Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(2;0)$, $D(1;2)$, $C(3;2)$ (hình bình hành). Khi đó $M$ trung điểm $DC$ là $M(2;2)$, $N$ trung điểm $AB$ là $N(1;0)$.

Đường thẳng $AM$: $y=x$. Đường thẳng $DB$: qua $D(1;2)$, $B(2;0)$ có phương trình $y=-2x+4$. Giao điểm $P$: $x=-2x+4\Rightarrow x=\frac{4}{3}$... kiểm tra lại với cách khác: $AM$: $y=x$; $DB$: $y=-2x+4$; suy ra $3x=4$, $P=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$.

Tính theo véc tơ: $\overrightarrow{DP}=\left(\frac{4}{3}-1;\frac{4}{3}-2\right)=\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right)$. Ta có $\overrightarrow{DB}=(1;-2)$ nên $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$, tức $P$ chia $DB$ theo tỉ số $\frac{DP}{PB}=\frac{1}{2}$ (đúng vì $AM$ là đường trung bình... thực chất $P$ là trọng tâm tam giác tạo bởi $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$).

Tương tự $Q=CN\cap DB$: đường $CN$ qua $C(3;2)$, $N(1;0)$: $y=x-1$; với $DB$: $x-1=-2x+4\Rightarrow x=\frac{5}{3}$, $Q=\left(\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{DQ}=\left(\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$, tức $\overrightarrow{QB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Các véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ (cùng hướng, cùng độ dài $\frac{1}{3}DB$):
- $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$ — không bằng.
- $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{DQ}-\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DP}$ — bằng.
- $\overrightarrow{QB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DP}$ — bằng.
- $\overrightarrow{NC}$: $N(1;0)\to C(3;2)$: $(2;2)$ — không bằng.
- $\overrightarrow{AP}=\left(\frac{4}{3};\frac{4}{3}\right)$ — không bằng.

Vậy trong các véc tơ thông dụng của hình ($\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{QB},\overrightarrow{NC},\overrightarrow{AP},...$) có đúng 2 véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}$, đó là $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{QB}$, vì cả ba đều bằng $\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ cùng hướng. Kết luận: có 2 véc tơ bằng $\overrightarrow{DP}$ (không kể $\overrightarrow{DP}$): $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QB}=\overrightarrow{DP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{NC}$.

Vì $M$ là trung điểm $AD$ nên $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}$; vì $N$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{NC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Khi đó:
$$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}\right).$$

Mặt khác, do $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$ nên $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}$. Suy ra:
$$\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$$

Đây chính là tính chất đường trung bình của hình thang: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)$. Hai véc tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương, ngược chiều (vì $AB\parallel CD$), nên độ dài
$$MN=\frac{AB+CD}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}.$$

Vậy $\left|\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CN}\right|=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ của hình vuông cạnh 2 nên $BM=1$, $AB\perp BM$, do đó $AM=\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx 2,236$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $AM=BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB=1,AC=2$ nên $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\approx 2,236$. Làm tròn đến hàng phần mười: $|\overrightarrow{AM}|\approx 2,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cường độ lực tổng hợp là độ dài vectơ tổng hợp $\vec{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. Theo quy tắc bình phương tổng: $$|\vec{F}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2|\overrightarrow{F_1}||\overrightarrow{F_2}|\cos 45^{\circ }$$ Thay số: $$|\vec{F}{|}^2=60^2+90^2+2\cdot 60\cdot 90\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3600+8100+5400\sqrt{2}=11700+5400\sqrt{2}\approx 19336,75$$ Suy ra $|\vec{F}|\approx \sqrt{19336,75}\approx 139,06N$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $|\vec{F}|\approx 139N$.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, do đó $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$ và $|\overrightarrow{F_3}|=|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|$.

Ta có:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=25^2+25^2+2\cdot 25\cdot 25\cdot \cos 60^{\circ }=625+625+625=1875.$$

Vậy $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{1875}=25\sqrt{3}\approx 43,3$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I$ là trung điểm $AC$ nên $\vec{I}=\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}$; $J$ là trung điểm $BD$ nên $\vec{J}=\frac{\vec{B}+\vec{D}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{IJ}=\vec{J}-\vec{I}=\frac{(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{C})}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}{2}$. Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$, tức $k=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$. Tương tự với $G^{\prime }$ của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Xét tổng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }})+(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }})+(\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{G{G}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})=(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ (đổi dấu) $+(\overrightarrow{G^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G^{\prime }{C}^{\prime }})$ (đổi dấu) $+3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=3\overrightarrow{G{G}^{\prime }}$. Vậy $k=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại B, góc A = 30°, AB = 1 nên AC = AB / cos30° = 1/(√3/2) = 2/√3, BC = AB·tan30° = 1/√3. Ta có |AB + AC|² = AB² + AC² + 2·AB·AC·cos A = 1 + 4/3 + 2·1·(2/√3)·(√3/2) = 1 + 4/3 + 2 = 13/3. Vậy |AB + AC| = √(13/3) ≈ 2,0817 ≈ 2,1. (Chú ý: I là trung điểm AC chỉ là dữ kiện phụ, không cần dùng vì AB + AC = 2·AI nên |AB + AC| = 2AI, cho cùng kết quả.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ gốc tại $B$, đặt $\vec{a}=\overrightarrow{BA}$, $\vec{b}=\overrightarrow{BC}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BD}=\vec{a}+\vec{b}$. Theo đề: $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b})$. Do đó $$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=-\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b},$$ $$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=-\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}=-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}.$$ Yêu cầu $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$: $$-\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}=k\left(-\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b}\right).$$ Vì $\vec{a},\vec{b}$ không cùng phương, so sánh hệ số: theo $\vec{a}$: $-1=-\frac{3k}{4}\Rightarrow k=\frac{4}{3}$; theo $\vec{b}$: $\frac{1}{3}=\frac{k}{4}\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai cách cho cùng kết quả nên $k=\frac{4}{3}\approx 1,3$. Nguồn trang 27 chỉ có đề bài, không có đáp án chính thức; đáp án trên do AI giải và khớp với dữ kiện đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ trang 27: $\overrightarrow{F_1}$ hướng sang phải, $\overrightarrow{F_2}$ hướng sang trái (ngược chiều $\overrightarrow{F_1}$), còn $\overrightarrow{F_3},\overrightarrow{F_4}$ đối xứng qua trục của $\overrightarrow{F_1}$, mỗi lực hợp với $\overrightarrow{F_1}$ góc $45^{\circ }$ và có độ lớn $20N$.

Chọn trục $Ox$ theo phương của $\overrightarrow{F_1}$. Do tính đối xứng, thành phần vuông góc của $\overrightarrow{F_3}+\overrightarrow{F_4}$ triệt tiêu, còn thành phần theo $Ox$ là:
$$2\cdot 20\cos 45^{\circ }=40\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=20\sqrt{2}N$$
cùng chiều với $\overrightarrow{F_1}$.

Vật đứng yên nên tổng các lực bằng $\vec{0}$. Chiếu lên trục $Ox$ (lấy chiều $\overrightarrow{F_1}$ dương, $\overrightarrow{F_2}$ ngược chiều nên mang dấu trừ):
$$F_1-F_2+20\sqrt{2}=0.$$

Vì $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ ngược chiều và $F_2=2F_1$:
$$F_1-2F_1+20\sqrt{2}=0\Rightarrow F_1=20\sqrt{2}N,F_2=40\sqrt{2}N.$$

Tổng độ lớn:
$$F_1+F_2=20\sqrt{2}+40\sqrt{2}=60\sqrt{2}\approx 85N.$$

Vậy tổng độ lớn của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ là $60\sqrt{2}\approx 85N$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông $ABCD$ có $AB\parallel CD$, các góc vuông tại $A$ và $D$. Chọn hệ trục: $A(0;0)$, $B(8;0)$, $D(0;6)$, $C(4;6)$. Trung điểm $I$ của $AD$ là $I(0;3)$.

Ta có:
$$\overrightarrow{IA}=(0;-3),\overrightarrow{IB}=(8;-3),\overrightarrow{ID}=(0;3).$$

Suy ra:
$$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=(8;-6).$$

Do đó:
$$\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)\cdot \overrightarrow{ID}=8\cdot 0+(-6)\cdot 3=-18.$$

Vậy kết quả là $-18$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Do đó $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}\right)$. Ta có $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AB}=-|AB{|}^2=-1$ và vì tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AC}=0$. Vậy $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(-1+0)=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực là tích vô hướng của lực và vecto dịch chuyển: $W=\vec{F}\cdot \vec{s}=|\vec{F}|\cdot |\vec{s}|\cdot \cos 60^{\circ }=90\cdot 100\cdot \frac{1}{2}=4500$ (Jun).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AC=7cm$, $BC=14cm$ nên $AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{196-49}=7\sqrt{3}cm$. Ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Vì tam giác vuông tại $A$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, do đó $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}-{\overrightarrow{AC}}^2=0-49=-49$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{-49}{7\cdot 14}=-\frac{1}{2}$. (Góc giữa hai vectơ bằng $120^{\circ }$, lớn hơn góc $\widehat{ACB}=60^{\circ }$ vì hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu $\overrightarrow{AC}$ tại $A$ chứ không cùng xuất phát từ $C$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+{\left|\vec{b}\right|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}=2^2+(\sqrt{3}{)}^2+2\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 120^{\circ }=4+3+4\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=7-4\sqrt{3}\approx 0,0718$. Suy ra $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|=\sqrt{7-4\sqrt{3}}\approx 0,2679\approx 0,3$ (làm tròn đến hàng phần chục).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$, nên $\vec{u}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$. Trong hình hộp chữ nhật: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=3^2+4^2=25$, và $B{D}^{\prime }\perp$ mặt đáy nên $B{D}^{\prime 2}=B{D}^2+D{D}^{\prime 2}=25+12^2=169$. Vậy $|\vec{u}|=|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=13$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Để điểm $O$ cân bằng tĩnh thì tổng các lực bằng vectơ không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|$. Vì $\overrightarrow{F_1}\perp \overrightarrow{F_2}$ nên theo định lý Pythagoras: $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50\mathrm{N}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|-2\vec{u}-\vec{v}{|}^2=4|\vec{u}{|}^2+|\vec{v}{|}^2+4\vec{u}\cdot \vec{v}=4(1{)}^2+2^2+4\cdot 1\cdot 2\cos (\vec{u},\vec{v})=8+8\cos (\vec{u},\vec{v})$. Theo giả thiết $|-2\vec{u}-\vec{v}{|}^2=6$, suy ra $8+8\cos (\vec{u},\vec{v})=6\Rightarrow \cos (\vec{u},\vec{v})=-\frac{2}{8}=-0,25$. Làm tròn đến hàng phần mười ta được $-0,3$.