Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

a) Tìm được C(0; -2 )

Gọi H(x;y) ta có $\overrightarrow{AH}=(x+1;y-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$

Vì $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ nên 2x + 5y = 23 (1 )

Lại có : $\overrightarrow{BH}=(x-2;y-3)$

Vì $\overrightarrow{AH}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên 5x – 2y = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta được $\{\begin{array}{l}x=\frac{66}{29}\\ y=\frac{107}{29}\end{array}\to H\left(\frac{66}{29};\frac{107}{29}\right)$

b) Lấy $A^{\prime }$ đối xứng A qua Ox , suy ra $A^{\prime }(-1;-5)$

Ta có: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$

Đẳng thức xảy ra khi $M=A^{\prime }B\cap Ox$

Đường thẳng $A^{\prime }B$ có phương trình: 8x - 3y -7 = 0

Giải hệ $\{\begin{array}{l}8x-3y-7=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{7}{8}\\ y=0\end{array}\to M\left(\frac{7}{8};0\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$ và $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=-2\vec{i}+\vec{j}=-2(1;0)+1(0;1)=(-2;1)$. Vậy tọa độ của $\vec{u}$ là $(-2;1)$, tương ứng phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$ nên $AB=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$, đúng.
b) $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-4+3;-14+0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$, sai.
c) $G=\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CG}=\frac{16}{3}+\frac{49}{3}=\frac{65}{3}$, $|CG|=\frac{\sqrt{113}}{3}$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{113}}=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$, sai.
d) $M=\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 3: Đ, S, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-4+2{)}^2+(-2-5{)}^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}=2(-2;-7)+(3;0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$, $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}$, $\vec{j}$ là hai vectơ đơn vị trên các trục $Ox$, $Oy$ nên $\vec{u}=-2\vec{i}+\vec{j}=-2\vec{i}+1\cdot \vec{j}$ có tọa độ là $\vec{u}=(-2;1)$. Kết quả này trùng với đáp án B trong đề và với bảng đáp án (Mã đề 101, Câu 2: B).

Gọi B(x;y) suy ra $\overrightarrow{AB}=(x-4;y-8)$, $\overrightarrow{AC}=(-15;5)$

- Theo đề ta có: $\overrightarrow{AB}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AC}\iff \{\begin{array}{l}x=-8\\ y=12\end{array}\to B(-8;12)$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ: $O(0;0)$, bờ biển là trục $Ox$, $A(-4;0)$, $B(5;0)$. Tàu $M$ chuyển động theo phương tạo góc $60^{\circ }$ với bờ nên $M=\left(\frac{x}{2};-\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)$ với $x=OM$. Vì $MA=MB$ nên $M{A}^2=M{B}^2$: ${\left(\frac{x}{2}+4\right)}^2+\frac{3x^2}{4}={\left(\frac{x}{2}-5\right)}^2+\frac{3x^2}{4}$. Suy ra $\frac{x^2}{4}+4x+16=\frac{x^2}{4}-5x+25\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1$. Vậy $OM=1km$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $x=\frac{2+4}{2}=3$, $y=\frac{-5+1}{2}=-2$. Vậy $x+y=3+(-2)=1$.

ĐÁP SỐ:

a) Gọi D(x;y). Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;3);\overrightarrow{DC}=(7-x;4-y)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}3=7-x\\ 3=4-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$

Vậy D(4; 1) thì ABCD là hình bình hành.

b) Gọi H(x;y). Ta có
$\overrightarrow{AH}=(x-1;y-2);\overrightarrow{BC}=(3;-1)$
$\overrightarrow{BH}=(x-4;y-5);\overrightarrow{AC}=(6;2)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3.(x-1)-1.(y-2)=0\\ 6.(x-4)+2.(y-5)=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 3x+y=17\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}$

Vậy H(3;8) là trực tâm của tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB: $x=\frac{2+4}{2}=3$, $y=\frac{-5+1}{2}=-2$. Vậy $x+y=3+(-2)=1$.

ĐÁP SỐ:

a) Gọi D(x;y). Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

Ta có: $\overrightarrow{AB}=(3;3);\overrightarrow{DC}=(7-x;4-y)$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}3=7-x\\ 3=4-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=4\\ y=1\end{array}$

Vậy D(4; 1) thì ABCD là hình bình hành.

b) Gọi H(x;y). Ta có
$\overrightarrow{AH}=(x-1;y-2);\overrightarrow{BC}=(3;-1)$
$\overrightarrow{BH}=(x-4;y-5);\overrightarrow{AC}=(6;2)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên
$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{BH}\perp \overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3.(x-1)-1.(y-2)=0\\ 6.(x-4)+2.(y-5)=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}3x-y=1\\ 3x+y=17\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=8\end{array}$

Vậy H(3;8) là trực tâm của tam giác ABC.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B(5;3)$, $C(-1;2)$ nên $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, độ dài $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}$ → a) Đúng; b) Sai vì tọa độ là $(-6;-1)$ chứ không phải $(6;1)$. Điểm $M$ đối xứng với $A(3;-2)$ qua $B$ là trung điểm của $AM$ nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BM}$, suy ra $M=2B-A=(10-3;6+2)=(7;8)$ → c) Đúng. Xét góc $\widehat{ABC}$: $\overrightarrow{BA}=(-2;-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$, tích vô hướng $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=12+5=17>0$ nên góc $\widehat{ABC}$ nhọn, không phải góc tù → d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-6;-1)$ nên $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-6{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{37}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=C-B=(-1-5;2-3)=(-6;-1)$, không phải $(6;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B$ là trung điểm $AM$ nên $M=2B-A=(2\cdot 5-3;2\cdot 3-(-2))=(7;8)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2)(-6)+(-5)(-1)=17>0$ nên $\widehat{ABC}$ là góc nhọn.

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;4)$, $\overrightarrow{BC}=(-1;0)$.
Suy ra $\vec{u}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(-1;4)$.

b) Gọi $M(a;b)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=(3-a;-2-b)$, $\overrightarrow{MC}=(-1-a;2-b)$.
Suy $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=(7-a;-6-b)$.
Vì $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}$ nên $\{\begin{array}{l}7-a=-1\\ -6-b=4\end{array}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}a=8\\ b=-10\end{array}$.
Vậy $M(8;-10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tọa độ vectơ: nếu $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ thì $\vec{u}=(x;y)$. Với $\vec{u}=-2\vec{i}+3\vec{j}$, ta có $x=-2$, $y=3$, suy ra $\vec{u}=(-2;3)$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 1002, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=(-2-4;0-(-3))=(-6;3)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1002, Câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MN}=N-M=(-2-4;0-(-3))=(-6;3)$. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{u}=-2\vec{i}+3\vec{j}$ nên tọa độ của $\vec{u}$ là hệ số của $\vec{i}$ và $\vec{j}$ tương ứng, tức $\vec{u}=(-2;3)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $AB=3,BC=4,AC=5$ nên $A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2$, tam giác vuông tại $B$. a) Chân phân giác trong tại $A$ cắt $BC$ tại $D$ với $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$, nên $D=\frac{5B+3C}{8}=(3;-\frac{1}{2})$, khi đó $a+4b=3+4\cdot (-\frac{1}{2})=1$: đúng. b) $G=(\frac{0+3+3}{3};\frac{1+1-3}{3})=(2;-\frac{1}{3})$: đúng. c) Tam giác vuông tại $B$: đúng. d) $\overrightarrow{AB}=(3-0;1-1)=(3;0)\ne (-3;0)$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất đường phân giác, $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$, nên $D=\frac{5B+3C}{8}=(3;-\frac{1}{2})$, suy ra $a+4b=3-2=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=(\frac{0+3+3}{3};\frac{1+1-3}{3})=(2;-\frac{1}{3})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB=3,BC=4,AC=\sqrt{9+16}=5$, vì $3^2+4^2=5^2$ nên tam giác vuông tại $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-0;1-1)=(3;0)$, không phải $(-3;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=\vec{j}-2\vec{i}=(0;1)-2(1;0)=(-2;1)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{NA}=(1-x;3-y)$ và $\overrightarrow{BN}=(x-2;y+4)$. Điều kiện $\overrightarrow{NA}=-3\overrightarrow{BN}$ cho hệ: $1-x=-3(x-2)\Rightarrow 2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}$; $3-y=-3(y+4)\Rightarrow 2y=-15\Rightarrow y=-\frac{15}{2}$. Vậy $x-y=\frac{5}{2}-\left(-\frac{15}{2}\right)=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: 10).