Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc tại cảng $A$, trục $Ox$ hướng đông, trục $Oy$ hướng bắc. Phương vị $N{\alpha }^{\circ }E$ cho vector hướng $(\sin \alpha ,\cos \alpha )$; $N{\alpha }^{\circ }W$ cho $(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$.

Tàu đánh cá: từ 6h đến 9h đi hướng $N70^{\circ }E$ với vận tốc $50$ km/h trong 3 giờ, quãng đường $150$ km, vector $150(\sin 70^{\circ },\cos 70^{\circ })\approx (140.954,51.303)$. Từ 9h đến 11h đi hướng bắc với vận tốc $40$ km/h trong 2 giờ, quãng đường $80$ km: $(0,80)$. Vị trí lúc 11h: $P\approx (140.954,131.303)$.

Tàu du lịch: từ 8h đến 11h đi hướng $N30^{\circ }W$ với vận tốc $70$ km/h trong 3 giờ, quãng đường $210$ km: $210(-\sin 30^{\circ },\cos 30^{\circ })=(-105,181.865)$.

Khoảng cách: $\Delta x=140.954-(-105)=245.954$; $\Delta y=131.303-181.865=-50.562$.
$d=\sqrt{245.954^2+50.562^2}\approx \sqrt{60493.4+2556.5}\approx \sqrt{63049.9}\approx 251.1$ km.

Vậy đến 11 giờ tàu du lịch cách tàu đánh cá khoảng $251$ km. Lưu ý: ghi chú lỗi trong dữ liệu nguồn là nhầm lẫn; phép chuyển phương vị trong lời giải đã đúng $(\sin 70^{\circ },\cos 70^{\circ })$ và kết quả $251$ km là chính xác.

(AI giải đề cho tôi)
Tìm $C$ từ trọng tâm: $\vec{G}=\frac{1}{3}(\vec{A}+\vec{B}+\vec{C})$ nên $C=3G-A-B=(-3-2-1;-6+7-3)=(-6;-2)$. Gọi $M(0;m)$ trên trục tung. Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M$ khi $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=0$ và $MB=MC$. Với $\overrightarrow{MB}=(1;3-m)$, $\overrightarrow{MC}=(-6;-2-m)$: $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=-6+(3-m)(-2-m)=m^2-m-12=0\Rightarrow m=4$ hoặc $m=-3$. Kiểm tra độ dài: với $m=4$: $M{B}^2=1+1=2\ne M{C}^2=36+36=72$ (loại); với $m=-3$: $M{B}^2=1+36=37=M{C}^2=36+1=37$ (thỏa). Vậy $M(0;-3)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(8-6;-4-6)=(2;-10)$ nên $BC=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$. Tứ giác $ABCD$ là hình thang với hai đáy $AD$ và $BC$ nên $\overrightarrow{AD}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{AD}=k\overrightarrow{BC}$. Điều kiện $AD=2BC$ cho $|k|=2$, do đó $\overrightarrow{AD}=\pm 2\overrightarrow{BC}=\pm (4;-20)$.
• Với $\overrightarrow{AD}=(4;-20)$: $D=A+\overrightarrow{AD}=(-2+4;-2-20)=(2;-22)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{DC}=(8-2;-4+22)=(6;18)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(8;8)$, nên $ABCD$ là hình thang (không phải hình bình hành), thỏa mãn.
• Với $\overrightarrow{AD}=(-4;20)$: $D=(-2-4;-2+20)=(-6;18)$. Khi đó $\overrightarrow{DC}=(14;-22)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(8;8)$, cũng thỏa mãn.
Vậy có hai điểm thỏa mãn: $D(2;-22)$ hoặc $D(-6;18)$.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường: $AB+BC+CA$. Cố định $BC=\sqrt{(13-12{)}^2+(-6+4{)}^2}=\sqrt{5}$. Cần cho $AB+AC$ nhỏ nhất với $A(x;0)$ trên trục hoành. Lấy $C^{\prime }(13;6)$ đối xứng với $C(13;-6)$ qua trục $Ox$ thì $AC=A{C}^{\prime }$, nên $AB+AC=AB+A{C}^{\prime }\ge B{C}^{\prime }$, dấu bằng khi $A$ là giao điểm của $B{C}^{\prime }$ với trục hoành. Đường thẳng qua $B(12;-4)$ và $C^{\prime }(13;6)$: $\frac{x-12}{1}=\frac{y+4}{10}$; với $y=0$ ta được $x-12=\frac{4}{10}=0,4\Rightarrow x=12,4=\frac{62}{5}$. Vậy $x=\frac{62}{5}=12,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Phản xạ A qua bờ sông thành A” với A”A' = 500 m (bên kia bờ). Khi đó AM + MB = A”M + MB ≥ A”B, dấu bằng khi M là giao điểm của A”B với A'B. Tam giác vuông tại A' có A”A' = 500, chân B' cách A' là 2200, BB' = 600 nên hiệu cao độ A”B' = 600 + 500 = 1100. Vậy A”B = √(2200² + 1100²) = 1100√5 ≈ 2459,67 m, làm tròn thành 2460 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $B(2;4)$, $C(2;-2)$ nên $BC$ là đường thẳng đứng $x=2$, do đó đường cao từ $A$ là đường ngang $y=1$. Đường thẳng $AC$ có hệ số góc $k_{AC}=\frac{-2-1}{2-(-4)}=\frac{-3}{6}=-\frac{1}{2}$, nên đường cao từ $B$ vuông góc với $AC$ có hệ số góc $2$: $y-4=2(x-2)\iff y=2x$. Trực tâm $H$ là giao của $y=1$ và $y=2x$, suy ra $x=\frac{1}{2}$, $y=1$. Vậy $x+y=\frac{1}{2}+1=1,5$, khớp với đáp án nguồn 1,5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B(2;4)$ và $C(2;-2)$ nên trung điểm $BC$ là $(2;1)$, đường trung trực của $BC$ là $y=1$, do đó $I(x;1)$. Cân bằng khoảng cách tới $A$ và $B$: $(x+4{)}^2+(1-1{)}^2=(x-2{)}^2+(1-4{)}^2\Rightarrow x^2+8x+16=x^2-4x+13\Rightarrow 12x=-3\Rightarrow x=-\frac{1}{4}$. Vậy $I\left(-\frac{1}{4};1\right)$ và $x+y=-\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}=0,75$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;b)$, $D(0;b)$ với $a=AB$, $b=BC$. Đường thẳng $AC$ có vectơ chỉ phương $(a;b)$. Chân đường vuông góc từ $B$ xuống $AC$ là $K=t(a;b)$ với $t=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot (a;b)}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2}$, tức $K=\left(\frac{a^3}{s};\frac{a^{2}b}{s}\right)$ với $s=a^2+b^2$.

Trung điểm $M$ của $AK$: $M=\left(\frac{a^3}{2s};\frac{a^{2}b}{2s}\right)$. Trung điểm $N$ của $CD$: $N=\left(\frac{a}{2};b\right)$.

Tính hai vectơ:
$$\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2}-\frac{a^3}{2s};b-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a{b}^2}{2s};\frac{b(a^2+2b^2)}{2s}\right),$$
$$\overrightarrow{MB}=\left(a-\frac{a^3}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right)=\left(\frac{a(a^2+2b^2)}{2s};-\frac{a^{2}b}{2s}\right).$$

Tích vô hướng:
$$\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4s^2}\left[a^2{b}^2(a^2+2b^2)-a^2{b}^2(a^2+2b^2)\right]=0.$$

Vậy $MB\perp MN$, suy ra góc $\widehat{BMN}=90^{\circ }$. (Nhận xét thêm: $\overrightarrow{MN}\parallel$ không cần thiết; kết quả đúng với mọi kích thước hình chữ nhật.)

(AI giải đề cho tôi)
Cảng cá trùng với điểm $E(0;2)$ theo hình vẽ. a) $\overrightarrow{EF}=(6;4)$ nên $EF=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx 7,21$ đơn vị; $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ nên $EG=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$ đơn vị. Hai tàu đi cùng một thời gian, quãng đường tàu thứ hai dài hơn nên vận tốc tàu thứ hai lớn hơn → Đúng. b) $\overrightarrow{FG}=(2;-10)$, $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{31}{5}-6;4-6\right)=\left(\frac{1}{5};-2\right)$. Vì $2\cdot (-2)=-4\ne (-10)\cdot \frac{1}{5}=-2$ nên hai vectơ không cùng phương, ba điểm $F$, $G$, $M$ không thẳng hàng → Sai. c) $FG=\sqrt{2^2+(-10{)}^2}=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị, mỗi đơn vị ứng với $500m$ nên $FG\approx 10,198\cdot 500\approx 5099m$ → Đúng. d) Hai tàu cùng rời cảng $E$ và đến $F$, $G$ nên hướng đi lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$, hai vectơ này không cùng phương → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 2): a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(6;4)$ nên $EF=\sqrt{52}\approx 7,21$; $\overrightarrow{EG}=(8;-6)$ nên $EG=10$. Cùng thời gian, quãng đường tàu 2 dài hơn nên vận tốc lớn hơn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{FG}=(2;-10)$, $\overrightarrow{FM}=\left(\frac{1}{5};-2\right)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$FG=\sqrt{104}\approx 10,198$ đơn vị $\approx 10,198\cdot 500\approx 5099m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai tàu rời cảng $E$ cùng lúc và đến $F$, $G$ nên hướng đi lần lượt là $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{EG}$, hai vectơ này không cùng phương.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tổng vectơ: $\overrightarrow{FA}=(1;3-a)$, $\overrightarrow{FB}=(-3;1-a)$, $\overrightarrow{FC}=(5;-6-a)$. Khi đó $\overrightarrow{FA}+3\overrightarrow{FB}-2\overrightarrow{FC}=(1-9-10;3-a+3-3a+12+2a)=(-18;18-2a)$. Độ lớn bình phương: $324+(18-2a{)}^2$ đạt nhỏ nhất khi $18-2a=0$, tức $a=9$. Vậy $2a+9=27$, khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 3 = 27).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2.
1) Cho A(0;3), B(−2;4), C(8;4).
a) Gọi M(m;n). Ta có $\overrightarrow{AM}=(m;n-3)$, $\overrightarrow{MB}=(-2-m;4-n)$, $\overrightarrow{AB}=(-2;1)$. Phương trình $\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{MB}=5\overrightarrow{AB}$ cho hệ: $m+3(2+m)=-10$ và $(n-3)+3(4-n)=5$, tức $4m+6=-10\Rightarrow m=-4$; $4n-15=5\Rightarrow n=5$. Vậy $M(-4;5)$.
b) $AB=\sqrt{(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$; $BC=10$; $AC=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$. Chu vi $=\sqrt{5}+10+\sqrt{65}\approx 20,47$.
c) K(k;0) thuộc trục hoành. Tam giác KBC vuông tại K khi $\overrightarrow{KB}\cdot \overrightarrow{KC}=0$: $(-2-k;4)\cdot (8-k;4)=(-2-k)(8-k)+16=k^2-6k=0\Rightarrow k=0$ hoặc $k=6$. Vậy $K(0;0)$ hoặc $K(6;0)$.
2) Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(3a;0)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2}\right)$. Vì $AM=x$ nên $M(x;0)$; vì $AP=a=\frac{1}{3}AC$ nên $P\left(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$; vì $BN=a=\frac{1}{3}BC$ nên $N\left(\frac{5a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Điều kiện $AN\perp MP$: $\overrightarrow{AN}\cdot \overrightarrow{MP}=0$ với $\overrightarrow{AN}=\left(\frac{5a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(\frac{a}{2}-x;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$. Tích: $\frac{5a}{2}\left(\frac{a}{2}-x\right)+\frac{3a^2}{4}=0\Rightarrow \frac{5a^2}{4}-\frac{5ax}{2}+\frac{3a^2}{4}=0\Rightarrow 2a^2=\frac{5ax}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{5}$. Thỏa mãn $0<x<3a$. Vậy $x=\frac{4a}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5: A(-1;-2), B(3;2), C(-3;4).

1) $\overrightarrow{AB}=(4;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;6)$. Vì $\frac{4}{-2}\ne \frac{4}{6}$ nên $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương ⇒ A, B, C không thẳng hàng, tạo thành tam giác.

2) $G=\left(\frac{-1+3-3}{3};\frac{-2+2+4}{3}\right)=\left(-\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$.

3) C là trọng tâm tam giác ABE ⇒ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CE}=\vec{0}$, tức $E=3C-A-B=(-9+1-3;12+2-2)=(-11;12)$.

4) ABDC là hình bình hành ⇒ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ⇒ $D=B+C-A=(3-3+1;2+4+2)=(1;8)$. Hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại trung điểm của BC: $I=\left(\frac{3-3}{2};\frac{2+4}{2}\right)=(0;3)$.

5) $2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}$. Vì $2+3-1=4\ne 0$, điểm M tồn tại duy nhất: $M=\frac{2A+3B-C}{4}=\left(\frac{-2+9+3}{4};\frac{-4+6-4}{4}\right)=\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

6) $2\overrightarrow{QA}-\overrightarrow{QB}-3\overrightarrow{QC}=2\vec{Q}+2\vec{A}-\vec{B}-3\vec{C}$ (với hệ số $2-1-3=-2$). Đặt bằng $\overrightarrow{BA}=\vec{A}-\vec{B}$: $2\vec{Q}=-\vec{A}+3\vec{C}$ ⇒ $Q=\left(\frac{1-9}{2};\frac{2+12}{2}\right)=(-4;7)$.

7) $AB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$; $AC=\sqrt{(-2{)}^2+6^2}=2\sqrt{10}$; $BC=\sqrt{(-6{)}^2+2^2}=2\sqrt{13}$. Chu vi $P=4\sqrt{2}+2\sqrt{10}+2\sqrt{13}$.

8) N thuộc trục hoành nên $N(x;0)$. Đường thẳng AB có hệ số góc $\frac{2-(-2)}{3-(-1)}=1$, phương trình $y=x-1$. Với $y=0$ ⇒ $x=1$. Vậy $N(1;0)$ (kiểm tra: $\overrightarrow{AN}=(2;2)$ cùng phương $\overrightarrow{AB}=(4;4)$).

9) $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=3\overrightarrow{FG}$ với $G\left(-\frac{1}{3};\frac{4}{3}\right)$. F thuộc trục tung: $F(0;y)$, $|\overrightarrow{FG}|=\sqrt{\frac{1}{9}+{\left(y-\frac{4}{3}\right)}^2}$ nhỏ nhất khi $y=\frac{4}{3}$. Vậy $F\left(0;\frac{4}{3}\right)$, khi đó $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}=3\left(-\frac{1}{3};0\right)=(-1;0)$, độ dài nhỏ nhất bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B(x;y)$, $D(a;b)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $A+C=B+D$, suy ra $B=(8-a;8-b)$. Trung điểm $M$ của $BC$ là $M\left(\frac{13-a}{2};\frac{16-b}{2}\right)$. Vì $N(3;2)$ thuộc đường thẳng $AM$ mà $A(3;0)$ nên đường thẳng $AM$ là $x=3$, do đó $\frac{13-a}{2}=3\Rightarrow a=7$. Khi đó $B=(1;8-b)$. Vì $N$ thuộc $BD$: $N=B+t(D-B)$ với $t=\frac{1}{3}$ (từ hoành độ $1+6t=3$). Thay vào tung độ: $8-b+\frac{1}{3}(2b-8)=2\Rightarrow 24-3b+2b-8=6\Rightarrow b=10$. Vậy $D(7;10)$, $a-b=7-10=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang AB ∥ CD với CD = 2AB, giao điểm hai đường chéo E chia AC theo tỉ số AE/EC = AB/CD = 1/2, tức E = (2A + C)/3. Suy ra 3E = 2A + C, nên A = (3E − C)/2 = ((24 − 4)/2; (9 − 7)/2) = (10; 1). Vậy a = 10, b = 1, T = 10² + 1² = 101, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $E(L;0)$, $A(0;1)$ (vì $AD=1$), $B(L;4)$ (vì $BE=4$). Vì $AB=5$ nên $L^2+(4-1{)}^2=25\Rightarrow L^2=16\Rightarrow L=4$. Độ dài dây là $AC+CB$ với $C(x;0)$, $0\le x\le 4$. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $DE$: $A^{\prime }(0;-1)$. Khi đó $AC+CB=A^{\prime }C+CB\ge A^{\prime }B=\sqrt{(4-0{)}^2+(4+1{)}^2}=\sqrt{41}\approx 6,40$, dấu bằng khi $C$ là giao của $A^{\prime }B$ với $DE$ (tại $x=4/5\in [0;4]$). Vậy độ dài dây ngắn nhất là $\sqrt{41}\approx 6,40$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AC$ và $S_{△ABC}=3S_{△ABM}$, hai tam giác có chung đường cao từ $B$ nên $\frac{S_{△ABM}}{S_{△ABC}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Với $A(1;2)$, $C(5;0)$: $\overrightarrow{AC}=(4;-2)$, nên $M=\left(1+\frac{4}{3};2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$. Khi đó $P=3a-6b=3\cdot \frac{7}{3}-6\cdot \frac{4}{3}=7-8=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AC$ và hai tam giác $ABC$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $B$, nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABM}}=\frac{AC}{AM}=3$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Với $A(1;2),C(5;0)$: $\overrightarrow{AC}=(4;-2)$, nên $M=\left(1+\frac{4}{3};2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$. Do đó $a=\frac{7}{3},b=\frac{4}{3}$ và $P=3a-6b=7-8=-1$. Vậy đáp án B.

a) Tìm được C(0; -2 )

Gọi H(x;y) ta có $\overrightarrow{AH}=(x+1;y-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$

Vì $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ nên 2x + 5y = 23 (1 )

Lại có : $\overrightarrow{BH}=(x-2;y-3)$

Vì $\overrightarrow{AH}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên 5x – 2y = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta được $\{\begin{array}{l}x=\frac{66}{29}\\ y=\frac{107}{29}\end{array}\to H\left(\frac{66}{29};\frac{107}{29}\right)$

b) Lấy $A^{\prime }$ đối xứng A qua Ox , suy ra $A^{\prime }(-1;-5)$

Ta có: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$

Đẳng thức xảy ra khi $M=A^{\prime }B\cap Ox$

Đường thẳng $A^{\prime }B$ có phương trình: 8x - 3y -7 = 0

Giải hệ $\{\begin{array}{l}8x-3y-7=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{7}{8}\\ y=0\end{array}\to M\left(\frac{7}{8};0\right)$

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $O(0;0)$, bờ biển là trục $Ox$, $A(-4;0)$, $B(5;0)$. Tàu $M$ chuyển động theo phương tạo góc $60^{\circ }$ với bờ nên $M=\left(\frac{x}{2};-\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)$ với $x=OM$. Vì $MA=MB$ nên $M{A}^2=M{B}^2$: ${\left(\frac{x}{2}+4\right)}^2+\frac{3x^2}{4}={\left(\frac{x}{2}-5\right)}^2+\frac{3x^2}{4}$. Suy ra $\frac{x^2}{4}+4x+16=\frac{x^2}{4}-5x+25\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1$. Vậy $OM=1km$, trùng với đáp án nguồn.