. Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }(y-(-x))={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$ nên đường thẳng $y=-x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Từ bảng biến thiên, ta có: ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=2$ nên $y=2$ là TCN; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=5$ nên $y=5$ là TCN; ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty$ nên $x=1$ là TCĐ. Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Từ bảng biến thiên ta có ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=0$ nên $y=0$ là $1$ đường tiệm cận ngang; ${\lim }_{x\to (-3{)}^{-}}f(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to (-3{)}^{+}}f(x)=-\infty$ và ${\lim }_{x\to 3^{-}}f(x)=+\infty ,{\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=-\infty$ nên $x=-3$ và $x=3$ là $2$ đường tiệm cận đứng. Tổng cộng đồ thị hàm số có $3$ đường tiệm cận. Chọn C.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x-3}{x+1}=2$, suy ra đường tiệm cận ngang là $y=2$. Vậy chọn C.

Đường tiệm cận đứng là nghiệm mẫu số: $x-1=0\iff x=1$.

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 0101; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 2009, trang 5), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án D.

Ta có $y=\frac{x^2+2x-2}{x-2}=x+4+\frac{6}{x-2}$, nên đường tiệm cận xiên là $y=x+4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề thi 2009, trang 5), Câu 1 (Phần II): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

- **Ý a) Đúng:** ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=142$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=14$ nên đồ thị có $2$ tiệm cận ngang $y=142$ và $y=14$.
- **Ý b) Đúng:** Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên $\mathbb{R}$ bằng $8$ (đạt tại $x=-1$).
- **Ý c) Sai:** Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$.
- **Ý d) Sai:** $142$ là giới hạn khi $x\to -\infty$, hàm số không đạt giá trị $142$ trên $\mathbb{R}$.