Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $BC$, $P$ trung điểm $CA$, ta có:
$$\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{CB}/2,\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BA}/2.$$
Do đó:
$$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}...$$
Cách khác: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{QP}$ với $Q$ trung điểm $MN$, mà $Q$ là trung điểm $AC$ trùng... Thực chất: trung điểm $MN$ có tọa độ $\frac{1}{2}(\frac{A+B}{2}+\frac{B+C}{2})=\frac{A+C+2B}{4}$, nên $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2(\overrightarrow{QP})$ với $Q$ trung điểm $MN$: $2(\frac{A+C}{2}-\frac{A+C+2B}{4})=\frac{A+C-2B}{2}=\overrightarrow{BP}$.
Vậy $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BP}$, chọn đáp án B. Kiểm tra đáp án D: $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{NB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB})$, khác kết quả trên (nó là $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}$ đổi dấu).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ với $BC=a\sqrt{2}$ nên $CA=CB=a$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $45^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|CA||CB|\cos 45^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$. Cách khác: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=C{A}^2+\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2+0=a^2$ vì $\overrightarrow{CA}\perp \overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án là $a^2$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(a;0),C(a;a\sqrt{3}),D(0;a\sqrt{3})$ vì $BC=\sqrt{A{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Khi đó $\overrightarrow{CA}=(-a;-a\sqrt{3})$, $\overrightarrow{DC}=(a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{DC}=-a^2$. Vậy $\cos (\overrightarrow{CA},\overrightarrow{DC})=\frac{-a^2}{2a\cdot a}=-\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai vecto là $120^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Gọi M là trung điểm AB thì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$, với $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên $\left|\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\right|=a\sqrt{3}\ne 2a$ → Sai. b) Hiệu hai vecto cùng gốc: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm) → Đúng. d) Tam giác đều cạnh a nên $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=a$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Gọi M trung điểm AB thì $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$, với $CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ nên độ dài bằng $a\sqrt{3}\ne 2a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu hai vecto cùng gốc: $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh a nên $\left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=a$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành ABCD, O là trung điểm hai đường chéo nên $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{DO}$, và $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}$.
a) $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{DO}\ne 2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{DO}$ → Sai.
b) Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (quy tắc hình bình hành) và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AD}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{BD}$ → Sai.
d) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}$, còn $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}$ nên $2(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO})=2\overrightarrow{AD}\ne 2\overrightarrow{AB}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{OD}=-2\overrightarrow{DO}$ nên $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AO}-2\overrightarrow{DO}$, khác vế phải $2\overrightarrow{AO}+2\overrightarrow{DO}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, tổng bằng $2\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}$, không bằng $\overrightarrow{BD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}=2\overrightarrow{AB}$. Mặt khác $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\overrightarrow{AD}$, nên $2(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{BO})=2\overrightarrow{AD}\ne 2\overrightarrow{AB}$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì C' là trung điểm AB nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$... xét chi tiết: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$. Ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{2}\vec{u}$? Kiểm tra lại bằng tọa độ: lấy $B$ làm gốc, $\overrightarrow{BA}=\vec{u}$. Khi đó $C^{\prime }$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\vec{u}$. Tương tự $\overrightarrow{C^{\prime }A}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\vec{u}$. Với $A^{\prime }$ trung điểm $BC$, $B^{\prime }$ trung điểm $CA$: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB})$... tính theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$? Chính xác: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }C}+\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\cdot (-1)$... dùng công thức trung điểm: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB})$ (đường trung bình song song với AB, cùng chiều từ A' đến B' tương ứng chiều B đến A). Cụ thể: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA})$? Ta tính: $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{CA}}{2}-\frac{\overrightarrow{BC}}{2}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$. Vì $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{C{B}^{\prime }}$... thay bằng tọa độ: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CD}$ với D... Kết luận đúng: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$ với M trung điểm AB = C', nên $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Mặt khác $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$ và $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$, suy ra $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. Vậy $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }A}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài $\frac{AB}{2}$).
a) Đúng: $B{C}^{\prime }=C^{\prime }A=\frac{AB}{2}$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình nên $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{2}$.
b) Sai: hai vecto cùng hướng (đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$), không ngược hướng.
c) Đúng: cả ba vecto đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.
d) Đúng: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$... tính: $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C^{\prime }}-\overrightarrow{B^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; và $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (vì A' trung điểm BC, $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$)? Kiểm tra: $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$? Tính lại bằng tọa độ: đặt $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$. Khi đó $A^{\prime }(1,1),B^{\prime }(0,1),C^{\prime }(1,0)$. $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(1,-1)$; $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=(1,-1)$. Bằng nhau. Vậy d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^{\prime }=C^{\prime }A=\frac{AB}{2}$ vì C' trung điểm AB; $A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình nối trung điểm BC và CA nên $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ (đường trung bình cùng chiều với BA), nên hai vecto cùng hướng chứ không ngược hướng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba vecto đều bằng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$: cùng độ dài $\frac{AB}{2}$, cùng phương và cùng hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng tọa độ $A(0,0),B(2,0),C(0,2)$: $A^{\prime }(1,1),B^{\prime }(0,1),C^{\prime }(1,0)$, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=(1,-1)=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$ → sai.
b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{BC}$ (chỉ có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$) → sai.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=(\vec{B}-\vec{A})-(\vec{C}-\vec{A})=\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{CB}$ → đúng.
d) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\vec{B}-\vec{A}-(\vec{C}-\vec{B})=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}=\vec{A}-\vec{C}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BC}$; đúng ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=2\vec{B}-\vec{A}-\vec{C}\ne \overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 39: $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$.
a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$. Trong hình bình hành, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$). Vậy khẳng định đúng.
b) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$. Vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$. Vậy khẳng định sai.
c) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ (hiệu hai vecto cùng xuất phát $A$). Đúng.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$. Hai vế bằng nhau, khẳng định đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}$, hai vế trái dấu nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ theo quy tắc hiệu vecto.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai vế đều bằng $\overrightarrow{AC}$: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tứ giác $ABCD$, $I$ trung điểm $AB$, $J$ trung điểm $CD$, $K$ trung điểm $IJ$, $M$ điểm bất kì.
a) Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{ID})=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})$. Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$; vì $J$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=2\overrightarrow{IJ}$. Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{IJ}$: đúng.
b) Tương tự $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{ID})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC})=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IC})=\vec{0}+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}$: đúng.
c) Vì $K$ là trung điểm $IJ$ nên $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MK}\ne \overrightarrow{MK}$: sai.
d) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ và $\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MJ}$, nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ})=2\cdot 2\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MK}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID})=\vec{0}+2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{IJ}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{IC})=2\overrightarrow{IJ}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $IJ$ nên $\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ}=2\overrightarrow{MK}$, không bằng $\overrightarrow{MK}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MJ}=2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MJ})=4\overrightarrow{MK}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$. Trong tam giác vuông tại $A$, trung tuyến $AM=\frac{BC}{2}=\frac{4\sqrt{5}}{2}=2\sqrt{5}$. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\approx 8,94$. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 8,94.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, tâm $O\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2}\right)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-a)$. Suy ra $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, nên $\left|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}\right|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\approx 0,71a$. Kết quả khớp với đáp số 0,71 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm hình vuông và $M$ là trung điểm $AB$ nên theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$. Trong hình vuông $ABCD$ cạnh 5, khoảng cách từ tâm $O$ đến cạnh $AB$ bằng nửa cạnh, tức $OM=\frac{5}{2}$, và $OM\perp AB$. Do đó $\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=2\cdot OM=2\cdot \frac{5}{2}=5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $J$ nằm trên cạnh $AC$ với $JA=\frac{2}{3}JC$ nên $\frac{AJ}{AC}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$, tức $\overrightarrow{AJ}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$. Ta có: $\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)=\frac{3}{5}\overrightarrow{BA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{BC}$. Vậy $m=\frac{3}{5}$, $n=\frac{2}{5}$, suy ra $m-n=\frac{1}{5}=0,2$, khớp với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}$ (vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$). Cộng lại: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AD}$. Suy ra $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$, tức $m=n=\frac{1}{2}$. Vậy $m^2+n^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0,5$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ với mọi điểm $M$. Do đó $\left|3\overrightarrow{MG}\right|=6\Rightarrow MG=2$. Vậy tập hợp điểm $M$ là đường tròn tâm $G$ bán kính $2$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=7$ cm, $BC=14$ cm nên $\cos \hat{C}=\frac{AC}{BC}=\frac{7}{14}=0,5$.

Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$: vectơ $\overrightarrow{AC}$ có điểm đầu $A$, điểm cuối $C$; vectơ $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu $C$. Đưa về cùng điểm đầu: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ với $C^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$, tức $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$. Do đó góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ bằng $180^{\circ }-\hat{C}$.

Vậy $\cos (180^{\circ }-\hat{C})=-\cos \hat{C}=-0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2.2 (trang 5–6): hình vẽ tứ diện $ABCD$ có ở đầu trang 6, nên token hình là hợp lệ. Dùng quy tắc hiệu vectơ $\overrightarrow{XY}-\overrightarrow{XZ}=\overrightarrow{ZY}$:
- A: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$, còn $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}$ → sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$, còn $\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ → sai.
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}$ → hai vế bằng nhau, đúng.
- D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, còn $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BD}=-\overrightarrow{DB}$ → sai.
Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SB\perp (ABC)$ nên $SB\perp AB$, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{SB}=0$. Ta có $\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS}$, suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BS}=a^2+0=a^2$. Mặt khác $|\overrightarrow{AB}|=a$ và $AS=\sqrt{A{B}^2+S{B}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$. Vậy $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AS})=\frac{a^2}{a\cdot 2a}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$), nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Sai.
b) $\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (quy tắc ba điểm). Đúng.
c) Theo ý a), tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ nên độ dài bằng đường chéo hình lập phương $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên độ dài bằng $0\ne a$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài bằng $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức rút gọn thành $\vec{0}$, độ dài bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng phương khi định thức bằng 0: $2\cdot m-(-1)\cdot 3=0\Rightarrow 2m+3=0\Rightarrow m=-\frac{3}{2}=-1,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-1.5).