Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=4\cdot 7\cdot \cos 60^{\circ }=28\cdot \frac{1}{2}=14$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh 4, tâm $O$.
a) Theo quy tắc hình bình hành tại $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, đúng.
b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là góc $BAC=45^{\circ }$ (đường chéo hình vuông), không phải $30^{\circ }$, sai.
c) Tọa độ $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$, $O(2,2)$: $\overrightarrow{AB}=(4,0)$, $\overrightarrow{CO}=(-2,-2)$, tích vô hướng $=-8\ne -16$, sai.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(8,4)$, độ lớn $=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$, đúng.
Khớp đáp án ĐSSĐ của mã đề 1001.
a) Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.
b) $\overrightarrow{AC}$ là đường chéo hình vuông nên góc $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=45^{\circ }$, không phải $30^{\circ }$.
c) Với $A(0,0)$, $B(4,0)$, $C(4,4)$, $O(2,2)$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CO}=(4,0)\cdot (-2,-2)=-8\ne -16$.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(8,4)$, $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$. Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|\cos 60^{\circ }=172\cdot 159\cdot \frac{1}{2}=13662$. Do đó $|\overrightarrow{F}{|}^2=172^2+159^2+2\cdot 13662=29584+25281+27324=82189$, suy ra $|\overrightarrow{F}|=\sqrt{82189}\approx 286,68\approx 287$ (N). Kết quả khớp với đáp án nguồn 287.

a. $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)$ [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

b. $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BM}$

$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)\left(-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BM}\right)$

$=\frac{-\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AD}}{4}-\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD}}{4}+\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BM}}{2}$

$=\frac{\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{BM}\right)}{4}=\frac{\overrightarrow{AD}\left(-2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{BM}\right)}{4}$

$=\frac{\overrightarrow{AD}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)}{2}=\frac{\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BA}}{2}=0$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $AB=3$, nên $|\overrightarrow{AB}|=3$. Do đó $|5\overrightarrow{AB}|=5\cdot |\overrightarrow{AB}|=5\cdot 3=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$. (0,25 điểm)

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$ nên $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. (0,25 điểm)

Đáp số: 331

Giải

Vận tốc mới của máy bay là $\vec{v}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}$.

$${\vec{v}}^2={\left(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{v_3}\right)}^2={\overrightarrow{v_1}}^2+{\overrightarrow{v_2}}^2+{\overrightarrow{v_3}}^2+2\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}+2\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_3}+2\overrightarrow{v_2}.\overrightarrow{v_3}$$

Ta có:

$${\overrightarrow{v_1}}^2={\left|\overrightarrow{v_1}\right|}^2=300^2,{\overrightarrow{v_2}}^2={\left|\overrightarrow{v_2}\right|}^2=40^2,{\overrightarrow{v_3}}^2={\left|\overrightarrow{v_3}\right|}^2=30^2.$$

$$\overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_2}=\left|\overrightarrow{v_1}\right|.\left|\overrightarrow{v_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2}\right)=\mathrm{300.40.}\cos 45^{\circ }=6000\sqrt{2}.$$

$$\overrightarrow{v_1}\perp \overrightarrow{v_3}\Rightarrow \overrightarrow{v_1}.\overrightarrow{v_3}=0;\overrightarrow{v_2}\perp \overrightarrow{v_3}\Rightarrow \overrightarrow{v_2}.\overrightarrow{v_3}=0.$$

Nên ${\vec{v}}^2=300^2+40^2+30^2+2.6000\sqrt{2}$.

Mà ${\vec{v}}^2={\left|\vec{v}\right|}^2$

Suy ra $\left|\vec{v}\right|=\sqrt{300^2+40^2+30^2+2.6000\sqrt{2}}\approx 331$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$, theo hình vẽ: $E$ nằm trên $A$, $F$ trên $B$, $G$ trên $C$, $H$ trên $D$. Xét từng phương án:
- $\overrightarrow{HE}$: hướng từ $H$ về $E$ là hướng ngược với $\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$), nên $\overrightarrow{HE}=-\overrightarrow{AD}$, sai.
- $\overrightarrow{BD}$: là đường chéo hình chữ nhật $ABCD$, không song song với $AD$, sai.
- $\overrightarrow{CB}$: ngược hướng với $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$, sai.
- $\overrightarrow{FG}$: vì $EFGH$ là hình chữ nhật với $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$ (do $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$), nên $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD}$, đúng.
Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: D).

Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$. (0,25 điểm)

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\vec{b}-\vec{a}$ và $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{c}$ nên $\overrightarrow{AM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (A đúng). Tương tự với đỉnh $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (C đúng). Vì $AB\parallel CD$ và $AB=CD$ cùng chiều nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (D đúng). Còn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$ (thực tế $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, không trùng $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$), nên mệnh đề B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a nên AC = √(BC² − AB²) = √(4a² − a²) = a√3.
a) cos C = AC/BC = (a√3)/(2a) = √3/2 ⇒ C = 30°, không phải 60° ⇒ sai.
b) BA·BC = |BA||BC|cos B với cos B = AB/BC = 1/2 ⇒ BA·BC = a·2a·(1/2) = a² ⇒ đúng.
c) BC·CA = |BC||CA|cos C = 2a·a√3·(√3/2) = 3a² ⇒ đúng.
d) AB·BC = −BA·BC = −a²; BC·CA = 3a²; CA·AB = |CA||AB|cos 90° = 0. Tổng = −a² + 3a² + 0 = 2a² ≠ −4a² ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos C = AC/BC = (a√3)/(2a) = √3/2 ⇒ C = 30° ≠ 60°, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
BA·BC = |BA||BC|cos B = a·2a·(1/2) = a², khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC·CA = 2a·a√3·cos30° = 2a·a√3·(√3/2) = 3a², khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·BC = −a², BC·CA = 3a², CA·AB = 0 (vuông tại A). Tổng = 2a² ≠ −4a², khẳng định sai.

(1) Tính $\overrightarrow{IJ};\overrightarrow{IK}$ theo $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}$.

• Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CJ}$

$\iff \overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}$.



(0,25 điểm)

• $\overrightarrow{IK}=\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{BK}$

$$\iff \overrightarrow{IK}=-2\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}.$$

(0,25 điểm)

(2) Chứng minh ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

❖ Theo câu (1): $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\left(\overrightarrow{AB}-\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\right)\end{array}\Rightarrow \overrightarrow{IK}=\frac{3}{2}\overrightarrow{IJ}$

$\Rightarrow$ Vậy $I,J,K$ thẳng hàng.

(0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh hình vuông là $a$. Ta có $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=0-a^2=-a^2$ (vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BA}=-|AB{|}^2$). Do đó $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CA}\right)=\frac{-a^2}{|AB|\cdot |CA|}=\frac{-a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có góc $A=60^{\circ }$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$. Tam giác ABC vuông cân tại A với $AB=AC=a$ nên $BC=a\sqrt{2}$. Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=BC=a\sqrt{2}$, trùng với đáp án D của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có cùng độ dài. A sai vì cùng độ dài nhưng có thể khác hướng; B sai vì cùng hướng nhưng độ dài có thể khác nhau; D sai vì cùng phương gồm cả trường hợp ngược hướng. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$, không phải $\overrightarrow{AB}$. b) Đúng: O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. c) Đúng: vectơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu A, điểm cuối B. d) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên vế trái là một số (độ dài $|\overrightarrow{AC}|$), không thể bằng một vectơ $\overrightarrow{AC}$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu A và điểm cuối B.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, nên vế trái là độ dài (số dương), không thể bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp là $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên hai lực vuông góc nhau, theo định lý Pythagoras: $|\vec{F}|=\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50$ N. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: 50).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=2\cdot 7+(-5)\cdot 9=14-45=-31$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: -31).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 101: B).