Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$: $x_G=\frac{1+4+7}{3}=4$, $y_G=\frac{2+5+8}{3}=5$. Vậy $G(4;5)$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(8-2;7-(-1))=(6;8)$, nên độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác ABC: $x_G=\frac{1+4+7}{3}=4$, $y_G=\frac{2+5+8}{3}=5$. Vậy $G(4;5)$, khớp đáp án C trong bảng đáp án mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i},\vec{j}$ là hai vectơ đơn vị theo trục $Ox,Oy$ nên $\vec{u}=-2\vec{i}+3\vec{j}$ có tọa độ $\vec{u}=(-2;3)$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$.
a) $\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)$, $\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)$. Hai vectơ khác nhau nên khẳng định SAI.
b) $\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$ nên khẳng định ĐÚNG.
c) Với $D(2;2)$: $\overrightarrow{AD}=(6;1)$, $\overrightarrow{AB}=(6;3)$. Vì $6\cdot 3-1\cdot 6=12\ne 0$ nên $A,B,D$ không thẳng hàng, khẳng định SAI.
d) $\overrightarrow{CA}=(-6;3)$, $\overrightarrow{CB}=(0;6)$. $\cos (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{0+18}{\sqrt{45}\cdot 6}=\frac{18}{18\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0.4472$, suy ra góc $\approx 63^{\circ }26^{\prime }\approx 63.4^{\circ }\ne 35^{\circ }$, khẳng định SAI.
Kết quả: a) S, b) Đ, c) S, d) S — khớp đáp án SDSS của mã đề 101.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(6;-3)\ne \overrightarrow{BC}=(0;-6)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=(6;1)$, $\overrightarrow{AB}=(6;3)$; $6\cdot 3-1\cdot 6=12\ne 0$ nên không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{18}{\sqrt{45}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0.4472\Rightarrow$ góc $\approx 63.4^{\circ }\ne 35^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài $AB=\sqrt{60^2+80^2}=100$ m, robot đi hết trong 10 phút nên vận tốc ban đầu $v=10$ m/phút. Khi quay lại, vận tốc $1,5v=15$ m/phút, trong 8 phút đi được $120$ m. Vì $120>100$, robot đi quá $A$ một đoạn $20$ m theo hướng từ $B$ về $A$ kéo dài. Tọa độ robot: $A+\frac{20}{100}(A-B)=(20;30)+0,2(-60;-80)=(8;14)$. Khoảng cách đến $O$: $\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}\approx 16,1$ m, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(8-2;7-(-1))=(6;8)$. Độ dài $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Vậy đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\vec{a}=(4;6)$ được biểu diễn qua hai vecto đơn vị $\vec{i},\vec{j}$ là $\vec{a}=4\vec{i}+6\vec{j}$, vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $4\vec{i}+6\vec{j}=(4;6)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $A(-2;3)$, $B(2;4)$, $C(2;2)$, $D(-2;1)$. a) $\overrightarrow{AB}=(2-(-2);4-3)=(4;1)$ đúng. b) $\overrightarrow{AD}=(-2-(-2);1-3)=(0;-2)$ đúng. c) $\overrightarrow{OB}=(2;4)\ne (4;2)$ sai. d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=(2-2;4-2)=(0;2)$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-(-2);4-3)=(4;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=(-2-(-2);1-3)=(0;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B(2;4)$ nên $\overrightarrow{OB}=(2;4)\ne (4;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}=(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$ nên $\vec{a}=-2\vec{i}=(-2;0)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với điểm gốc O(0;0) và A(3;6), tọa độ vectơ $\overrightarrow{OA}=(x_A-x_O;y_A-y_O)=(3-0;6-0)=(3;6)$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, vectơ $\vec{a}$ có điểm đầu tại gốc tọa độ $O(0;0)$ và điểm cuối tại điểm có hoành độ $x=2$, tung độ $y=3$. Vậy tọa độ vectơ là $\vec{a}=(2-0;3-0)=(2;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AM}$, suy ra $2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$ với $\overrightarrow{AG}=(4;\frac{26}{3})$, do đó $\overrightarrow{AM}=(6;13)$ và $M=A+\overrightarrow{AM}=(3;5)$. (Kiểm tra: $G=\frac{A+2M}{3}=\left(\frac{-3+6}{3};\frac{-8+10}{3}\right)=(1;\frac{2}{3})$ đúng.)

b) Đúng. Vì $H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$. Vecto $\overrightarrow{AH}=(16;8)$ có hệ số góc $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$, nên $BC$ có hệ số góc $-2$. Đường thẳng $BC$ qua $M(3;5)$: $y-5=-2(x-3)\iff 2x+y-11=0$.

c) Sai. $\vec{n}(16;8)$ chính là vecto chỉ phương của $AH$ (vì $\overrightarrow{AH}=(16;8)$), không phải vecto pháp tuyến. Một vecto pháp tuyến của $AH$ là $(8;-16)$ hay $(1;-2)$.

d) Đúng. $BC$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_1=(1;-2)$, $AM$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}_2=(6;13)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|1\cdot 6+(-2)\cdot 13|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{205}}=\frac{20}{5\sqrt{41}}=\frac{4}{\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{AG}=3\overrightarrow{AM}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}=(6;13)$, do đó $M=(-3+3;-8+13)=(3;5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$. $\overrightarrow{AH}=(16;8)$ có hệ số góc $\frac{1}{2}$ nên $BC$ có hệ số góc $-2$. Qua $M(3;5)$: $y-5=-2(x-3)\iff 2x+y-11=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}(16;8)$ là vecto chỉ phương của $AH$ (trùng $\overrightarrow{AH}$), không phải vecto pháp tuyến. Vecto pháp tuyến của $AH$ là $(1;-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{u}}_{BC}=(1;-2)$, ${\vec{u}}_{AM}=(6;13)$. $\cos \alpha =\frac{|6-26|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{205}}=\frac{20}{5\sqrt{41}}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $EM=EN$ với $E(x_E;4)$, $M(-4;\frac{15}{2})$, $N(0;\frac{19}{2})$:
$$(x_E+4{)}^2+{\left(4-\frac{15}{2}\right)}^2=x_E^2+{\left(4-\frac{19}{2}\right)}^2$$
$$(x_E+4{)}^2+\frac{49}{4}=x_E^2+\frac{121}{4}$$
$$8x_E+16=18\Rightarrow x_E=\frac{2}{8}=0,25.$$
Kết quả khớp với đáp số nguồn 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $\overrightarrow{AB}=(70-10;100-20)=(60;80)$. b) Sai: $AB=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{3600+6400}=100\ne 90$. c) Đúng: đường thẳng qua A(10;20) có VTCP $(3;4)$ nên có phương trình $4x-3y+20=0$; kiểm tra B(70;100): $4\cdot 70-3\cdot 100+20=280-300+20=0$, thỏa mãn. d) Đúng: thời gian đi từ A đến B là $t=\frac{100}{80}=1,25$ h $=75$ phút. Kết luận: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng, khớp bảng đáp án mã đề 0112 câu 14 (Đ – S – Đ – Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(70-10;100-20)=(60;80)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{60^2+80^2}=100\ne 90$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(10;20) với VTCP $(3;4)$: $4x-3y+20=0$; B(70;100) thỏa: $280-300+20=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$t=100/80=1,25$ h $=75$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $a=\frac{-2+5+0}{3}=1$, $b=\frac{-2+(-4)+6}{3}=0$. Vậy $a+2b=1+0=1$, khớp đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 18 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
M(a;b) thuộc Δ: x+y−2=0 nên b=2−a. Với A(1;3), B(2;1): vectơ AB=(1;−2), AM=(a−1;−a−1). Diện tích tam giác MAB = ½|det(AB,AM)| = ½|1·(−a−1) − (−2)(a−1)| = ½|−a−1+2a−2| = ½|a−3|. Theo đề: ½|a−3| = 4 ⟹ |a−3| = 8 ⟹ a = 11 hoặc a = −5. Vì a > 0 nên a = 11, khi đó b = 2 − 11 = −9. Vậy a·b = 11·(−9) = −99, khớp với đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 0112, câu 19: −99).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M của AB: $x_M=\frac{5+5}{2}=5$, $y_M=\frac{2+10}{2}=6$. Vậy $M=(5;6)$, khớp đáp án A (mã đề 0112).

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $a=\frac{-2+5+0}{3}=1$, $b=\frac{-2+(-4)+6}{3}=0$. Vậy $a+2b=1+0=1$, khớp đáp án nguồn (Câu 21, mã đề 0111: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm M của AB: $x_M=\frac{5+5}{2}=5$, $y_M=\frac{2+10}{2}=6$. Vậy $M(5;6)$, khớp đáp án B trong đề và bảng đáp án (Câu 8, mã đề 0111: B).