Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3-(-2);2-6)=(5;-4)$ nên ý a) Sai. $\overrightarrow{BC}=(-1-3;7-2)=(-4;5)$, do đó $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$ và $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$, nên $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AB}|$ → ý b) Đúng. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot (-4)+(-4)\cdot 5=-40\ne 0$ → ý c) Sai. Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}\ne 0$ nên tam giác không vuông tại $B$ → ý d) Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 1001: SDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-(-2);2-6)=(5;-4)\ne (-5;4)$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(-4;5)$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{41}=|\overrightarrow{AB}|$ nên đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=5\cdot (-4)+(-4)\cdot 5=-40\ne 0$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=-40\ne 0$ nên góc tại $B$ không vuông, tam giác $ABC$ không vuông tại $B$.

a. $\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=\frac{2}{3}$

b. $P=m.g=40\sqrt{3}.10=400\sqrt{3}(N)$
$$\left|\overrightarrow{F1}+\overrightarrow{F2}\right|=\left|\overrightarrow{F12}\right|=\left|\vec{P}\right|=2OH$$
$$\left|\vec{P}\right|=2OH=400\sqrt{3}\Rightarrow OH=200\sqrt{3}$$
$$OH=OA\frac{\sqrt{3}}{2}=\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}=200\sqrt{3}$$
$$\left|\overrightarrow{F1}\right|=400N$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$ (quy tắc ba điểm, vì $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$). Vậy mệnh đề B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$; C sai vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{AB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}$); D sai vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng nằm trên đường thẳng $AC$: $\overrightarrow{AN}$ hướng từ $A$ về phía $C$, còn $\overrightarrow{CA}$ hướng từ $C$ về $A$, do đó chúng ngược hướng. Các cặp khác: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (đường trung bình); $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{CN}$ không cùng phương; $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng hướng vì $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1001: A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Xét từng khẳng định. A đúng: $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$. B đúng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. C đúng: $\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\cdot \vec{b}=0\iff x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$. D sai vì công thức đúng là $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$, còn đáp án D viết $x_1{x}_2-y_1{y}_2$. Vậy khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}$, tức hai vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng. Các cặp khác: $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$ cùng hướng ra hai phía nhưng không cùng nằm trên một đường thẳng (không ngược hướng theo định nghĩa); $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ cùng hướng; $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OS}$ không cùng phương. Đáp án khớp với mã đề 0101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục A(0;0;0), B(2;0;0), D(0;2;0), A'(0;0;2), cạnh 2 cm.
a) $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$... cụ thể $\overrightarrow{CD}=(0;-2;0)=-\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=(2;2;0)\cdot (0;-2;0)=-4\ne 4$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AD}=(0;2;0)$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=(0;0;2)$ vuông góc nhau nên tích vô hướng bằng 0 (một số vô hướng). Tuy nhiên phát biểu viết $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\vec{0}$ là sai về mặt ký hiệu/đối tượng vì tích vô hướng là số vô hướng, không thể bằng vectơ $\vec{0}$ → Sai (theo đáp án mã đề 0101: 2b là S).
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai.
d) Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CD}=(2;2;0)\cdot (0;-2;0)=-4\ne 4$, vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ tạo góc 135° với $\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ nên tích vô hướng bằng 0 (số vô hướng); phát biểu viết bằng $\vec{0}$ (vectơ) là sai. Khớp đáp án mã đề 0101: 2b = S.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình hộp cho ba vectơ đôi một vuông góc cùng xuất phát từ A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ có $AB$ song song và cùng chiều với $DC$ (vì $DC$ đi từ $D$ đến $C$, cùng hướng với $AB$). Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Các phương án khác sai: $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi) Xét 7 vecto $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e},\vec{f},\vec{g}$ trong hình lưới ô vuông. Hai vecto cùng hướng khi chúng cùng phương và cùng chiều (không cần cùng độ dài). Quan sát hướng của từng vecto trên hình: hầu hết các vecto có phương khác nhau hoặc ngược chiều nhau. Chỉ có đúng 2 cặp vecto thỏa mãn điều kiện cùng phương và cùng chiều; các cặp còn lại hoặc không cùng phương, hoặc cùng phương nhưng ngược hướng. Vậy hình có 2 cặp vecto cùng hướng, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (vì $AD\parallel BC$, $AD=BC$, cùng hướng). Do đó theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$. Vậy phát biểu đúng là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, khớp đáp án C trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm BC, khi đó $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$ và $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}$ (vì $GA=\frac{2}{3}AM$). Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GM}=\vec{0}$. Vậy phát biểu đúng là $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, khớp đáp án nguồn (câu 13: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vecto khác $\vec{0}$: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó phát biểu đúng là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 14: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=10\cdot 12\cdot \cos 120^{\circ }=120\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): Tam giác $ABC$ có $AB=4\sqrt{2}$, $AC=6$, $\widehat{BAC}=45^{\circ }$, $D$ trung điểm $BC$, $E$ trên $AC$ với $AE=\frac{5}{6}AC$.
a) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ → Sai.
b) Vì $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$, không phải $\overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
d) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\cdot \left(\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\cdot 24-32+30-24\right)=\frac{1}{2}(20-32+30-24)=-3\ne 0$ → Sai.
Kết quả Sai-Đúng-Sai-Sai khớp với bảng đáp án nguồn (SDSS, trang 4).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos 45^{\circ }=24\ne 20$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC}$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{1}{2}(20-32+30-24)=-3\ne 0$ nên $AD$ không vuông góc $BE$ → Sai.

a) Ta có: $\vec{a}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (0.5 điểm). $\Rightarrow \left|\vec{a}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=2a$ (0.5 điểm). b) $\overrightarrow{BC}=5\overrightarrow{BH}\iff \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=5(\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AB})\iff \overrightarrow{AH}=\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$ (0.25 điểm). $\overrightarrow{BK}=3\overrightarrow{BI}\iff \overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=3(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AB})\iff \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ (0.25 điểm). Ta có: $\overrightarrow{AI}=\frac{5}{6}\overrightarrow{AH}$. (0.25 điểm) Vậy ba điểm $A,I,H$ thẳng hàng. (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=2\cdot (-3)+1\cdot 1=-5$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{-5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =135^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (135).

Ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QD})+(\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QC})$
$=(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PQ})+(\overrightarrow{QD}+\overrightarrow{QC})$
$=\vec{0}+2\overrightarrow{PQ}+\vec{0}$
$=2\overrightarrow{PQ}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ có điểm đầu $M$, điểm cuối $N$ được kí hiệu là $\overline{MN}$ (mũi tên hướng từ $M$ đến $N$). Phương án A chỉ là đoạn thẳng $MN$, B là $\overline{NM}$ (điểm đầu $N$, điểm cuối $M$), C là độ dài vectơ $\overline{MN}$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102: câu 5 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với 3 điểm $M,N,P$ không thẳng hàng, mỗi vectơ khác vectơ-không được xác định bởi một cặp điểm đầu - điểm cuối phân biệt. Số cặp chọn điểm đầu và điểm cuối từ 3 điểm là $A_3^2=3\times 2=6$: các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NM},\overrightarrow{MP},\overrightarrow{PM},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{PN}$. Vì 3 điểm không thẳng hàng nên không có vectơ nào trùng nhau. Vậy có 6 vectơ, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $ABCD$, các cạnh đối song song và bằng nhau: $AB\parallel CD$, $AD\parallel BC$ với $AB=CD$, $AD=BC$. Xét từng khẳng định:
- A: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}$ sai vì hai vectơ này cùng gốc $B$ nhưng có hướng khác nhau (hình thoi không phải có góc $B$ bằng $0$).
- B: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$ đúng vì $DA\parallel CB$, cùng hướng (cả hai cùng hướng theo cạnh song song $DA$ và $CB$) và $DA=CB$ (cạnh hình thoi bằng nhau).
- C: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ sai vì $AB\parallel CD$ nhưng hai vectơ ngược hướng ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ mới đúng).
- D: $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CD}$ sai vì hai vectơ cùng gốc $C$ nhưng hướng khác nhau.
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 7: B).