Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CB}=B-C=(0-3;1-0)=(-3;1)$. Từ $2\overrightarrow{CB}=7\overrightarrow{CD}$ suy ra $\overrightarrow{CD}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{6}{7};\frac{2}{7}\right)$. Do đó $D=C+\overrightarrow{CD}=\left(3-\frac{6}{7};0+\frac{2}{7}\right)=\left(\frac{15}{7};\frac{2}{7}\right)$. Kiểm tra: $D$ nằm trên đoạn $BC$ vì $\overrightarrow{CD}=\frac{2}{7}\overrightarrow{CB}$ với $0<\frac{2}{7}<1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí ca nô sau $t$ giờ: $M(t)=A+t\vec{v}=(2+4t;3+5t)$. Khi đến $D(10;13)$: $2+4t=10\Rightarrow t=2$ và kiểm tra $3+5t=13\Rightarrow t=2$ (thỏa mãn). Vậy thời gian di chuyển là 2 giờ; khởi hành lúc 8 giờ nên đến $D$ lúc 10 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Phần II): a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1;3-2)=(-1;1)$ → Đúng. b) Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=C-\overrightarrow{AB}=(2;4)-(-1;1)=(3;3)$, không phải $D(3;9)$ → Sai. c) $\overrightarrow{AC}=(1;2)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(1)+(1)(2)=1$ → Đúng. d) $G=\left(\frac{1+0+2}{3};\frac{2+3+4}{3}\right)=(1;3)$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức DSDD (trang 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(0-1;3-2)=(-1;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=(3;3)$, không phải $(3;9)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(1;2)$, tích vô hướng $=-1+2=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{1+0+2}{3};\frac{2+3+4}{3}\right)=(1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BC}=C-B=(2-3;6-0)=(-1;6)\ne (0;-4)$ → sai. b) Trung điểm $AB$: $\left(\frac{-3+3}{2};\frac{0+0}{2}\right)=(0;0)$ → đúng. c) $\overrightarrow{AB}=(6;0)$, $\overrightarrow{AC}=(5;6)$, tích vô hướng $=6\cdot 5+0\cdot 6=30$ → đúng. d) Vì $AB$ nằm trên trục hoành nên đường cao từ $C$ là đường thẳng $x=2$. Hệ số góc của $AC$ là $\frac{6}{5}$ nên đường cao từ $B$ có hệ số góc $-\frac{5}{6}$: $y=-\frac{5}{6}(x-3)$. Tại $x=2$: $y=\frac{5}{6}$. Vậy $H\left(2;\frac{5}{6}\right)$, $x+y=\frac{17}{6}\ne 20$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-1;6)\ne (0;-4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $AB=(0;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\cdot 5+0\cdot 6=30$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trực tâm $H\left(2;\frac{5}{6}\right)$ nên $x+y=\frac{17}{6}\ne 20$.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh $BC$ thẳng đứng (vì $B(2;4)$, $C(2;-2)$ có cùng hoành độ), nên đường cao từ $A$ là đường thẳng ngang đi qua $A(-4;1)$: $y=1$.

Vectơ $\overrightarrow{AB}=(6;3)$ có hệ số góc của $AB$ là $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, nên đường cao từ $C$ vuông góc với $AB$ có hệ số góc $-2$: $y-(-2)=-2(x-2)\iff y=-2x+2$.

Trực tâm $H$ là giao của $y=1$ và $y=-2x+2$: $1=-2x+2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Vậy $H\left(\frac{1}{2};1\right)$ và $x+y=\frac{1}{2}+1=1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,5).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: A(0;0), B(2a;0), C(2a;a), D(0;a) với BC = a, AB = 2a. Điểm N nằm trên CD nên N(t; a) với 0 ≤ t ≤ 2a. Ta có vectơ AC = (2a; a) và BN = (t − 2a; a). Điều kiện AC ⊥ BN cho tích vô hướng bằng 0: 2a(t − 2a) + a·a = 0 ⟹ 2t − 4a + a = 0 ⟹ t = 3a/2. Vậy CN = 2a − 3a/2 = a/2 và DN = 3a/2. Suy ra DN/CN = (3a/2)/(a/2) = 3.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0)$, $B(140;0)$, $C(140;50)$, $D(0;50)$. Cột thứ nhất $E$ trên bờ $AB$ cách $A$ 10 m nên $E(10;0)$. Cột thứ hai $F$ trên bờ $CD$ cách $C$ 30 m nên $F(140-30;50)=(110;50)$. a) $\overrightarrow{AF}=(110;50)$ → Đúng. b) $EF=\sqrt{(110-10{)}^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m $\ne 110$ m → Sai. c) $\overrightarrow{AE}=(10;0)$ → Đúng. d) $B(140;0)$, $D(0;50)$ → Đúng. Khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0)$ và $F(110;50)$ thì $\overrightarrow{AF}=(110;50)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$EF=\sqrt{100^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m, không bằng 110 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
$E(10;0)$ nên $\overrightarrow{AE}=(10;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với gốc tại $A$, trục $Ox$ dọc $AB$, trục $Oy$ dọc $AD$: $B(140;0)$, $D(0;50)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{1+(-3)+x}{3};\frac{-2+4+y}{3}\right)=(2;1)$. Suy ra $\frac{x-2}{3}=2\Rightarrow x=8$ và $\frac{y+2}{3}=1\Rightarrow y=1$. Vậy $T=x+y=8+1=9$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-2;2-1)=(1;1)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=(6-x;5-y)$. Suy ra $6-x=1$ và $5-y=1$, tức $x=5$, $y=4$. Vậy $D(5;4)$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-2;2-1)=(1;1)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(6-x;5-y)$. Suy ra $6-x=1$ và $5-y=1$, tức $x=5$, $y=4$. Vậy $D(5;4)$, tương ứng phương án B. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(3;3)=\overrightarrow{BC}=(3;3)$, đúng hình bình hành. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với $A(0;0)$, trục $Ax$ dọc theo $AB$, trục $Ay$ dọc theo $AD$. Khi đó $B(140;0)$, $D(0;50)$, $C(140;50)$. a) $E$ trên bờ $AB$ cách $A$ một khoảng 10 m nên $E(10;0)$, suy ra $\overrightarrow{AE}=(10;0)$: Đúng. b) $F$ trên bờ $CD$ cách $C$ một khoảng 30 m nên $F(110;50)$. Khoảng cách $EF=\sqrt{(110-10{)}^2+(50-0{)}^2}=\sqrt{10000+2500}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m $\ne 110$ m: Sai. c) $B(140;0)$ và $D(0;50)$: Đúng. d) $\overrightarrow{AF}=(110;50)$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục gốc $A$, $E$ nằm trên $AB$ cách $A$ 10 m nên $E(10;0)$, do đó $\overrightarrow{AE}=(10;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$E(10;0)$, $F(110;50)$ nên $EF=\sqrt{100^2+50^2}=\sqrt{12500}\approx 111,8$ m, không bằng 110 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong hệ trục đã chọn, $B(140;0)$ và $D(0;50)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F$ trên $CD$ cách $C(140;50)$ một khoảng 30 m nên $F(110;50)$, suy ra $\overrightarrow{AF}=(110;50)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, cảng cá là điểm $E(0;2)$.

a) $\overrightarrow{EF}=(6-0;6-2)=(6;4)$ và $\overrightarrow{EG}=(8-0;-4-2)=(8;-6)$. Hai vecto này không cùng phương (không tồn tại $k$ để $(6;4)=k(8;-6)$), nên hai tàu đi về hai hướng khác nhau lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$. → Đúng.

b) Cùng thời gian đi: $EF=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx 7,21$ đơn vị; $EG=\sqrt{8^2+6^2}=10$ đơn vị. Vì $EG>EF$ nên tàu thứ hai đi nhanh hơn. → Đúng.

c) $\overrightarrow{FG}=(8-6;-4-6)=(2;-10)$, nên $FG=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị. Đổi ra thực tế: $10,198\times 500\approx 5099m$. → Đúng.

d) Kiểm tra $M\left(\frac{31}{5};4\right)$ có thuộc đường thẳng $FG$ không. Đường thẳng qua $F(6;6)$ với hệ số góc $\frac{-10}{2}=-5$: $y=-5x+36$. Tại $x=\frac{31}{5}$: $y=-31+36=5\ne 4$, nên $M$ không thẳng hàng với $F,G$. → Sai.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(6;4)$ và $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ không cùng phương nên hai tàu đi về hai hướng khác nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cùng thời gian: $EF=\sqrt{52}\approx 7,21<EG=10$, nên tàu thứ hai nhanh hơn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$FG=\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị $\approx 5099m$ (mỗi đơn vị $=500m$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $FG$: $y=-5x+36$; tại $x=\frac{31}{5}$ cho $y=5\ne 4$, nên $M$ không thẳng hàng với $F,G$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm tam giác $ABC$: $G=\left(\frac{1+(-3)+x}{3};\frac{-2+4+y}{3}\right)=\left(\frac{x-2}{3};\frac{y+2}{3}\right)$. Theo đề $G(2;1)$ nên $\frac{x-2}{3}=2\Rightarrow x=8$ và $\frac{y+2}{3}=1\Rightarrow y=1$. Vậy $T=x+y=8+1=9$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2 = 9).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 24: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2)$.

a) Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AC$:
$$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{2+(-3)}{2}=-\frac{1}{2},y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.$$
Vậy $M\left(-\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

b) Ta có:
$$\overrightarrow{AB}=(-1-2;-2-1)=(-3;-3),$$
$$\overrightarrow{AC}=(-3-2;2-1)=(-5;1).$$
Vì $\frac{-3}{-5}\ne \frac{-3}{1}$ nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, tức $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. (Kiểm tra thêm: $AB=3\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{26}$, $BC=\sqrt{20}$ thỏa mãn $AB+BC>AC$.) Vậy ba điểm $A$, $B$, $C$ tạo thành một tam giác.

c) Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$:
$$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{2+(-1)+(-3)}{3}=\frac{-2}{3},$$
$$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{1+(-2)+2}{3}=\frac{1}{3}.$$
Vậy $G\left(-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$.

Ghi chú: Ý c) đã được xác nhận có thật trên trang 22 của tài liệu gốc (dòng đầu trang 22: "c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$.").

(AI giải đề cho tôi)
Câu 25: Cho $A(2;1)$, $B(-1;-2)$, $C(-3;2)$.

a) $C$ là trung điểm của $EB$ nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BC}$, tức $E=2C-B$. Tọa độ: $x_E=2(-3)-(-1)=-5$, $y_E=2\cdot 2-(-2)=6$. Vậy $E(-5;6)$.
Kiểm tra: trung điểm của $E(-5;6)$ và $B(-1;-2)$ là $\left(\frac{-5-1}{2};\frac{6-2}{2}\right)=(-3;2)=C$. Đúng.

b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Tọa độ: $x_D=2+(-3)-(-1)=0$, $y_D=1+2-(-2)=5$. Vậy $D(0;5)$.
Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{DC}=(-3-0;2-5)=(-3;-3)$, nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $ABCD$ là hình bình hành. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4-1;0-3)=(3;-3)$.
Từ $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{AM}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(-1;1)$.
Gọi $M(x;y)$, khi đó $\overrightarrow{AM}=(x-1;y-3)=(-1;1)$, nên:
$x-1=-1\Rightarrow x=0$; $y-3=1\Rightarrow y=4$.
Vậy $M(0;4)$.
Thử lại: $3\overrightarrow{AM}=(-3;3)$, do đó $3\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AB}=(-3;3)+(3;-3)=(0;0)=\vec{0}$ (thỏa mãn).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(-4;1)$, $B(2;4)$, $C(2;-2)$.

**a) Tọa độ các vectơ, chu vi, góc A:**
- $\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$
- $\overrightarrow{BC}=(2-2;-2-4)=(0;-6)$
- $\overrightarrow{AC}=(2-(-4);-2-1)=(6;-3)$

Độ dài: $AB=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$; $BC=6$; $AC=\sqrt{6^2+(-3{)}^2}=3\sqrt{5}$.

Chu vi tam giác ABC: $P=3\sqrt{5}+6+3\sqrt{5}=6\sqrt{5}+6$.

$\cos A=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB|\cdot |AC|}=\frac{6\cdot 6+3\cdot (-3)}{3\sqrt{5}\cdot 3\sqrt{5}}=\frac{36-9}{45}=\frac{3}{5}$.

Vậy $A=\arccos \frac{3}{5}\approx 53^{\circ }{8}^{\prime }$.

**b) Trọng tâm và trung điểm:**
- Trọng tâm $G=\left(\frac{-4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=(0;1)$.
- Trung điểm đoạn AB: $\left(\frac{-4+2}{2};\frac{1+4}{2}\right)=\left(-1;\frac{5}{2}\right)$.

**c) Trực tâm H:**
Vì $B$ và $C$ có cùng hoành độ 2 nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, do đó đường cao xuất phát từ $A$ vuông góc với $BC$ là đường ngang $y=1$.

Vectơ $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ có hệ số góc của $AC$ là $-\frac{1}{2}$, nên đường cao xuất phát từ $B$ vuông góc với $AC$ có hệ số góc $2$: $y-4=2(x-2)\iff y=2x$.

Giao với $y=1$: $x=\frac{1}{2}$. Vậy $H=\left(\frac{1}{2};1\right)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{9}{2};0\right)$ vuông góc $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$ ✓; $\overrightarrow{BH}=\left(-\frac{3}{2};-3\right)$, $\overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=-\frac{3}{2}\cdot 6+(-3)(-3)=-9+9=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 31: Trong hệ Oxy cho $A(2;-3)$, $B(4;3)$.

a) Trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ (với $O(0;0)$):
$$x_G=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=\frac{0+2+4}{3}=2,y_G=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=\frac{0+(-3)+3}{3}=0.$$
Vậy $G(2;0)$.

b) Gọi $M(x;0)$ thuộc trục hoành. Tam giác $ABM$ cân tại $M$ khi $MA=MB$.
$$M{A}^2=(x-2{)}^2+(0+3{)}^2=(x-2{)}^2+9,$$
$$M{B}^2=(x-4{)}^2+(0-3{)}^2=(x-4{)}^2+9.$$
Cho $M{A}^2=M{B}^2$:
$$(x-2{)}^2=(x-4{)}^2\Rightarrow x^2-4x+4=x^2-8x+16\Rightarrow 4x=12\Rightarrow x=3.$$
Vậy $M(3;0)$. (Kiểm tra: $MA=MB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);0-3)=(3;-3)$. Gọi $D=(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{D}=(6-x;2-y)=(3;-3)$, suy ra $x=3$, $y=5$. Vậy $D=(3;5)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(6-2;0-(-4))=(4;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-2;4-(-4))=(m-2;8)$. Để $A,B,C$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $\frac{m-2}{4}=\frac{8}{4}=2$, suy ra $m-2=8\Rightarrow m=10$. Vậy chọn đáp án A.