Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $A(0;3)$, $B(3;3)$, $C(3;0)$. Khi đó $M(2;3)$ (vì $BM=1$ trên $AB$), $N(1;0)$ (vì $DN=1$ trên $CD$), $P(3;1,5)$ (trung điểm $BC$). Suy ra $\overrightarrow{NM}=(1;3)$, $\overrightarrow{NP}=(2;1,5)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=1\cdot 2+3\cdot 1,5=6,5$. Độ dài: $|\overrightarrow{NM}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{NP}|=\sqrt{4+2,25}=2,5$. Vậy $\cos (\overrightarrow{NM},\overrightarrow{NP})=\frac{6,5}{2,5\sqrt{10}}=\frac{2,6}{\sqrt{10}}\approx 0,8222\approx 0,82$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$, đường chéo $AC$ là phân giác của góc $\widehat{BAD}$, nên $\widehat{BAD}=2\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC$. Trong tam giác $ABD$ (đẳng cạnh $AB=AD=a$, góc đỉnh $A=120^{\circ }$), ta có $AC=2a\cos 60^{\circ }=a$. Vậy độ dài cần tìm bằng $a$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 13: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $I$, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành) và $I$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$, khẳng định B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{AD}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{BC}\ne 2\overrightarrow{CB}$; D sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=-(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})$ do $I$ là trung điểm cả hai đường chéo. Kết quả khớp với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}=(m+3n;2m+n)$. Suy ra hệ: $m+3n=5$ và $2m+n=5$. Giải: từ phương trình thứ hai $n=5-2m$, thay vào: $m+3(5-2m)=5\Rightarrow m+15-6m=5\Rightarrow -5m=-10\Rightarrow m=2$, khi đó $n=5-4=1$. Vậy $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$. Kiểm tra: $2(1;2)+(3;1)=(2+3;4+1)=(5;5)=\vec{c}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ có cạnh $a$ và $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Vì $AB=BC=a$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ có góc ở đáy $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, do đó tam giác $ABC$ đều, suy ra $\widehat{BAD}=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$. Tính độ dài tổng vectơ: $$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}{|}^2=A{B}^2+A{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2+a^2+2a^2\cos 120^{\circ }=2a^2-a^2=a^2.$$ Vậy $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=a$. Kết quả khớp với đáp án nguồn A (mã đề 0101, câu 16).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 120^{\circ }=5\cdot 7\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{35}{2}$ → Đúng. b) Theo tính chất đường phân giác trong: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}$, suy ra $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, khác với khẳng định $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$ → Sai. c) Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ → Đúng. d) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ → Đúng. Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 25 (ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 7\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{35}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{BD}{DC}=\frac{5}{7}$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{7}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{12}\overrightarrow{AC}$, không phải $\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\frac{7}{12}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$. Theo tọa độ: $\{\begin{array}{l}x+3y=5\\ 2x+y=5\end{array}$. Từ phương trình thứ hai $y=5-2x$, thay vào phương trình thứ nhất: $x+3(5-2x)=5\Rightarrow x+15-6x=5\Rightarrow -5x=-10\Rightarrow x=2$, suy ra $y=5-4=1$. Vậy $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$. Kiểm tra: $2(1;2)+(3;1)=(2+3;4+1)=(5;5)=\vec{c}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABCD$ có 4 đỉnh. Một vecto khác vecto - không được xác định bởi một cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt, và vecto - không có điểm đầu trùng điểm cuối. Số cách chọn điểm đầu là 4, sau đó chọn điểm cuối khác điểm đầu là 3, nên có $4\times 3=12$ vecto (các vecto $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$). Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi hai vecto đã cho là $\vec{a}$ và $\vec{b}$, với $\vec{a}\ne \vec{0}$, $\vec{b}\ne \vec{0}$ và $\vec{a}$ không cùng phương với $\vec{b}$. Một vecto $\vec{u}\ne \vec{0}$ cùng phương với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thì $\vec{u}$ phải có phương trùng với phương của $\vec{a}$ (vì cùng phương với vecto khác $\vec{0}$) và đồng thời có phương trùng với phương của $\vec{b}$. Điều này đòi hỏi $\vec{a}$ cùng phương với $\vec{b}$, mâu thuẫn với giả thiết. Chỉ có vecto $\vec{0}$ là cùng phương với mọi vecto, nhưng đề yêu cầu vecto khác $\vec{0}$. Vậy không tồn tại vecto nào thỏa mãn, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, các vecto có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh và cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (tức nằm trên đường thẳng song song với $AB$) là: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$ (trên đường thẳng $AB$) và $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}$ (trên đường thẳng $DC$ song song với $AB$, vì $AB\parallel DC$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$). Tất cả đều khác $\vec{0}$. Vậy có 4 vecto, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ và ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ — loại A.
Xét các cặp còn lại:
- B: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng (cùng đi từ phía $A$ về $B$, vì $M$ nằm trên đoạn $AB$) — cùng hướng.
- C: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$.
- D: $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}$ ngược hướng vì $N$ nằm trên đoạn $AC$, $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$, ngược với $\overrightarrow{CA}$.
Vậy cặp vecto cùng hướng là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{MB}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vecto $\vec{0}$ được coi là cùng phương với mọi vecto, và đây là vecto duy nhất có tính chất đó (mọi vecto khác $\vec{0}$ chỉ cùng phương với những vecto có phương song song với nó). Do đó có duy nhất một vecto (là $\vec{0}$) cùng phương với mọi vecto. Các mệnh đề B, C, D đều sai vì đều phủ nhận hoặc mở rộng sai tính chất duy nhất này.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$ nên đường trung bình $MN\parallel AC$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng phương với mọi vecto có giá nằm trên đường thẳng $AC$. Các điểm nằm trên đường thẳng $AC$ là $A,P,C$ (vì $P$ là trung điểm của $CA$), nên các vecto cùng phương với $\overrightarrow{MN}$ là: $\overrightarrow{NM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AP},\overrightarrow{PA},\overrightarrow{PC},\overrightarrow{CP}$. So sánh các đáp án: A thiếu $\overrightarrow{NM}$; B chứa $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$ (cùng phương với $AB$, không cùng phương với $AC$); D chứa $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{AM},\overrightarrow{MA},\overrightarrow{PN}$ (không cùng phương với $AC$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng khi và chỉ khi điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$, tức $B$ thuộc đoạn $AC$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$ đi từ $A$ đến $B$ và $\overrightarrow{BC}$ đi từ $B$ đến $C$ cùng chiều di chuyển trên đường thẳng. Nếu $A$ thuộc đoạn $BC$ hoặc $C$ thuộc đoạn $AB$ thì hai vectơ ngược hướng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $a\sqrt{3}$, $M$ là trung điểm $AC$ nên $BM$ là đường cao: $BM=\frac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}$. Vậy $|\overrightarrow{BM}|=\frac{3a}{2}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $AB=BC=a\sqrt{2}$ (hai cạnh của hình thoi) và góc $ABC=60^0$, nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ có góc đỉnh bằng $60^0$ là tam giác đều. Do đó $AC=AB=a\sqrt{2}$. Kiểm tra bằng định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 60^0=2a^2+2a^2-2\cdot 2a^2\cdot \frac{1}{2}=2a^2$, suy ra $AC=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $ABC=60^0$. Tam giác $ABC$ có $BA=BC=a$ và góc đỉnh $B$ bằng $60^0$ nên là tam giác đều, suy ra $AC=a$, tức $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$. Đường chéo $BD$ ứng với góc $BAD=120^0$ nên $\left|\overrightarrow{BD}\right|=2a\sin \frac{120^0}{2}=2a\sin 60^0=a\sqrt{3}$. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AC}$ là một vecto còn $a$ là một số, không thể viết $\overrightarrow{AC}=a$ (đúng phải là $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$); B đúng vì $\left|\overrightarrow{BD}\right|=a\sqrt{3}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$ không cùng phương nên không bằng nhau; D sai vì $\left|\overrightarrow{AC}\right|=a\ne a\sqrt{3}$. Vậy khẳng định đúng là B. (Lưu ý: báo cáo trước cho rằng A cũng đúng là nhầm — A viết vecto bằng một số nên sai, không có mâu thuẫn với đáp án B.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ (theo hình: $A$ dưới phải, $B$ dưới trái, $C$ trái, $D$ trên trái, $E$ trên phải, $F$ phải), vectơ $\overrightarrow{AB}$ hướng sang trái với độ dài bằng cạnh lục giác. Xét các đáp án:
- A: $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FA}$ có hướng khác $\overrightarrow{AB}$ (chỉ song song hoặc tạo góc), sai.
- B: $\overrightarrow{FO}$ hướng từ $F$ vào tâm $O$ (sang trái, độ dài bằng bán kính = cạnh), $\overrightarrow{OC}$ hướng sang trái độ dài bằng cạnh, $\overrightarrow{ED}$ hướng sang trái độ dài bằng cạnh. Cả ba đều bằng $\overrightarrow{AB}$, đúng.
- C: chứa $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{OF},\overrightarrow{CO},\overrightarrow{DE}$ ngược hướng, sai.
- D: $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AB}$, sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{QM}=\vec{M}-\vec{Q}=\frac{\vec{E}+\vec{F}-\vec{H}-\vec{E}}{2}=\frac{\vec{F}-\vec{H}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HF}$; $\overrightarrow{PN}=\vec{N}-\vec{P}=\frac{\vec{F}+\vec{G}-\vec{G}-\vec{H}}{2}=\frac{1}{2}\overrightarrow{HF}$. Vậy cả ba vectơ $\overrightarrow{QM},\overrightarrow{HF},\overrightarrow{PN}$ đều cùng hướng với $\overrightarrow{HF}$ → chọn B. Kiểm tra các phương án khác: A) $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{ME}=\frac{\vec{E}-\vec{F}}{2}$ ngược hướng; C) $\overrightarrow{MN}=\frac{\vec{G}-\vec{E}}{2}$ cùng hướng $\overrightarrow{QP}$ nhưng ngược hướng $\overrightarrow{GE}$; D) $\overrightarrow{FN}=\frac{\vec{G}-\vec{F}}{2}$ ngược hướng $\overrightarrow{NG}$.