Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\vec{0}$, tức tọa độ trọng tâm: $C=\frac{A+B+D}{3}$.

Tọa độ $C(-2;3)$ nên:
$$x_C=\frac{3+2+x}{3}=-2\Rightarrow 5+x=-6\Rightarrow x=-11$$
$$y_C=\frac{1+4+y}{3}=3\Rightarrow 5+y=9\Rightarrow y=4$$

Vậy $D(-11;4)$ và $S=x+y=-11+4=-7$.

Kiểm tra: trọng tâm của $A(3;1),B(2;4),D(-11;4)$ là $\left(\frac{3+2-11}{3};\frac{1+4+4}{3}\right)=(-2;3)=C$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài vectơ $\vec{a}=(6;-8)$ là $|\vec{a}|=\sqrt{6^2+(-8{)}^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}$, $\vec{j}$ là các vectơ đơn vị trên trục $Ox$, $Oy$ nên $\vec{a}=\vec{i}+9\vec{j}=(1;9)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) AB=(2-1;4-1)=(1;3) → đúng. b) Trọng tâm G=((1+2+7)/3;(1+4+3)/3)=(10/3;8/3), không phải (7/3;8/3) → sai. c) BC=(5;-1), |BC|=√(25+1)=√26 → đúng. d) Phân giác trong tại A: BD/DC=AB/AC. AB=√10, AC=√(6²+2²)=√40=2√10 nên BD/DC=1/2, tức D chia BC theo tỉ lệ 1:2: D=(2B+C)/3=((4+7)/3;(8+3)/3)=(11/3;11/3) → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2-1;4-1)=(1;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
G=((1+2+7)/3;(1+4+3)/3)=(10/3;8/3) ≠ (7/3;8/3).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC=(5;-1), |BC|=√26.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD/DC=AB/AC=√10/(2√10)=1/2 nên D=(2B+C)/3=(11/3;11/3).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;9)$, $\overrightarrow{AC}=(0;5)$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\left|x_{AB}{y}_{AC}-y_{AB}{x}_{AC}\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(5)-9\cdot 0\right|=\frac{10}{2}=5$. Vậy đáp án B. (Có thể kiểm tra: $AC$ thẳng đứng độ dài 5, khoảng cách từ $B$ đến đường $x=3$ bằng 2, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba thiết bị nhận tín hiệu cùng một thời điểm, vị trí phát tín hiệu $M(x;y)$ phải cách đều ba điểm $O(0;0)$, $A(1;0)$, $B(1;3)$, tức $M$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$.

Từ $MO=MA$: $x^2+y^2=(x-1{)}^2+y^2\Rightarrow 2x=1\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.

Từ $MO=MB$: $x^2+y^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\Rightarrow 2x+6y=10\Rightarrow x+3y=5$.

Thay $x=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}+3y=5\Rightarrow y=\frac{3}{2}$.

Vậy vị trí phát tín hiệu là điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$ (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAB$). Kiểm tra: $M{O}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$, $M{A}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$, $M{B}^2=\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{5}{2}$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(2-4;4-1)=(-2;3)$ → Đúng. b) Trọng tâm $G=\left(\frac{4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};1\right)\ne \left(\frac{8}{3};3\right)$ → Sai. c) $BC=|4-(-2)|=6$ (vì $B,C$ cùng hoành độ 2) → Đúng. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=B+C-A=(2+2-4;4-2-1)=(0;1)$, nên $x+y=1\ne 5$ → Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 0102: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;4-1)=(-2;3)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};1\right)$, không phải $\left(\frac{8}{3};3\right)$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B(2;4),C(2;-2)$ cùng hoành độ nên $BC=|4-(-2)|=6$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $D=B+C-A=(0;1)$, khi đó $x+y=1\ne 5$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OM}=\vec{i}-2\vec{j}=(1;-2)$ nên tọa độ điểm $M$ là $M(1;-2)$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vecto $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(7-5;8-3)=(2;5)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(5;3)$, $B(7;8)$ ta có $\overrightarrow{AB}=(7-5;8-3)=(2;5)$. Vậy đáp án A, trùng với bảng đáp án (mã đề 0101, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trọng tâm $G=\left(\frac{4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};1\right)\ne \left(\frac{8}{3};3\right)$.
b) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(2-4;4-1)=(-2;3)$.
c) Sai. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{DC}=(-2;3)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=(2;-3)\Rightarrow D=C+(2;-3)=(4;-5)$, khi đó $x+y=4-5=-1\ne 5$.
d) Đúng. $BC=\sqrt{(2-2{)}^2+(-2-4{)}^2}=6$. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{4+2+2}{3};\frac{1+4-2}{3}\right)=\left(\frac{8}{3};1\right)$, khác $\left(\frac{8}{3};3\right)$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;4-1)=(-2;3)$ nên đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D=(4;-5)$, suy ra $x+y=-1\ne 5$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC=\sqrt{0^2+(-6{)}^2}=6$ nên đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{OM}=\vec{i}-2\vec{j}=(1;-2)$ nên tọa độ điểm $M$ là $M(1;-2)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A(0;0),B(6;0),C(6;3),D(0;3)$ (vì $AB=6$, $AD=3$). Gọi $G(x;y)$ trong hình chữ nhật. Ta có $D{G}^2=x^2+(y-3{)}^2=16$, $B{G}^2=(x-6{)}^2+y^2=9$. Trừ hai phương trình: $12x-6y=34\Rightarrow y=2x-\frac{17}{3}$. Thay vào: $45x^2-312x+532=0\Rightarrow x=\frac{52+2\sqrt{11}}{15}\approx 3,911$, $y=\frac{19+4\sqrt{11}}{15}\approx 2,155$ (nghiệm phù hợp với hình vẽ, $G$ nằm gần cạnh $DC$). Phần không gạch sọc là tứ giác $DGBC$, gồm tam giác $DGC$ và $GBC$: $S_{DGC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot (3-y)=\frac{26-4\sqrt{11}}{5}$, $S_{GBC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot (6-x)=\frac{38-2\sqrt{11}}{10}$, tổng $S_{DGBC}=9-\sqrt{11}\approx 5,668{\text{m}}^2$. Diện tích phần gạch sọc (tứ giác $DABG$): $S=18-(9-\sqrt{11})=9+\sqrt{11}\approx 12,332{\text{m}}^2$. Số tiền: $(9+\sqrt{11})\cdot 112000+(9-\sqrt{11})\cdot 165000=2493000-53000\sqrt{11}\approx 2317219$ đồng. Làm tròn đến hàng nghìn: $2317000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A(3;-4)$, $B(1;5)$, $C(3;1)$.

Tính các vectơ:
$$\overrightarrow{AB}=(1-3;5-(-4))=(-2;9),\overrightarrow{AC}=(3-3;1-(-4))=(0;5).$$

Diện tích tam giác $ABC$ được tính theo công thức tích có hướng:
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|{\overrightarrow{AB}}_x\cdot {\overrightarrow{AC}}_y-{\overrightarrow{AB}}_y\cdot {\overrightarrow{AC}}_x\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(5)-(9)(0)\right|=\frac{1}{2}\left|-10\right|=5.$$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $5$ (đơn vị diện tích).

Kiểm tra lại: độ dài $AC=5$ (đoạn thẳng đứng từ $y=-4$ đến $y=1$), khoảng cách từ $B$ đến đường thẳng $x=3$ (chứa $AC$) là $|1-3|=2$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 2=5$. Kết quả khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: đáy dưới nằm trên trục Ox, cạnh bên trái nằm trên trục Oy. Hình thang vuông có hai đáy song song là hai cạnh bên: cạnh trái cao 250 cm (từ O(0;0) đến A(0;250)), cạnh phải cao 140 cm (từ B(130;0) đến C(130;140)), chiều cao (khoảng cách hai đáy) là 130 cm. Cạnh nghiêng là đoạn AC đi qua A(0;250) và C(130;140), có hệ số góc k = (140−250)/(130−0) = −11/13, phương trình: y = 250 − (11/13)x. Tủ lạnh có bề ngang 90 cm kê sát cạnh trái, chiếm từ x = 0 đến x = 90. Chiều cao tối đa a ứng với điểm trên cạnh nghiêng tại x = 90: y = 250 − (11/13)·90 = 250 − 990/13 = 2260/13 ≈ 173,85 cm. Vì a ∈ Z⁺ nên a = 173 cm. Vậy chiều cao tối đa của tủ lạnh là 173 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(-4;1),B(2;4),C(2;-2)$: a) $\overrightarrow{AC}=(6;-3)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$, hai vectơ khác nhau → Sai. b) $\overrightarrow{CA}=(-6;3)$, $\overrightarrow{CB}=(0;6)$, $\cos (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=\frac{18}{\sqrt{45}\cdot 6}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,4472$ nên góc $\approx 63,4^{\circ }\ne 35^{\circ }$ → Sai. c) $\overrightarrow{AB}=(6;3)$, $\overrightarrow{AD}=(6;1)$, không cùng phương nên $A,B,D$ không thẳng hàng → Sai. d) $\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã 102, Phần II câu 3: S S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(6;-3)\ne (0;-6)=\overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos =\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,4472$ nên góc $\approx 63,4^{\circ }$, không phải $35^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(6;3)$ và $\overrightarrow{AD}=(6;1)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-(-4);4-1)=(6;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vector $\overrightarrow{AB}=(60;80)$ nên $|AB|=\sqrt{60^2+80^2}=100$ m. Robot đi hết quãng này trong 10 phút nên vận tốc ban đầu $v=10$ m/phút. Khi quay lại, vận tốc là $1,5v=15$ m/phút; trong 8 phút robot đi được $15\cdot 8=120$ m, tức $1,2$ lần $|AB|$, ngược hướng $\overrightarrow{AB}$. Vị trí mới: $B-1,2\overrightarrow{AB}=(80-72;110-96)=(8;14)$. Khoảng cách đến $O$: $\sqrt{8^2+14^2}=\sqrt{260}\approx 16,1$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;4)$, $\overrightarrow{AD}=(x-2;y-1)$. Phương trình $2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\vec{0}$ cho $3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}=(-1+6;4+10)=(5;14)$, nên $\overrightarrow{AD}=(5/3;14/3)$. Suy ra $x=2+5/3=11/3$, $y=1+14/3=17/3$, vậy $x+y=28/3$ và $P=3(x+y)=28$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (28).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=-2\vec{i}+3\vec{j}=(-2;3)$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 102 (câu 4: A).