Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=2\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy khẳng định đúng là $\vec{a}\cdot \vec{b}=5$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}+(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})=3\overrightarrow{AG}$. Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh song song và bằng nhau nên vectơ tương đương: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Xét từng phương án: A sai vì $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng đáy còn $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ là cạnh bên, hai vectơ không cùng phương. B sai vì $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$. C sai vì $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ (do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$). D đúng vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, cùng hướng và bằng nhau. Đáp án D khớp với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (tính chất hình bình hành, ở đây là hình vuông $ABCD$), ta có $P=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}\cdot (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}$. Trong hình vuông cạnh $a$: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$ (vì $\overrightarrow{AD}$ là hình chiếu của $\overrightarrow{AC}$ lên $\overrightarrow{AD}$, góc $CAD=45^{\circ }$: $a\sqrt{2}\cdot a\cdot \cos 45^{\circ }=a^2$) và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=a^2$ (tương tự, góc $CAB=45^{\circ }$). Vậy $P=a^2-a^2=0$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: hai vectơ $overrightarrowAB$ và $overrightarrowAC$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc giữa chúng $60^0$), nên không bằng nhau. b) Sai: $$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ overrightarrowCB= \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowBC= \\ overrightarrowAC \\ neq \\ overrightarrowCA \end{gathered}$$. c) Đúng: gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $$\begin{gathered} overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC=2 \\ overrightarrowAM \end{gathered}$$, với $AM$ là đường cao tam giác đều nên $$\begin{gathered} AM= \\ dfraca \\ sqrt32 \end{gathered}$$, suy ra $$\begin{gathered} left| \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC \\ right|=2 \\ cdot \\ dfraca \\ sqrt32=a \\ sqrt3 \end{gathered}$$. d) Đúng: $M$ là trung điểm $BC$ nên $CM$ là trung tuyến, trọng tâm $G$ nằm trên $CM$ với $$\begin{gathered} overrightarrowMG= \\ dfrac13 \\ overrightarrowMC=- \\ dfrac13 \\ overrightarrowCM \end{gathered}$$, do đó $$\begin{gathered} overrightarrowCM+3 \\ overrightarrowMG= \\ overrightarrowCM- \\ overrightarrowCM= \\ vec0 \end{gathered}$$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: S, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$overrightarrowAB$ và $overrightarrowAC$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương nên không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowAB- \\ overrightarrowCB= \\ overrightarrowAB+ \\ overrightarrowBC= \\ overrightarrowAC \\ neq \\ overrightarrowCA \end{gathered}$$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$$\begin{gathered} overrightarrowAB+ \\ overrightarrowAC=2 \\ overrightarrowAM \end{gathered}$$ với $$\begin{gathered} AM= \\ dfraca \\ sqrt32 \end{gathered}$$, nên độ dài bằng $$\begin{gathered} a \\ sqrt3 \end{gathered}$$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ trên trung tuyến $CM$ thỏa $$\begin{gathered} overrightarrowMG= \\ dfrac13 \\ overrightarrowMC=- \\ dfrac13 \\ overrightarrowCM \end{gathered}$$, nên $$\begin{gathered} overrightarrowCM+3 \\ overrightarrowMG= \\ vec0 \end{gathered}$$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy giá trị tuyệt đối: $|\vec{a}|=|m||\vec{b}|\Rightarrow 5=|m|\cdot 15\Rightarrow |m|=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Suy ra $m=-\frac{1}{3}\approx -0,3$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả trùng với đáp án nguồn: $-0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ tạo với nhau góc $\hat{B}$, nên góc từ $\overrightarrow{AB}$ đến $\overrightarrow{BC}$ (quay theo chiều dương) bằng $180^{\circ }-\hat{B}$. Tương tự, góc từ $\overrightarrow{BC}$ đến $\overrightarrow{CA}$ bằng $180^{\circ }-\hat{C}$. Do đó $$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\right)=360^{\circ }-(\hat{B}+\hat{C})=360^{\circ }-(180^{\circ }-\hat{A})=180^{\circ }+\hat{A}=180^{\circ }+120^{\circ }=300^{\circ }.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (300).

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ (0,25đ). Mà $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$. (0,25đ)
b) Giả sử $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OC}$. $\widehat{OAC}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$, $OA=120$; $AC=100$. (0,25đ)
$$OC=\sqrt{O{A}^2+A{C}^2-2.OA.AC.\cos \widehat{OAC}}$$ (0,25đ)
$$=\sqrt{100^2+120^2-\mathrm{2.100.120.}\cos 120^{\circ }}=20\sqrt{91}\approx 190,8(N).$$

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tổng vectơ liên tiếp: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{MR}$. Do đó $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{MP}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 123, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $B$ nằm giữa $A$ và $C$ trên cùng một đường thẳng, ta xét hướng từng cặp vectơ: $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng (một cái hướng về $A$, một cái hướng về $C$). $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng. $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng vì đều hướng từ $A$ về phía $C$ (cùng chiều $A\to B\to C$). $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng. Vậy cặp vectơ cùng hướng là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $D(0;0)$, $C(3;0)$, $A(0;2)$, $B(3;2)$, $M(1;2)$.

a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó $\overline{AB}=-\overline{CD}\ne \overline{CD}$. → Sai.

b) Đường $AC$: $y=2-\frac{2}{3}x$; đường $DM$: $y=2x$. Giải hệ được $I\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MC}=(2;-2)$, $\overrightarrow{IA}=\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)$ nên $\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{IA}=(2;-2)+(-3;2)=(-1;0)=\overrightarrow{MA}$. → Đúng.

c) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=(0;2)+(3;0)=(3;2)$ nên $\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\right|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\ne 2\sqrt{13}$. → Sai.

d) $ADMK$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DM}=(1;2)$, suy ra $K=A+(1;2)=(1;4)$; kiểm tra $\overrightarrow{MK}=(0;2)=-\overrightarrow{AD}$, thỏa mãn. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, do đó $\overline{AB}=-\overline{CD}\ne \overline{CD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giao điểm $I$ của $AC$ và $DM$ là $I\left(\frac{3}{4};\frac{3}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MC}+4\overrightarrow{IA}=(2;-2)+4\left(-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right)=(-1;0)=\overrightarrow{MA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=(0;2)+(3;0)=(3;2)$ nên độ dài bằng $\sqrt{13}\ne 2\sqrt{13}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$ADMK$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{DM}=(1;2)$, suy ra $K=A+(1;2)=(1;4)$; kiểm tra $\overrightarrow{MK}=(0;2)$ song song với $\overrightarrow{AD}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overline{AB}\cdot \overline{AC}=AB\cdot AC\cos 135^{\circ }=2\cdot 8\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-8\sqrt{2}$ → đúng.
b) Góc giữa $\overline{AC}$ và $\overline{BA}$: vì $\overline{BA}=-\overline{AB}$ nên góc bằng $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$, không phải $135^{\circ }$ → sai.
c) $\overline{IJ}=\overline{J}-\overline{I}=\frac{1}{4}\overline{AC}-\frac{1}{2}\overline{AB}$, khác $\frac{1}{2}\overline{AB}-\frac{1}{4}\overline{AC}$ → sai.
d) $\overline{JB}=\overline{AB}-\overline{AJ}=\overline{AB}-\frac{1}{4}\overline{AC}$, nên $\overline{AC}\cdot \overline{JB}=\overline{AC}\cdot \overline{AB}-\frac{1}{4}|\overline{AC}{|}^2=-8\sqrt{2}-16$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{AB}\cdot \overline{AC}=2\cdot 8\cos 135^{\circ }=-8\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overline{AC}$ và $\overline{BA}$ bằng $180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{IJ}=\frac{1}{4}\overline{AC}-\frac{1}{2}\overline{AB}$, dấu ngược với khẳng định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overline{AC}\cdot \overline{JB}=\overline{AC}\cdot \overline{AB}-\frac{1}{4}A{C}^2=-8\sqrt{2}-16$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều cạnh 8 nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=8\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=-32$. Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CB}$, do đó $|\vec{u}{|}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2+9|\overrightarrow{CB}{|}^2+6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=64+576+6(-32)=448$. Vậy $|\vec{u}|=\sqrt{448}=8\sqrt{7}\approx 21,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực $\overrightarrow{f_1}$ (độ lớn $2\sqrt{2}N$, hợp với phương ngang góc $45^{\circ }$) và $\overrightarrow{f_2}$ (độ lớn $2N$ theo phương ngang) cùng xuất phát từ điểm $A$, tạo với nhau góc $45^{\circ }$ (theo hình vẽ). Lực tổng hợp là $\vec{F}=\overrightarrow{f_1}+\overrightarrow{f_2}$. Theo quy tắc hình bình hành:
$$F^2=f_1^2+f_2^2+2f_1{f}_2\cos 45^{\circ }=(2\sqrt{2}{)}^2+2^2+2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8+4+8=20.$$
Vậy $F=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47N$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ (vì $I$ là trung điểm $BC$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Tương tự $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (vì $K$ là trung điểm $CD$ và $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$). Cộng lại: $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án A đúng; các phương án B, C, D đều sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ (loại A), còn $\overrightarrow{MA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AB}$ (đúng). Tương tự $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$ (loại D). Với $MN$ là đường trung bình của tam giác, $\overrightarrow{NM}$ cùng hướng với $\overrightarrow{CB}$ (loại C). Vậy cặp vec-tơ ngược hướng là $\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AB}$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(2;3),B(-1;7),C(-2;5)$: a) $\overrightarrow{AC}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{BC}=(-2+1;5-7)=(-1;-2)$ nên $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ và $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$, do đó $|\overrightarrow{AC}|\ne |\overrightarrow{BC}|$ → Sai. c) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4)(-1)+2(-2)=4-4=0$ → Đúng. d) Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002 (DSDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne \sqrt{5}=|\overrightarrow{BC}|$ với $\overrightarrow{BC}=(-1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=(-4)(-1)+2(-2)=4-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ nên $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BC}$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

a. $$\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)=\frac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|}=-\frac{3}{7}$$

b. $P=m.g=50\sqrt{3}.10=500\sqrt{3}(N)$

$\left|\overrightarrow{F1}+\overrightarrow{F2}\right|=\left|\overrightarrow{F12}\right|=\left|\vec{P}\right|=2OH$

$\left|\vec{P}\right|=2OH=500\sqrt{3}\Rightarrow OH=250\sqrt{3}$

$OH=OA\frac{\sqrt{3}}{2}=\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\left|\overrightarrow{F1}\right|\frac{\sqrt{3}}{2}=250\sqrt{3}$

$\left|\overrightarrow{F1}\right|=500N$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với ba điểm $M,N,P$ tùy ý:
- A: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}$ không thể rút gọn thành $\overrightarrow{MP}$ (hai vectơ không cùng điểm cuối để áp dụng quy tắc ba điểm), nên sai.
- B: $\overrightarrow{PN}-\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MN}$ (quy tắc ba điểm), đúng.
- C: $\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{PN}$, không phải $\overrightarrow{NP}$, nên sai.
- D: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}$ không cùng điểm chung để cộng theo quy tắc ba điểm, không bằng $\overrightarrow{MN}$, nên sai.
Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Độ lớn véc tơ $\vec{u}=(x;y)$ là $|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$, không phải $\sqrt{x^2-y^2}$, nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C, D đều đúng theo định nghĩa tích vô hướng trong mặt phẳng tọa độ. Đáp án khớp với bảng đáp án (Mã đề 1002, câu 6: A).