Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^{\circ }=2\cdot \sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\sqrt{3}$. Do đó $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=4+2(-\sqrt{3})+3=7-2\sqrt{3}$, suy ra $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7-2\sqrt{3}}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M(a,0)$ với $a\ge 0$ (M trên tia Ox). Ta có $\overrightarrow{MA}=(2-a,2)$, $\overrightarrow{MB}=(5-a,-2)$. Điều kiện $\widehat{AMB}=90^0$ tức $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$: $(2-a)(5-a)+2\cdot (-2)=0\iff a^2-7a+10-4=0\iff a^2-7a+6=0\iff a=1$ hoặc $a=6$. Cả hai giá trị đều thỏa $a\ge 0$, vậy $M(1,0)$ hoặc $M(6,0)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\hat{A}=120^0$ nên $AC=AB=a$. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CA}$ là góc $\widehat{BAC}=120^0$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{CA}=|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{CA}|\cdot \cos 120^0=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $a$.
- A: $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{CB}$ cùng phương cùng hướng, độ dài $a$ nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{CB}=a^2$. Đúng.
- B: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}=-a^2$. Đúng.
- C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, do đó $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AC}}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2=2a^2\ne a^2$. Sai.
- D: $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$; $\overrightarrow{CB}\perp \overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{CD}=0$; tổng bằng $0$. Đúng.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\hat{B}=60^{\circ }$, $AB=a$ nên $AC=AB\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{AC}}^2=0-A{C}^2=-(a\sqrt{3}{)}^2=-3a^2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a},\vec{b}$ đơn vị nên $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$. Từ $|\vec{a}+\vec{b}|=2$ ta có $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=4$, tức ${\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=4\Rightarrow 1+2\vec{a}\cdot \vec{b}+1=4\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=1$. Khi đó: $(3\vec{a}-4\vec{b})(2\vec{a}+5\vec{b})=6{\vec{a}}^2+15\vec{a}\cdot \vec{b}-8\vec{a}\cdot \vec{b}-20{\vec{b}}^2=6+7\cdot 1-20=-7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông tại $A$: đặt $A(0,0)$, $B(4a,0)$, $D(0,3a)$, $C(2a,3a)$. Khi đó $\overrightarrow{DA}=(0,-3a)$, $\overrightarrow{BC}=(-2a,3a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{BC}=0\cdot (-2a)+(-3a)(3a)=-9a^2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $\overrightarrow{CB}\perp \overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AC}}^2+\overrightarrow{CB}\cdot \overrightarrow{AC}=A{C}^2+0=9^2=81$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB+BC=2+3=5=CA$, ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng với $B$ nằm giữa $A$ và $C$. Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng (cùng hướng với $\overrightarrow{BA}$), nên $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=CA\cdot CB=5\cdot 3=15$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Do đó:
$$P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)={\overrightarrow{AC}}^2-{\overrightarrow{AB}}^2=b^2-c^2.$$
Vậy $P=b^2-c^2$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}$. Vì $CD\perp CA$ nên $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{CA}=0$. Do đó $P=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA}$. Tính từng phần: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}$: đặt $A$ gốc, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=-a^2$. Còn $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{CA}{|}^2=-2a^2$. Vậy $P=-a^2-2a^2=-3a^2$? Kiểm tra lại bằng tọa độ: $A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a)$. $\overrightarrow{AC}=(a,a)$, $\overrightarrow{CD}=(-a,0)$, $\overrightarrow{CA}=(-a,-a)$. $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}=(-2a,-a)$. $P=a(-2a)+a(-a)=-3a^2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}).(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{2}\left(A{C}^2-A{B}^2\right)=\frac{b^2-c^2}{2}$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $AC=a\sqrt{2}$ và góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án A đúng. (Cách khác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ với $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AB}}^2+0=a^2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nghĩa là $\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{BC}$, tức $MA$ vuông góc với $BC$. Tập hợp các điểm $M$ sao cho $MA\perp BC$ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ (đường thẳng này song song với đường cao hạ từ $A$). Vậy đáp án là B. đường thẳng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $A,M,B$ thẳng hàng, $MA=MB=\frac{AB}{2}$.
- A: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{AB}=-MA.AB$ — đúng.
- B: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-MA.MB$ — đúng.
- C: $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=AM.AB$ — đúng.
- D: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=-MA.MB\ne MA.MB$ (với $MA,MB>0$) — sai.
Vậy biểu thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA})$. Tam giác đều cạnh $a$ có góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CA}$ bằng $120^{\circ }$ nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=a\cdot a\cdot \cos 120^{\circ }=-\frac{a^2}{2}$; ngoài ra $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CA}=-|\overrightarrow{AC}{|}^2=-a^2$. Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}\left(-\frac{a^2}{2}-a^2\right)=-\frac{3a^2}{4}$. Kết quả trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$: $\vec{a}\cdot \vec{b}=-8+3=-5$, $|\vec{a}{|}^2=13$, $|\vec{b}{|}^2=17$. a) $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=13-(-5)=18\ne 12$ → Sai. b) $(\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2=26-5-17=4$ → Đúng (sửa: tính lại $2|a{|}^2-a\cdot b+2a\cdot b-|b{|}^2=26+5-17=14$? Kiểm tra trực tiếp: $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=-16+20=4$ → Đúng). c) $\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$: $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ → Đúng. d) $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$. Từ phương trình thứ hai $y=-2-4x$, thay vào: $-2x-6-12x=4\Rightarrow x=-\frac{5}{7}$, $y=-2+\frac{20}{7}=\frac{6}{7}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=13-(-5)=18\ne 12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2(-8)+4(5)=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}\perp \vec{a}\iff -2m+3=0\iff m=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $-2x+3y=4$, $4x+y=-2$ được $x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(4a;0),C(4a;3a),D(0;3a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ là $M(2a;0)$, trọng tâm $G$ của tam giác $ACM$ là $G\left(\frac{0+4a+2a}{3};\frac{0+3a+0}{3}\right)=(2a;a)$.

a) $\overrightarrow{CM}=M-C=(-2a;-3a)$. Mặt khác $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(-4a;0)-3(0;3a)=(-2a;-9a)\ne \overrightarrow{CM}$. Sai.

b) $\overrightarrow{BG}=G-B=(-2a;a)$. Mặt khác $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;0)+(0;a)=(-6a;a)\ne \overrightarrow{BG}$. Sai.

c) $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=(0;3a)\cdot (-4a;0)=0$ (vì $BA\perp BC$). Đúng.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+(a)(-3a)=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.

Ghi chú: bản gốc in nhãn câu con thứ tư là 'b)' thay vì 'd)', giữ nguyên theo nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=(-2a;-3a)$ còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(-2a;-9a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=(-2a;a)$ còn $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(-6a;a)$, hai vectơ không bằng nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
$ABCD$ là hình chữ nhật nên $BA\perp BC$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(-2a)(-2a)+a(-3a)=a^2\ne -a^2$.