Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{OM}=(-1;3)$, $\overrightarrow{ON}=(3;-2)$, $\overrightarrow{MN}=(4;-5)$. Kiểm tra từng mệnh đề: (C) $\overrightarrow{MN}=(3-(-1);-2-3)=(4;-5)$ đúng. (B) $MN=\sqrt{4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{41}$ đúng. (D) Trung điểm $I=\left(\frac{-1+3}{2};\frac{3+(-2)}{2}\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)$ đúng. (A) Xét các tích vô hướng: $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=-3-6=-9\ne 0$; $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{MN}=-4-15=-19\ne 0$; $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{NM}=3\cdot (-4)+(-2)\cdot 5=-22\ne 0$. Không có góc nào vuông, nên tam giác $OMN$ không vuông — mệnh đề A sai. Đáp án: A (khớp đáp án nguồn, Mã đề 104, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)=\left(\frac{-3+4+2}{3};\frac{2+(-1)+5}{3}\right)=(1;2)$. Kết quả khớp với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(3;-1)$, không phải $(5;-3)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(1;-1),\overrightarrow{AC}=(5;-4)$, tích có hướng $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng → Đúng. c) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{5+4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{41}}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$ → Sai. d) Diện tích $S=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 103: a) S, b) Đ, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=A+C-B=(3;-1)\ne (5;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1),\overrightarrow{AC}=(5;-4)$, $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$ nên không thẳng hàng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ với $A(-3;2)$, $B(4;-1)$, $C(2;5)$ là $G\left(\frac{-3+4+2}{3};\frac{2-1+5}{3}\right)=G\left(\frac{3}{3};\frac{6}{3}\right)=G(1;2)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M(-1;3)$, $N(3;-2)$, $O(0;0)$. Xét tam giác $OMN$: $\overrightarrow{OM}=(-1;3)$, $\overrightarrow{ON}=(3;-2)$, tích vô hướng $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=-3-6=-9\ne 0$ nên góc $O$ không vuông. Ta có $O{M}^2=10$, $O{N}^2=13$, $M{N}^2=(3+1{)}^2+(-2-3{)}^2=16+25=41$. Vì $10+13=23\ne 41$ nên tam giác $OMN$ không vuông tại đỉnh nào cả, do đó mệnh đề A là SAI. Kiểm tra các mệnh đề còn lại: trung điểm $I\left(\frac{-1+3}{2};\frac{3-2}{2}\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)$ nên B đúng; $\overrightarrow{MN}=(3-(-1);-2-3)=(4;-5)$ nên C đúng; $MN=\sqrt{41}$ nên D đúng. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MN}=(3-\mathrm{1...})$ cụ thể $\overrightarrow{MN}=(3-(-1);-2-3)=(4;-5)$ nên B đúng; $MN=\sqrt{4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{41}$ nên A đúng; trung điểm $I\left(\frac{-1+3}{2};\frac{3+(-2)}{2}\right)=I\left(1;\frac{1}{2}\right)$ nên C đúng. Xét tam giác $OMN$: $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=(-1)(3)+(3)(-2)=-9\ne 0$; $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{MN}=(-1)(4)+(3)(-5)=-19\ne 0$; $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{MN}=(3)(4)+(-2)(-5)=22\ne 0$. Không có cặp vectơ nào vuông góc nên tam giác $OMN$ không vuông, mệnh đề D sai. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét ba điểm $A(-1;2),B(0;1),C(4;-2)$.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$. Kiểm tra thẳng hàng: $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=-4+5=1\ne 0$, nên ba điểm không thẳng hàng. Đúng.

b) Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (theo thứ tự đỉnh) thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=C-\overrightarrow{AB}=(4-1;-2+1)=(3;-1)$. Vậy $D(5;-3)$ sai (điểm $(5;-3)$ tương ứng với thứ tự đỉnh khác, ví dụ $ABDC$). Sai.

c) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{1\cdot 5+(-1)(-4)}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{41}}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$. Sai.

d) Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\left|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5\right|=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$ (đơn vị diện tích). Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$; định thức $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$ nên ba điểm không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=C-\overrightarrow{AB}=(3;-1)$, không phải $(5;-3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$ nên $\widehat{BAC}\approx 6,3^{\circ }<9^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\left|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\right|=\frac{1}{2}|-4+5|=\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm: $x_G=\frac{-3+4+2}{3}=1$, $y_G=\frac{2-1+5}{3}=2$. Vậy $G(1;2)$, khớp đáp án C của đề (Mã đề 102, câu 9).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Thay $A(-3;2)$, $B(4;-1)$, $C(2;5)$: $x_G=\frac{-3+4+2}{3}=\frac{3}{3}=1$, $y_G=\frac{2-1+5}{3}=\frac{6}{3}=2$. Vậy $G(1;2)$, khớp với đáp án A trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, suy ra $D=A+C-B=(3;-1)\ne (5;-3)$ nên ý a) Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$, diện tích $=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$ nên ý b) Đúng. c) Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương (tích có hướng bằng $1\ne 0$) nên ba điểm không thẳng hàng, ý c) Đúng. d) $\cos \widehat{BAC}=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{9}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{41}}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 6,33^{\circ }<9^{\circ }$, ý d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=A+C-B=(-1+4-0;2-2-1)=(3;-1)\ne (5;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(5;-4)$; $S=\frac{1}{2}|1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5|=\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích có hướng $1\cdot (-4)-(-1)\cdot 5=1\ne 0$ nên $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAC}=\frac{9}{\sqrt{82}}\approx 0,9939\Rightarrow \widehat{BAC}\approx 6,33^{\circ }<9^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MN}=(3-(-1);-2-3)=(4;-5)$ nên A đúng. Trung điểm $I=\left(\frac{-1+3}{2};\frac{3+(-2)}{2}\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)$ nên B đúng. $MN=\sqrt{4^2+(-5{)}^2}=\sqrt{41}$ nên D đúng. Xét tam giác $OMN$: $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}=(-1)(3)+(3)(-2)=-9\ne 0$; $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{MN}=(-1)(4)+(3)(-5)=-19\ne 0$; $\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{MN}=(3)(4)+(-2)(-5)=22\ne 0$. Không có cặp cạnh nào vuông góc nên tam giác $OMN$ không vuông, mệnh đề C sai. Khớp với đáp án nguồn (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, ta có $2(M-A)-(M-B)+3(M-C)=\vec{0}$, suy ra $4M=2A+B+3C$. Vậy $x_M=\frac{2\cdot 2+(-1)+3\cdot (-2)}{4}=\frac{4-1-6}{4}=-\frac{3}{4}$, $y_M=\frac{2\cdot 8+2+3\cdot 5}{4}=\frac{16+2+15}{4}=\frac{33}{4}$. Do đó $a+b=-\frac{3}{4}+\frac{33}{4}=\frac{30}{4}=7,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\bar{u}-3\bar{v}=(5-3\cdot 1;-1-3\cdot 1)=(2;-4)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(1-(-2);-5-1)=(3;-6)$, $\overrightarrow{AB}=B-A=(1-(-2);1-1)=(3;0)$ → đúng. b) Trung điểm $AB$ là $M\left(\frac{-2+1}{2};\frac{1+1}{2}\right)=\left(-\frac{1}{2};1\right)$, không phải $\left(-\frac{1}{2};0\right)$ → sai. c) Đường cao $BH\perp AC$ nên vectơ chỉ phương của $BH$ phải vuông góc với $\overrightarrow{AC}=(3;-6)$; nhưng $(3;-6)$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AC}=1\cdot (3;-6)$), không vuông góc (tích vô hướng $3\cdot 3+(-6)(-6)=45\ne 0$) → sai. d) Đường tròn đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $I\left(-\frac{1}{2};1\right)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}$, phương trình ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{9}{4}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(3;-6)$, $\overrightarrow{AB}=(3;0)$ đều đúng theo công thức hiệu tọa độ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $AB$ là $M\left(-\frac{1}{2};1\right)$ chứ không phải $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BH\perp AC$ nhưng $\vec{u}=(3;-6)$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}=(3;-6)$, tích vô hướng $45\ne 0$, nên không phải vectơ chỉ phương của đường cao.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I\left(-\frac{1}{2};1\right)$, $R=\frac{3}{2}$, phương trình ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+(y-1{)}^2=\frac{9}{4}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ trong mặt phẳng tọa độ là $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$. Do đó khẳng định đúng là phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm BC nên M(1;1), vectơ AM=(3;0) nằm ngang; BC là đường thẳng x=1 (vectơ BC=(0;-4)) nằm dọc, nên AM ⟂ BC: đúng.
b) I cách đều A, B, C là tâm đường tròn ngoại tiếp. Trung trực của BC (BC từ (1;3) đến (1;-1)) là y=1; trung trực của AB: trung điểm (-1/2;2), hệ số góc AB = 2/3 nên trung trực có hệ số góc -3/2: y-2 = -3/2(x+1/2). Tại y=1: x = 1/6. Vậy I(1/6;1), khoảng cách từ I đến đường thẳng BC (x=1) là 1 - 1/6 = 5/6 ≈ 0,833 km < 1 km: đúng.
c) AB=(3;2), AC=(3;-2), tích vô hướng AB·AC = 9 - 4 = 5 ≠ 2: sai.
d) cos góc A = 5/(√13·√13) = 5/13 ≈ 0,3846, suy ra góc ≈ 67,38° > 60°: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M(1;1), AM=(3;0) nằm ngang, BC là đường thẳng x=1 nằm dọc nên AM vuông góc BC.
b) (AI giải đề cho tôi)
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: I(1/6;1), khoảng cách đến BC (x=1) bằng 5/6 < 1 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB·AC = 3·3 + 2·(-2) = 5 ≠ 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos góc A = 5/13, góc ≈ 67,4° > 60°.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 0105, dòng 13: SĐSS)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AC$ qua $A(0,0)$, $C(2,3)$ có phương trình $y=\frac{3}{2}x$. Gọi $M(x;y)$ thuộc đường thẳng $AC$ nên $y=\frac{3}{2}x$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h_C=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 3=6$. Diện tích tam giác $ABM=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot |y_M|=2|y_M|$. Theo đề: $2|y_M|=3\cdot 6=18$ nên $|y_M|=9$. Vì $M$ có tung độ âm nên $y_M=-9$, suy ra $x_M=\frac{2}{3}\cdot (-9)=-6$. Vậy $M(-6;-9)$, tổng hoành độ và tung độ là $-6+(-9)=-15$, khớp với đáp án nguồn $-15$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\overrightarrow{AB}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-2-1;0-2)=(-3;-2)$, nên $2\overrightarrow{AC}=(-6;-4)$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=(2-(-6);-3-(-4))=(8;1)$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án mã đề 0105 (câu 9: A).