Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm BC: ((5-1)/2; (0+3)/2) = (2; 1.5) ≠ (2;3) → Sai. b) P trên AB nên y0=0, P=(x0;0). PA = (-x0;0), CA = A−C = (1;-3), nên PA−CA = (-x0-1; 3), bình phương độ dài = (x0+1)²+9, nhỏ nhất tại x0=-1 nhưng P phải thuộc đoạn AB (0≤x0≤5) nên min tại x0=0, khi đó x0+y0=0 ≠ -1 → Sai. c) AD = 2AB − AC = 2(5;0) − (-1;3) = (11;-3), D = A + (11;-3) = (11;-3) → Đúng. d) Trọng tâm G = ((0+5-1)/3; (0+0+3)/3) = (4/3; 1) ≠ (1;1) → Sai. Khớp bảng đáp án mã 0101 dòng 14: S,S,Đ,S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC là ((5+(-1))/2; (0+3)/2) = (2; 1.5), không phải (2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
P trên AB nên P=(x0;0). |PA−CA|² = (x0+1)²+9 nhỏ nhất tại x0=-1 ngoài đoạn AB, nên min tại x0=0, x0+y0=0 ≠ -1.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD = 2(5;0) − (-1;3) = (11;-3) nên D(11;-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
G = ((0+5-1)/3; (0+0+3)/3) = (4/3; 1) ≠ (1;1).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $BC$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{CB}=(3,2)$. Vì $M$ nằm trên đường thẳng $BC$ nên khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$ không đổi, do đó $S_{ABM}=2S_{ABC}$ khi và chỉ khi $BM=2BC$. Với $\overrightarrow{CB}=(3,2)$, ta có $M=B+2\overrightarrow{CB}=(3,1)+2(3,2)=(9,5)$ hoặc $M=B-2\overrightarrow{CB}=(3,1)-(6,4)=(-3,-3)$. Vì $M$ có hoành độ dương nên $M(9,5)$, tổng hoành độ và tung độ là $9+5=14$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1;4-(-2))=(-1;6)$ và $\overrightarrow{AC}=C-A=(3-1;2-(-2))=(2;4)$. Suy ra $2\overrightarrow{AC}=(4;8)$, do đó $\vec{u}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(-1+4;6+8)=(3;14)$. Kết quả trùng với đáp án A và khớp với bảng đáp án nguồn (câu 6, mã đề 0101: A).

Do $B$ là trung điểm $AC\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_B=\frac{x_A+x_C}{2}\\ y_B=\frac{y_A+y_C}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=3\\ b=-2\end{array}\Rightarrow a+b=1$. Kết quả 1

Do $M$ là trung điểm $AB\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)=3\vec{i}+2\vec{j}\Rightarrow$ Chọn A

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(4-1;-1-2)=(3;-3)$. Suy ra $3\overrightarrow{AB}=(9;-9)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 16: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Nếu ABCD là hình bình hành thì A+C=B+D, suy ra D=A+C−B=(4+2−2; 1−2−4)=(4;−5), không phải D(4;5). b) Đúng: A là trọng tâm tam giác BCE nên E=3A−B−C=(12−2−2; 3−4+2)=(8;1). c) Đúng: BC là đoạn thẳng đứng x=2 với trung điểm (2;1), trung trực của BC là đường thẳng y=1, nên I=(x;1). Giải IA²=IC²: (x−4)²=(x−2)²+9 ⟹ −4x=−3 ⟹ x=3/4, vậy I(3/4;1). d) Sai: BC thẳng đứng nên đường cao từ A là đường ngang y=1; hệ số góc của AC là 3/2 nên đường cao từ B có hệ số góc −2/3: y−4=−(2/3)(x−2). Tại y=1 ⟹ x=13/2. Trực tâm thực tế là H(13/2;1), không phải H(13/2;−1). Kết quả S-Đ-Đ-S khớp với bảng đáp án mã đề 102, dòng 24.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD yêu cầu D=A+C−B=(4;−5), không phải (4;5).
b) (AI giải đề cho tôi)
E=3A−B−C=(8;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung trực BC là y=1; giải IA²=IC² được x=3/4, nên I(3/4;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trực tâm thực tế là H(13/2;1), không phải H(13/2;−1).

(AI giải đề cho tôi)
Với $I(x;0)$ trên trục $Ox$, ta có $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI}$, $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI}$. Do đó $$\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}-(1+3-1)\overrightarrow{OI}.$$ Tính $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=(5+21+9;-2+9-1)=(35;6)$. Vậy biểu thức cần xét là $\vec{v}=(35-3x;6)$, nên $$|\vec{v}{|}^2=(35-3x{)}^2+36\ge 36,$$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $35-3x=0\iff x=\frac{35}{3}$. Vậy $I\left(\frac{35}{3};0\right)$, tức $a=35$, $b=3$ (phân số tối giản) và $a+b=38$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (38).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: Nếu ABCD là hình bình hành thì D = B + C − A = (2+2−4; 4−2−1) = (0;1), không phải (4;5). Với D(4;5) ta có AB = (−2;3) còn DC = (−2;−7), không bằng nhau nên không là hình bình hành.
b) Đúng: BC là đường thẳng x = 2 nên trung trực của BC là y = 1. Trung điểm AB là (3; 5/2), vecto AB = (−2;3) nên trung trực AB có hệ số góc 2/3: y − 5/2 = (2/3)(x − 3). Thay y = 1 ta được x = 3/4. Vậy I(3/4; 1).
c) Sai: Đường cao từ A vuông góc BC (phương thẳng đứng) nên là đường ngang y = 1. Đường cao từ B vuông góc AC (AC có hệ số góc 3/2) có hệ số góc −2/3: y − 4 = −(2/3)(x − 2). Thay y = 1: x = 13/2. Vậy H(13/2; 1), không phải H(13/2; −1).
d) Đúng: A là trọng tâm tam giác BCE nên A = (B + C + E)/3, suy ra E = 3A − B − C = (12 − 2 − 2; 3 − 4 + 2) = (8; 1). Khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 27: S Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành ABCD yêu cầu D = B + C − A = (0;1). Với D(4;5) thì AB = (−2;3) ≠ DC = (−2;−7), nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trung trực BC: y = 1; trung trực AB: y − 5/2 = (2/3)(x − 3). Giao cho I(3/4; 1), đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ A: y = 1; đường cao từ B: y − 4 = −(2/3)(x − 2). Giao H(13/2; 1) ≠ (13/2; −1), sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
A trọng tâm tam giác BCE: E = 3A − B − C = (8; 1), đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}=(4-1;-1-2)=(3;-3)$ nên $3\overrightarrow{AB}=(9;-9)$. Khớp với đáp án A và bảng đáp án (câu 8, mã 0101: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm $AB$: $M((4+2)/2;(3-3)/2)=(3;0)$, không phải $(-1;-3)$ → Sai. b) $\overrightarrow{AB}=(2-4;-3-3)=(-2;-6)$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}=(1-2;1-(-3))=(-1;4)$; kiểm tra $\vec{u}=(4;1)$: $(-1)(4)+(4)(1)=0$ nên $\vec{u}$ là pháp tuyến của $BC$ → Đúng. d) Đường thẳng $AB$ qua $A(4;3)$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;-6)$ (tỉ lệ với $(-2;6)$ khi xét $y$): $x=4-2t$, $y=3+6t$; kiểm tra $t=1$: $(2;-3)=B$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $M((4+2)/2;(3+(-3))/2)=(3;0)$, khác $(-1;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(2-4;-3-3)=(-2;-6)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-1;4)$, và $(-1)(4)+(4)(1)=0$ nên $\vec{u}=(4;1)$ là một pháp tuyến của $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(4;3)$ có vecto chỉ phương $(-2;6)$: $x=4-2t$, $y=3+6t$; với $t=1$ được $B(2;-3)$, thỏa mãn.

Gọi $H(a;b)$ là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có: $\overrightarrow{AH}(a+3;b),\overrightarrow{BC}(-1;6)$ $\Rightarrow \overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. $\overrightarrow{BH}(a-3;b),\overrightarrow{AC}(5;6)$ $\Rightarrow \overrightarrow{BH}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Từ đó ta có hệ phương trình $$\{\begin{array}{l}-a+6b=3\\ 5a+6b=15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=\frac{5}{6}\end{array}$$ $\Rightarrow a+6b=7$.

Vì $M\in d$ nên $M\left(2t+2;t\right)$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(2t-1;t-4\right)$, $\overrightarrow{BM}=\left(2t+3;t-2\right)$ và $\overrightarrow{CM}=\left(2t+2;t-1\right)$. $\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{BM}+3\overrightarrow{CM}=\left(4t-1;2t-3\right)$. $P^2=20t^2-20t+10$. $P_{\min }\iff P_{\min }^2\iff t=\frac{1}{2}$. Khi đó: $M\left(3;\frac{1}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Vì $E$ là trung điểm $BC$ nên $E(a;\frac{a}{2})$. Vì $F$ là trung điểm $AE$ nên $F(\frac{a}{2};\frac{a}{4})$. Khi đó $D{F}^2=(\frac{a}{2}-0{)}^2+(\frac{a}{4}-a{)}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{9a^2}{16}=\frac{13a^2}{16}$, suy ra $DF=\frac{a\sqrt{13}}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ $2\vec{i}+3\vec{j}$ có hệ số của $\vec{i}$ là hoành độ 2 và hệ số của $\vec{j}$ là tung độ 3, nên tọa độ là $(2;3)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}=3\vec{i}-4\vec{j}$ nên tọa độ của $\vec{u}$ là $\vec{u}=(3;-4)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=\frac{1}{2}\vec{i}-5\vec{j}=\left(\frac{1}{2};-5\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng hiệu tọa độ điểm cuối và điểm đầu: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(4-2;3-(-1))=(2;4)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì hệ số của $\vec{i}$ là $-3$ (do $-3\vec{i}$) và hệ số của $\vec{j}$ là $8$, nên vecto $\vec{a}=8\vec{j}-3\vec{i}$ có tọa độ là $\vec{a}=(-3;8)$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}$ được tính bằng hiệu tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(0-1;6-3)=(-1;3)$. Vậy khẳng định đúng là phương án D.