Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ $\vec{u}=2\vec{i}-5\vec{j}$ có tọa độ là hệ số của $\vec{i}$ và $\vec{j}$, tức $\vec{u}=(2;-5)$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của đoạn thẳng $MN$ với $M(2;-3)$, $N(4;5)$ có tọa độ $x=\frac{2+4}{2}=3$, $y=\frac{-3+5}{2}=1$. Vậy trung điểm là $(3;1)$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Câu 12, Mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: AB=(2−1;4−1)=(1;3), AC=(10−1;−2−1)=(9;−3). b) Sai: AB·AC theo tích có hướng: 1·(−3)−3·9=−30≠0 nên không thẳng hàng (AC không tỉ lệ AB). c) Đúng: 3OD+5DB−3DC=0 ⟺ 3D+5(B−D)−3(C−D)=0 ⟺ D+5B−3C=0 ⟺ D=3C−5B=(30−10;−6−20)=(20;−26). Vậy 2a+b=40−26=14. d) Đúng: BD=D−B=(18;−30), AB=(1;3). cos(AB,BD)=(18−90)/(√10·√1224)=−72/√12240≈−0,651 nên góc ≈130,6°>120°.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2−1;4−1)=(1;3), AC=(10−1;−2−1)=(9;−3).
b) (AI giải đề cho tôi)
1·(−3)−3·9=−30≠0 nên AB, AC không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
3OD+5DB−3DC=0 ⟺ D+5B−3C=0 ⟺ D=3C−5B=(20;−26), nên 2a+b=40−26=14.
d) (AI giải đề cho tôi)
BD=(18;−30), cos(AB,BD)=−72/(√10·√1224)≈−0,651, góc ≈130,6°>120°.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B(1;1)$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=\vec{0}$, tức $B=\frac{A+C+D}{3}$. Suy ra $D=3B-A-C=(3-1-5;3-2+5)=(-3;6)$. Vậy $a=-3,b=6$ và $2a+b=2(-3)+6=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0).

Gọi $D(x;y)$, ta có $\overrightarrow{AD}=(x-4;y-6)$, $\overrightarrow{BC}=(6;-4)$.
Để ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff \{\begin{array}{l}x-4=6\\ y-6=-4\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=10\\ y=2\end{array}$.
Vậy $D(10;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=2\vec{i}-5\vec{j}=(2;-5)$. Đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 3: B).

Gọi điểm $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(2-x;-1-y)$, $\overrightarrow{MB}=(4-x;5-y)$, $\overrightarrow{MC}=(-3-x;-y)$ (0,25 điểm).
$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}2-x+3(4-x)-(-3-x)=0\\ -1-y+3(5-y)-(-y)=0\end{array}$ (0,25 điểm).
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{17}{3}\\ y=\frac{14}{3}\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{17}{3};\frac{14}{3}\right)$ (0,25 điểm).
$OM=\sqrt{{\left(\frac{17}{3}\right)}^2+{\left(\frac{14}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{485}}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Với $A(1;2)$, $B(-1;0)$, $C(2;0)$: $\overrightarrow{AB}=(-2;-2)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(2-x;-y)=(-2;-2)$, suy ra $x=4$, $y=2$, tức $D(4;2)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(3;0)=\overrightarrow{BC}$, đúng. Khớp với đáp án nguồn là B.

Gọi điểm $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(2-x;-1-y)$, $\overrightarrow{MB}=(4-x;5-y)$, $\overrightarrow{MC}=(-3-x;-y)$ (0,25 điểm).
$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\iff \{\begin{array}{l}2-x+3(4-x)-(-3-x)=0\\ -1-y+3(5-y)-(-y)=0\end{array}$ (0,25 điểm).
$\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{17}{3}\\ y=\frac{14}{3}\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{17}{3};\frac{14}{3}\right)$ (0,25 điểm).
$OM=\sqrt{{\left(\frac{17}{3}\right)}^2+{\left(\frac{14}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{485}}{3}$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(3;-1),B(-4;2),C(4;3)$: $x_D=3+4-(-4)=11$, $y_D=-1+3-2=0$. Vậy $D(11;0)$, khớp đáp án A (mã đề 101, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4, mã đề 0102, đáp án SSSD khớp với tính toán độc lập. a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;5)\ne (-4;-5)$ → Sai. b) Trung điểm $AC$: $I\left(\frac{1+(-3)}{2};\frac{0+(-5)}{2}\right)=(-1;-2,5)$, nên $a-2b=-1-2(-2,5)=4\ne -10$ → Sai. c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=A+B-C-M=(1+0+3-6;0+5+5-10)=(-2;0)\ne \vec{0}$ → Sai. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, tức $D=A+C-B=(1-3-0;0-5-5)=(-2;-10)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1;5-0)=(-1;5)\ne (-4;-5)$, khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$I\left(\frac{1-3}{2};\frac{0-5}{2}\right)=(-1;-2,5)$, nên $a-2b=-1+5=4\ne -10$, khẳng định Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=A+B-C-M=(1+0+3-6;0+5+5-10)=(-2;0)\ne \vec{0}$, khẳng định Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ hình bình hành $\iff \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\iff D=A+C-B=(1-3-0;0-5-5)=(-2;-10)$, khẳng định Đúng.

Đáp án: 2.
Do tín hiệu âm thanh phát đi từ vị trí $I(x;y)$ đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại $O$, $A$, $B$ nhận được cùng một thời điểm nên: $IO=IA=IB$.
Ta có: $IO=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$
$$IA=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-0{)}^2}$$
$$IB=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-3{)}^2}$$
Vì $IO=IA=IB$, nên ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2\\ (x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}.$$
Vậy $x+y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(0-1;6-3)=(-1;3)$. Vậy khẳng định đúng là phương án D, trùng với đáp án nguồn (Mã 0102, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-1;-2-5)=(0;-7)$ → đúng. b) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $D=C+\overrightarrow{AB}=(1;-2)+(2;-7)=(3;-9)\ne (1;5)$ → sai. c) $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}-\overrightarrow{M}=(1-3+1+1;5+2-2-3)=(0;2)\ne \vec{0}$ → sai. d) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+3+1}{3};\frac{5-2-2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$, nên $a+b=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2$ → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐSSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=C-A=(0;-7)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ yêu cầu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, suy ra $D=(3;-9)$, không phải $(1;5)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(0;2)\ne \vec{0}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $a+b=2$.

Đáp án: 2.
Do tín hiệu âm thanh phát đi từ vị trí $I(x;y)$ đều được ba thiết bị ghi tín hiệu tại $O,A,B$ nhận được cùng một thời điểm nên: $IO=IA=IB$.
Ta có: $IO=\sqrt{(x-0{)}^2+(y-0{)}^2}$
$IA=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-0{)}^2}$
$IB=\sqrt{(x-1{)}^2+(y-3{)}^2}$
Vì $IO=IA=IB$, nên ta có hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}(x-0{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-0{)}^2\\ (x-1{)}^2+(y-0{)}^2=(x-1{)}^2+(y-3{)}^2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2x+1=0\\ -6y+9=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=\frac{3}{2}\end{array}.$$
Vậy $x+y=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Véc-tơ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4-2;3-(-1))=(2;4)$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã 0101, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ bằng nhau khi các toạ độ tương ứng bằng nhau: $\vec{a}=\vec{b}$ với $\vec{a}=(x-4;5)$, $\vec{b}=(-2;y+1)$ cho hệ $\{\begin{array}{l}x-4=-2\\ 5=y+1\end{array}$. Giải được $x=2$ và $y=4$. Kiểm tra: $\vec{a}=(-2;5)=\vec{b}$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0102: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: A(1;2), B(3;-1), C(2;0).
a) Trung điểm BC: x=(3+2)/2=5/2, y=(-1+0)/2=-1/2, tức I(5/2; -1/2) ≠ (-1/2; 1/2) → SAI.
b) $\overrightarrow{AB}$=(2;-3), $\overrightarrow{AC}$=(1;-2). Kiểm tra thẳng hàng: 2·(-2) - (-3)·1 = -4+3 = -1 ≠ 0 nên A, B, C không thẳng hàng → ĐÚNG.
c) ABDC là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$. $\overrightarrow{AB}$=(2;-3); $\overrightarrow{CD}$=(x-2; y-0) nên x-2=2, y=-3, tức D(4;-3). Khi đó 2y-1 = 2·(-3)-1 = -7 → ĐÚNG.
d) Đường tròn tâm B(3;-1) bán kính BA=√((1-3)²+(2+1)²)=√13. Giao với tia Oy (x=0): 9+(b+1)²=13 ⇒ (b+1)²=4 ⇒ b=1 hoặc b=-3. Vì M thuộc tia Oy nên b≥0 ⇒ b=1, a=0. Vậy a+2025b = 2025 ≠ 2026 → SAI.
Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án nguồn (mã 0102, câu 4: SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC là I((3+2)/2; (-1+0)/2) = (5/2; -1/2), khác (-1/2; 1/2).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$=(2;-3), $\overrightarrow{AC}$=(1;-2), tích có hỗn tộp 2·(-2)-(-3)·1=-1≠0 nên ba điểm không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
ABDC là hình bình hành ⇒ $\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$ ⇒ D(4;-3), khi đó 2y-1=-7.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính BA=√13; giao với tia Oy: (b+1)²=4 ⇒ b=1 (b=-3 loại vì tia Oy), a=0 ⇒ a+2025b=2025≠2026.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(3-(-1);1-3)=(4;-2)$. Độ dài $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 0102: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ bằng nhau khi các toạ độ tương ứng bằng nhau: $\vec{a}=\vec{b}\iff \{\begin{array}{l}x-4=-2\\ 3=y+1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã 0101: A).