Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với quy tắc ba điểm: A) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng. B) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng. C) $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ đúng. D) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{CB}$, nên khẳng định D sai. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{c}=2\vec{a}-5\vec{b}=(2\cdot 1-5\cdot 3;2\cdot 2-5\cdot 8)=(2-15;4-40)=(-13;-36)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot 3+1\cdot (-1)=5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\alpha =45^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (45).

Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KB})+(\overrightarrow{DH}+\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{KC})$ [Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
$=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{DH})+(\overrightarrow{HK}+\overrightarrow{HK})+(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC})$
$=\vec{0}+2\overrightarrow{HK}+\vec{0}$
$=2\overrightarrow{HK}$.

$BM$ ngắn nhất khi $M$ là chân đường cao hạ từ $B$ của tam giác $ABC$.
Gọi $M(x;y)$, ta có $\overrightarrow{BM}=(x-1;y-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;6)$, $\overrightarrow{AM}=(x+1;y-1)$
Ta có $\overrightarrow{BM}\perp \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AM}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương
$\iff \{\begin{array}{l}(-1).(x-1)+6(y-3)=0\\ \frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{6}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-x+6y=17\\ 6x+y=-5\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}x=-\frac{47}{37}\\ y=\frac{97}{37}\end{array}$ Vậy $M\left(-\frac{47}{37};\frac{97}{37}\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, vectơ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên hướng từ $A$ đến $B$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $AB$, C là độ dài vectơ, D là vectơ ngược chiều. Đáp án khớp với mã đề 101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh $A$, $B$, $C$, chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau: có $3\times 2=6$ vectơ: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$, tất cả đều khác vectơ-không vì hai đỉnh của tam giác phân biệt. Vậy có $6$ vectơ, khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$, do đó hai vectơ cùng hướng: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Khẳng định A sai vì $\overrightarrow{AD}$ ngược chiều với $\overrightarrow{CB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$). Khẳng định B, C sai vì $\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ hay $\overrightarrow{AD}$. Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án mã đề 101: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, nên khẳng định A ($=\overrightarrow{AB}$) là sai. Các khẳng định khác đúng: B đúng vì $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$; C đúng vì $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$; D đúng vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có góc $BAC=60^{\circ }$. Vectơ $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$, nên góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ sao cho $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$, tức $\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$ (vì $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{AM}$... kiểm tra: $\overrightarrow{GM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$ do $G$ chia đoạn $MA$ với $\frac{GM}{GA}=\frac{1}{2}$ và cùng hướng từ $G$ về $M$ ngược hướng $\overrightarrow{MA}$? Thực tế $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}=3\overrightarrow{MG}$, nên $\overrightarrow{GM}=-\overrightarrow{MG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MA}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $MNPQ$ (theo thứ tự đỉnh $M,N,P,Q$), hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm chung $O$. Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $N$: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{NO}$. Vì $O$ là trung điểm $NQ$ nên $2\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{NQ}$. Vậy $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NQ}$, tương ứng phương án D. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}$ cho tổng theo đường chéo từ $N$ đến $P$ chỉ khi $MNPQ$ có thứ tự đỉnh khác; kiểm tra: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{NP}$ chỉ đúng nếu $MP$ và $NQ$... thực tế với thứ tự $M,N,P,Q$ thì $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NQ}=2\overrightarrow{NO}=\overrightarrow{NQ}\ne \overrightarrow{NP}$ (trừ trường hợp đặc biệt), nên A, B, C đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc A. Ta có $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$.

a) $\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AL}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$. Suy ra $\overrightarrow{BL}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BK}$, tức $\frac{m}{n}=\frac{5}{4}$ tối giản nhưng $m+n=9\ne 7$ → Sai.

b) $\overrightarrow{BL}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ → Sai.

c) Như trên $\overrightarrow{BK}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$ → Đúng.

d) $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{CM}$, không phải $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{CM}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{BL}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BK}$ nên $m+n=9\ne 7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BL}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AL}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BK}=-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AM}=-\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{CM}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $|\vec{F}{|}^2=|{\vec{F}}_1{|}^2+|{\vec{F}}_2{|}^2+2|{\vec{F}}_1||{\vec{F}}_2|\cos 60^{\circ }=150^2+450^2+2\cdot 150\cdot 450\cdot \frac{1}{2}=22500+202500+67500=292500$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{292500}\approx 540,83\approx 541$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực $\vec{F}$: $A=F\cdot s\cdot \cos \alpha =65\cdot 4\cdot \cos 69^{\circ }=260\cos 69^{\circ }\approx 260\times 0,358368\approx 93,2$ J. Vậy công sinh bởi lực là khoảng $93,2$ J.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ là giao hai đường chéo $AC$, $BD$. Xét từng khẳng định: A) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng xuất phát $A$ nhưng vuông góc và khác hướng nên sai. B) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, hai vecto ngược hướng, sai. C) $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{DB}$: hai đường chéo vuông góc nên hai vecto không bằng nhau, sai. D) Vì $O$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$ (cùng hướng từ $C$ đến $A$, cùng độ dài), đúng. Vậy chọn $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos \left(\vec{u},\vec{v}\right)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $A$ trên-trái, $B$ trên-phải, $C$ dưới-phải, $D$ dưới-trái, tâm $O$ giao hai đường chéo. Chọn hệ tọa độ $D(0;0),A(0;a),B(a;a),C(a;0)$, khi đó $O(a/2;a/2)$.
a) $|\overrightarrow{CB}|=a$ còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên $|\overrightarrow{CB}|\ne |\overrightarrow{CA}|$ → Sai.
b) $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$ còn $\overrightarrow{CD}=(a;0)-(a;0)$... cụ thể $\overrightarrow{CD}=D-C=(0;0)-(a;0)=(-a;0)=-\overrightarrow{AB}$, hai vecto ngược hướng → Sai.
d) $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 0+a\cdot (-a)=-a^2$ → Đúng. (Hoặc: góc giữa $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ có $\cos =\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, tích $=a\sqrt{2}\cdot a\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-a^2$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{CB}|=a$ (cạnh hình vuông) còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là giao hai đường chéo nên là trung điểm của $DB$, do đó $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $D(0;0),B(a;a),C(a;0)$: $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $=0-a^2=-a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5\ne 1$ → Sai. b) $\overrightarrow{PQ}=(7-2;-4-3)=(5;-7)$ → Đúng. c) $\vec{c}=\vec{a}-2\vec{b}=(4;-6)-2(-3;4)=(10;-14)$. Vì $\vec{c}=2\cdot (5;-7)=2\overrightarrow{PQ}$ nên hai vectơ cùng phương → Đúng. d) $\vec{a}=4\vec{i}-6\vec{j}=(4;-6)\ne (2;-3)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a S, 2b D, 2c D, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5\ne 1$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PQ}=(7-2;-4-3)=(5;-7)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}=(4;-6)-2(-3;4)=(10;-14)=2(5;-7)=2\overrightarrow{PQ}$, nên hai vectơ cùng phương, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=4\vec{i}-6\vec{j}=(4;-6)\ne (2;-3)$, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $BA=4cm$, $BC=3cm$ nên theo định lý Pythagore: $CA=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5cm$. Vậy độ dài vecto $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$ bằng $5cm$, khớp với đáp án nguồn.