Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{3+6+3}{3}\right)=(2;4)$, nên a) Sai ($G(6;12)$ sai). $\overrightarrow{AG}=(1;1)$, $\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}=(3;3)$ nên $D=A+(3;3)=(4;6)$, b) Đúng. Tứ giác $ABDC$ với $A(1;3),B(1;6),D(4;6),C(4;3)$: $\overrightarrow{AB}=(0;3)\perp \overrightarrow{BD}=(3;0)$, các cạnh bằng nhau bằng 3 và vuông góc, là hình vuông, c) Đúng. $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, $\overrightarrow{BD}=(3;0)$, tích vô hướng $=9\ne 0$, d) Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: b, c đúng; a, d sai.
a) Trọng tâm $G=\left(\frac{1+1+4}{3};\frac{3+6+3}{3}\right)=(2;4)\ne (6;12)$.
b) $\overrightarrow{AG}=(1;1)$ nên $\overrightarrow{AD}=(3;3)$, $D=(4;6)$.
c) $A(1;3),B(1;6),D(4;6),C(4;3)$ tạo tứ giác có các cạnh $AB=BD=DC=CA=3$ và $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BD}$, là hình vuông.
d) $\overrightarrow{AC}=(3;0)$, $\overrightarrow{BD}=(3;0)$, tích vô hướng $=9\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang AB ∥ CD với CD = 2AB, giao điểm hai đường chéo E chia AC theo tỉ số AE/EC = AB/CD = 1/2, tức E = (2A + C)/3. Suy ra 3E = 2A + C, nên A = (3E − C)/2 = ((24 − 4)/2; (9 − 7)/2) = (10; 1). Vậy a = 10, b = 1, T = 10² + 1² = 101, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=2\vec{j}-3\vec{i}=2(0;1)-3(1;0)=(0;2)+(-3;0)=(-3;2)$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(3;-4)$ nên $OM=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (trang 5: câu 5 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Tâm $O$ của hình bình hành $ABCD$ là trung điểm của hai đường chéo $BD$ (và $AC$). Với $B(1;3)$, $D(-3;5)$: $x_O=\frac{1+(-3)}{2}=-1$, $y_O=\frac{3+5}{2}=4$. Vậy $O(-1;4)$, trùng với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(2-(-1);5-3)=(3;2)$. Kết quả trùng với đáp án C trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AC với A(-2;5), C(1;5): a = (-2+1)/2 = -1/2, b = (5+5)/2 = 5. Do đó T = 2a + b = 2·(-1/2) + 5 = -1 + 5 = 4.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Cho $A(4;1),B(-2;4),C(-2;-2)$.

a) $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
$\overrightarrow{AB}=(-6;3)$. Gọi $D(x_D;y_D)$ thì $\overrightarrow{DC}=(-2-x_D;-2-y_D)$.
Suy ra $-2-x_D=-6\Rightarrow x_D=4$; $-2-y_D=3\Rightarrow y_D=-5$.
Vậy $D(4;-5)$.
Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(0;-6)=\overrightarrow{BC}$, đúng.

b) Gọi $F(x;y)$. Ta có:
$\overrightarrow{AF}=(x-4;y-1)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-6)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;-3)$, $\overrightarrow{CF}=(x+2;y+2)$.

$\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}=(0;-6)-(-12;-6)+(2x+4;2y+4)=(2x+16;2y+4)$.

Phương trình $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}$ cho hệ:
$x-4=2x+16\Rightarrow x=-20$;
$y-1=2y+4\Rightarrow y=-5$.

Vậy $F(-20;-5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB với A(-2;5), B(-4;-2): $a=\frac{-2+(-4)}{2}=-3$, $b=\frac{5+(-2)}{2}=\frac{3}{2}$. Suy ra $T=3a+2b=3(-3)+2\cdot \frac{3}{2}=-9+3=-6$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20 (Phần IV - Câu 2). Cho $A(-4;-1),B(2;-4),C(2;2)$.

a) ABCD là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(6;-3)$. Gọi $D(x;y)$ thì $\overrightarrow{DC}=(2-x;2-y)=(6;-3)$, suy ra $x=-4,y=5$. Vậy $D(-4;5)$. (Kiểm tra: $\overrightarrow{AD}=(0;6)=\overrightarrow{BC}$, đúng.)

b) Gọi $F(x;y)$. Ta có:
- $\overrightarrow{AF}=(x+4;y+1)$
- $\overrightarrow{BC}=(0;6)$, $\overrightarrow{AC}=(6;3)$, $\overrightarrow{CF}=(x-2;y-2)$

Phương trình $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CF}$ trở thành:
$$(x+4;y+1)=(0;6)-(12;6)+(2x-4;2y-4)=(2x-16;2y-4)$$

Suy ra hệ: $x+4=2x-16\Rightarrow x=20$; $y+1=2y-4\Rightarrow y=5$.

Vậy $F(20;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CA}=(-3-3;-2-0)=(-6;-2)$ và $\overrightarrow{CB}=(4-3;-3-0)=(1;-3)$.

a) Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-6)(1)+(-2)(-3)=-6+6=0$. Vậy $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{CB}$, tức tam giác ABC vuông tại C.

b) $CA=\sqrt{(-6{)}^2+(-2{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$; $CB=\sqrt{1^2+(-3{)}^2}=\sqrt{10}$.
Diện tích tam giác ABC vuông tại C: $S=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}=10$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $E(L;0)$, $A(0;1)$ (vì $AD=1$), $B(L;4)$ (vì $BE=4$). Vì $AB=5$ nên $L^2+(4-1{)}^2=25\Rightarrow L^2=16\Rightarrow L=4$. Độ dài dây là $AC+CB$ với $C(x;0)$, $0\le x\le 4$. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng với $A$ qua $DE$: $A^{\prime }(0;-1)$. Khi đó $AC+CB=A^{\prime }C+CB\ge A^{\prime }B=\sqrt{(4-0{)}^2+(4+1{)}^2}=\sqrt{41}\approx 6,40$, dấu bằng khi $C$ là giao của $A^{\prime }B$ với $DE$ (tại $x=4/5\in [0;4]$). Vậy độ dài dây ngắn nhất là $\sqrt{41}\approx 6,40$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=2\vec{j}-5\vec{i}=2(0;1)-5(1;0)=(0;2)+(-5;0)=(-5;2)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, vectơ dịch chuyển là $\overrightarrow{AB}=2\vec{v}=(6;8)$. Suy ra $B=A+(6;8)=(3+6;2+8)=(9;10)$. Vậy $x\cdot y=9\cdot 10=90$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần IV):

a) G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, tức $C=3G-A-B$. Tọa độ: $x_C=3\cdot 3-(-1)-3=7$, $y_C=3\cdot 2-(-1)-5=2$. Vậy $C(7;2)$.

b) $M$ trên trục hoành nên $M(m;0)$. Tam giác $ABM$ vuông tại $M$ khi $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Ta có $\overrightarrow{MA}=(-1-m;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(3-m;5)$. Tích vô hướng: $(-1-m)(3-m)+(-1)(5)=m^2-2m-3-5=m^2-2m-8=0$. Giải được $m=4$ hoặc $m=-2$ (đều thỏa, vì khi đó $M$ không trùng $A$, $B$). Vậy $M(4;0)$ hoặc $M(-2;0)$.

Kiểm tra: với $M(4;0)$: $\overrightarrow{MA}=(-5;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(-1;5)$, tích $=5-5=0$ ✓. Với $M(-2;0)$: $\overrightarrow{MA}=(1;-1)$, $\overrightarrow{MB}=(5;5)$, tích $=5-5=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;2)$ với hệ số góc $k=\frac{6-2}{-2-1}=-\frac{4}{3}$, nên có phương trình $y=-\frac{4}{3}(x-1)+2$. Tại $x=0$ (trên trục $Oy$): $y=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$. Vậy $M\left(0;\frac{10}{3}\right)$, khớp phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AC$ và $S_{△ABC}=3S_{△ABM}$, hai tam giác có chung đường cao từ $B$ nên $\frac{S_{△ABM}}{S_{△ABC}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$, tức $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Với $A(1;2)$, $C(5;0)$: $\overrightarrow{AC}=(4;-2)$, nên $M=\left(1+\frac{4}{3};2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$. Khi đó $P=3a-6b=3\cdot \frac{7}{3}-6\cdot \frac{4}{3}=7-8=-1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên đoạn $AC$ và hai tam giác $ABC$ và $ABM$ có chung đường cao hạ từ $B$, nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ABM}}=\frac{AC}{AM}=3$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$. Với $A(1;2),C(5;0)$: $\overrightarrow{AC}=(4;-2)$, nên $M=\left(1+\frac{4}{3};2-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{7}{3};\frac{4}{3}\right)$. Do đó $a=\frac{7}{3},b=\frac{4}{3}$ và $P=3a-6b=7-8=-1$. Vậy đáp án B.

Ta có $B$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ và trục hoành nên $B(1;0)$.

Vì $C$ thuộc đường thẳng $BC$ nên $C\left(c;\sqrt{3}c-\sqrt{3}\right)$ với $c\ne 1$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $A$ thuộc trục hoành nên $A$ là hình chiếu của $C$ trên trục hoành. Suy ra $A(c;0)$.

Khi đó: $AB=|c-1|$, $AC=\sqrt{3}|c-1|$, $BC=2|c-1|$.

Tam giác $ABC$ có diện tích là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}|c-1|\cdot \sqrt{3}|c-1|=\frac{\sqrt{3}}{2}(c-1{)}^2$ và nửa chu vi là $p=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)=\frac{1}{2}\left(|c-1|+\sqrt{3}|c-1|+2|c-1|\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{2}|c-1|$.

Ta có bán kính đường tròn nội tiếp là $r=2$.

Khi đó:
$$S=pr$$
$$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}(c-1{)}^2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}|c-1|\cdot 2$$
$$\iff (c-1{)}^2=2\left(\sqrt{3}+1\right)|c-1|$$
$$\iff \{\begin{array}{l}|c-1|=0(loại)\\ |c-1|=2\left(\sqrt{3}+1\right)\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}c-1=2\left(\sqrt{3}+1\right)\\ c-1=-2\left(\sqrt{3}+1\right)\end{array}$$
$$\iff \{\begin{array}{l}c=2\sqrt{3}+3\\ c=-2\sqrt{3}-1\end{array}$$

Với $c=2\sqrt{3}+3$ thì $C\left(2\sqrt{3}+3;6+2\sqrt{3}\right)$, $A\left(2\sqrt{3}+3;0\right)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(\frac{7+4\sqrt{3}}{3};\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)$.

Với $c=-2\sqrt{3}-1$ thì $C\left(-2\sqrt{3}-1;-6-2\sqrt{3}\right)$, $A\left(-2\sqrt{3}-1;0\right)$. Khi đó trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G\left(-\frac{1+4\sqrt{3}}{3};-\frac{6+2\sqrt{3}}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-4+3;-14+0)=(-1;-14)\ne (-1;14)$ → Sai.
b) Trọng tâm $G\left(\frac{-2-4+1}{3};\frac{5-2+5}{3}\right)=\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, nên $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CG}=\frac{16}{3}+\frac{49}{3}=\frac{65}{3}$; $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{53}$, $|\overrightarrow{CG}|=\frac{\sqrt{113}}{3}$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{53\cdot 113}}=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$ → Sai.
c) $M$ trung điểm $BC$: $M\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ → Đúng.
d) $AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{53}$ → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 1: S, S, Đ, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-7)$, $\overrightarrow{AC}=(3;0)$ nên $\vec{u}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-1;-14)$, khác (-1;14) → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(-\frac{5}{3};\frac{8}{3}\right)$, $\overrightarrow{CG}=\left(-\frac{8}{3};-\frac{7}{3}\right)$, $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CG}\right)=\frac{65}{\sqrt{5989}}\approx 0,8399<0,84$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M\left(\frac{-4+1}{2};\frac{-2+5}{2}\right)=\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-7{)}^2}=\sqrt{53}$ → Đúng.