Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AK}=-2\overrightarrow{DK}$ suy ra $K$ nằm giữa $A$ và $D$ với $AK=2KD$, nên $AK=\frac{2}{3}AD=2a$, tức $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$. Ta có $\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Với $|\overrightarrow{AB}|=2a$, $|\overrightarrow{AD}|=3a$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=2a\cdot 3a\cos 60^{\circ }=3a^2$:
$$\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AB}+|\overrightarrow{AD}{|}^2\right)-\left(|\overrightarrow{AB}{|}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}\right)$$
$$=\frac{2}{3}(3a^2+9a^2)-(4a^2+3a^2)=8a^2-7a^2=a^2.$$
Vậy $\overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$, nên $16=16+9-2\vec{a}\cdot \vec{b}\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{9}{2}$. Do đó $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{9/2}{12}=\frac{3}{8}$. Vậy phát biểu đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{x}=\vec{a}+\vec{b}$ và $\vec{y}=2\vec{a}-\vec{b}$ vuông góc nên $\vec{x}\cdot \vec{y}=0$. Tính: $\vec{x}\cdot \vec{y}=(\vec{a}+\vec{b})(2\vec{a}-\vec{b})=2{\vec{a}}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}+2\vec{a}\cdot \vec{b}-{\vec{b}}^2=2|\vec{a}{|}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-|\vec{b}{|}^2$. Thay $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=2$: $2\cdot 2+\vec{a}\cdot \vec{b}-4=0\Rightarrow \vec{a}\cdot \vec{b}=0$. Suy ra $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=0$, do đó góc giữa hai vecto là $90^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}\iff (\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}).\overrightarrow{CB}=0\iff \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CB}=0$. Vậy $M$ nằm trên đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ (đường thẳng này luôn tồn tại và chứa mọi điểm $M$ thỏa mãn, kể cả $M=A$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên theo tính chất đường trung bình: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $MN=\frac{BC}{2}$ và $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$.
(a) Sai: $MN=\frac{BC}{2}\ne BC$.
(b) Sai: $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|\ne \left|\overrightarrow{BC}\right|$.
(c) Sai: hai vectơ cùng hướng, không ngược hướng.
(d) Đúng: $P$ đối xứng với $M$ qua $N$ nên $N$ là trung điểm $MP$, do đó $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=2\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$.

a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình nên $MN=\frac{BC}{2}\ne BC$.

b) (AI giải đề cho tôi)
$\left|\overrightarrow{MN}\right|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\right|\ne \left|\overrightarrow{BC}\right|$.

c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ cùng hướng.

d) (AI giải đề cho tôi)
$N$ là trung điểm $MP$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), D(a;0), B(0;a) (góc A vuông, AB=AD=a). Vì AB ∥ DC và DC = 2a nên C(a;2a). (a) CA² = a² + (2a)² = 5a²; DA² + DC² = a² + 4a² = 5a² → đúng. (b) |CA| = a√5 ≠ a√3 → sai. (c) Tam giác ABD vuông cân tại A nên góc ABD = 45°; BF là phân giác nên góc ABF = 22,5° ≠ 45° → sai. (d) Theo tính chất đường phân giác: AF/FD = AB/BD = a/(a√2), nên AF = a/(1+√2) = a(√2−1). BF² = AB² + AF² = a²[1 + (√2−1)²] = a²(4−2√2), BF = a√(4−2√2) ≈ 1,08a ≠ 2,08a → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
CA² = a² + 4a² = 5a² = DA² + DC² vì AD ⊥ DC.
b) (AI giải đề cho tôi)
|CA| = a√5, không phải a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc ABD = 45°, BF là phân giác nên góc ABF = 22,5°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AF = a(√2−1), BF = a√(4−2√2) ≈ 1,08a ≠ 2,08a.

(AI giải đề cho tôi)
Xét sáu điểm tùy ý $A,B,C,D,E,F$.

(a) VT $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}\ne \overrightarrow{FA}$. Vậy sai.

(b) VT $=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}$. Vậy đúng.

(c) Vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$. Vậy đúng.

(d) VT − VP $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{ED}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{ED})+(\overrightarrow{EF}-\overrightarrow{AF})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}$. Vậy hai vế bằng nhau, đúng.

a) Tổng rút gọn thành $\overrightarrow{AF}$, không phải $\overrightarrow{FA}$.

b) Rút gọn được $\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}$.

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

d) Hiệu hai vế bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EA}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong hình bình hành $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$ → Sai.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ trong hình bình hành) → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|=AC$ → Đúng.
d) $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=AC$ và $|\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{DB}|=BD$. Điều kiện $AC=BD$ nghĩa là hai đường chéo bằng nhau, tức $ABCD$ là hình chữ nhật, không phải hình thoi → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{AD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện tương đương $AC=BD$: hai đường chéo bằng nhau, suy ra hình chữ nhật chứ không phải hình thoi.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$, khi đó $O(a/2;a/2)$.
(a) Đúng: trong hình vuông, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
(b) Sai: $\overrightarrow{OA}=\left(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2}\right)$, $\overrightarrow{CB}=(0;-a)$, nên $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$.
(c) Sai: $\overrightarrow{AB}=(a;0)$, $\overrightarrow{DC}=(-a;0)$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, độ dài bằng $0\ne a$.
(d) Sai: $\overrightarrow{CD}=(-a;0)$, $\overrightarrow{DA}=(0;-a)$ nên $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}=(-a;a)$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình vuông có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $A(0;0),B(a;0),C(a;a),O(a/2;a/2)$: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$, độ dài $\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$ vì $AB\parallel DC$ và ngược hướng bằng độ dài, nên độ dài bằng $0\ne a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}=(-a;a)$, độ dài bằng $a\sqrt{2}\ne \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 43: Tam giác ABC đều cạnh 3a, O là trọng tâm (giao ba đường trung tuyến). Đường cao h = 3a·√3/2.
(a) Sai: AO = (2/3)h = (2/3)·(3a√3/2) = a√3 ≠ 3a√3/2.
(b) Sai: |AB−AC| = |CB| = 3a ≠ 2a.
(c) Đúng: AB−AC = CB nên AB−CB−AC = (AB−AC)−CB = CB−CB = 0, do đó |AB−CB−AC| = 0.
(d) Sai: Gọi M trung điểm BC thì AB+AC = 2·AM, với AM = h = 3a√3/2 nên |AB+AC| = 3a√3 ≠ a√3.
a) (AI giải đề cho tôi)
AO = (2/3)·đường cao = (2/3)·(3a√3/2) = a√3 ≠ 3a√3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB−AC| = |CB| = 3a ≠ 2a.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB−AC = CB nên AB−CB−AC = CB−CB = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
|AB+AC| = 2·AM = 2·(3a√3/2) = 3a√3 ≠ a√3.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA+MB=0 (đúng). N là trung điểm CD nên NC+ND=0 (đúng). MN = MA + AC + CN (đi qua A rồi C), nói chung MN ≠ MA+AC vì còn thiếu CN (sai). Đẳng thức trung điểm: 2MN = (AC+BD) đúng vì MN = MA+AC+CN = ½(AB+AC) + ½(AC+CD)... kiểm tra: MN = ½(A+B... cụ thể MN = N−M = ½(C+D) − ½(A+B) = ½(AC+BD), nên 2MN = AC+BD (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA = −MB, do đó MA+MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm CD nên NC = −ND, do đó NC+ND = 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: MN = MA + AC + CN, nói chung MN ≠ MA+AC vì còn thiếu vecto CN.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN = ½(AC+BD) (đẳng thức trung điểm với M trung điểm AB, N trung điểm CD), suy ra 2MN = AC+BD.

(AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi — nguồn trang 25 chỉ in bảng Mệnh đề với cột Đúng/Sai để trống, không có đáp án chính thức)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Vì $G$ là trọng tâm: $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Vì $D$ đối xứng của $B$ qua $G$: $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$: $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$.

(a) Theo quy tắc ba điểm (Chasles): $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng với mọi vị trí $M,G,D$.

(b) $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, nên sai.

(c) $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\vec{c}=-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$. Điểm $N$ không được định nghĩa trong đề; thử cả các vị trí tự nhiên (trung điểm $BC$, trung điểm $AG$) thì vế phải $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BN}$ đều không bằng $-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$, nên mệnh đề sai.

(d) $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{2\vec{c}-\vec{b}}{3}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=\frac{4\vec{c}-2\vec{b}-3\vec{b}-3\vec{c}}{6}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$, nên đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\ne 2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CD}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$; điểm $N$ không được định nghĩa và vế phải không thể rút gọn về giá trị này.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}-5\vec{b}}{6}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục với tâm O làm gốc: đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ thì $\overrightarrow{OC}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$. Điểm $P$ thỏa $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}=-\frac{1}{3}\vec{a}$.
(a) Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$. Đúng.
(b) $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=-\frac{4}{3}\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=-2\vec{a}$. Khi đó $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=-4\vec{a}+6\vec{a}=2\vec{a}\ne \vec{0}$. Sai.
(c) $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{OM}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$; $N$ trung điểm $CD$: $\overrightarrow{ON}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}=-\overrightarrow{OM}$. Ta có $\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}=\frac{1}{3}(-\vec{a}-3\vec{b})$ và $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{-\vec{a}-\vec{b}}{2}-\vec{b}=\frac{-\vec{a}-3\vec{b}}{2}$. Suy ra $\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$, vậy $B,P,N$ thẳng hàng. Mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
(d) $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$ (tâm hình bình hành). Vì $\overrightarrow{ON}=-\overrightarrow{OM}$ nên $O$ là trung điểm $MN$, do đó $MN$ cũng đi qua $O$. Ba đường thẳng $AC,BD,MN$ đồng quy tại $O$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{OP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$ suy ra $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OP}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AP}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{OA}$ nên $3\overrightarrow{AP}-3\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OA}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}$ nên $B,P,N$ thẳng hàng; mệnh đề 'không thẳng hàng' sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC,BD$ cắt tại $O$ và $O$ là trung điểm $MN$ nên $MN$ đi qua $O$; ba đường thẳng đồng quy tại $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục: $A=(0,0)$, lục giác đều cạnh 1 với $B=(1,0)$, $C=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D=(1,\sqrt{3})$, $E=(0,\sqrt{3})$, $F=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Khi đó $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(1,0)$, $\vec{v}=\overrightarrow{AE}=(0,\sqrt{3})$.
(a) $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{3})=\vec{u}+\vec{v}$ → đúng.
(b) $\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\ne \frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai (thực chất $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\frac{1}{2}(\vec{u}+\vec{v})$).
(c) $\overrightarrow{AF}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}\ne -\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai.
(d) $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{E}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}\ne -\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$ → sai.
Vậy chỉ mệnh đề (a) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A=(0,0),B=(1,0),D=(1,\sqrt{3})$, ta có $\overrightarrow{AD}=(1,\sqrt{3})=\vec{u}+\vec{v}$ (vì $\vec{u}=(1,0),\vec{v}=(0,\sqrt{3})$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=\frac{3}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AF}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{EF}=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{1}{2}\vec{u}-\frac{1}{2}\vec{v}$, khác $-\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Từ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(-\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC})-(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=2\overrightarrow{AC}$. (a) Sai vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}\ne 3\overrightarrow{AC}$. (b) Đúng vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ nên hai vectơ cùng phương. (c) Sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ (tam giác không suy biến), nên $M$ không thuộc đường thẳng $AC$. (d) Đúng vì $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$, nên đường thẳng $MN$ song song với $AC$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$, không bằng $3\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ nên hai vectơ cùng phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BC}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}$, nên $M$ không thuộc đường thẳng $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$ cùng phương với $\overrightarrow{AC}$ và $M\notin AC$, nên $MN\parallel AC$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC đều nên góc B = góc C = 60°, đường cao AH vuông góc với BC. a) Góc giữa hai vectơ AB và AC bằng góc A = 60°, không phải 30° → Sai. b) AH ⊥ BC nên AH ⊥ CB (CB cùng phương với BC) → góc bằng 90° → Đúng. c) Góc giữa CA và CB bằng góc C = 60°; vì BC = −CB nên góc giữa CA và BC bằng 180° − 60° = 120° → Đúng. d) Góc giữa AH và BC bằng 90°, góc giữa BA và BC bằng góc B = 60°, nên góc giữa AH và BA bằng 90° − 60° = 30°, không phải 130° → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AB và AC bằng góc A của tam giác đều là 60° ≠ 30°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AH là đường cao nên AH ⊥ BC, do đó (AH, CB) = 90°.
c) (AI giải đề cho tôi)
(CA, CB) = 60° và BC ngược hướng CB nên (CA, BC) = 180° − 60° = 120°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa AH và BA bằng 90° − 60° = 30° ≠ 130°.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi ABCD cạnh 2, góc B = 60° nên góc A = góc D = 120°, góc C = 60°. Tam giác ABC có AB = BC = 2 và góc B = 60° nên ABC đều, do đó AC = 2 và góc giữa AB và AC bằng 60° → (a) đúng. Góc DAB = 120° nên góc giữa AB và DA (đối của AD) bằng 180° − 120° = 60° ≠ 30° → (b) sai. DA·DC = |DA||DC|cos120° = 2·2·(−1/2) = −2 ≠ 3 → (c) sai. Tọa hóa: A(0,0), B(2,0), C(3,√3), D(1,√3), O trung điểm AC = (3/2, √3/2). OB = (1/2, −√3/2), BA = (−2,0), tích vô hướng = −1 ≠ −3 → (d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB = BC = 2, góc B = 60° nên đều, góc BAC = 60°, vậy (AB, AC) = 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc DAB = 120°, góc giữa AB và DA = 180° − 120° = 60° ≠ 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
DA·DC = 2·2·cos120° = −2 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0,0), B(2,0), C(3,√3), D(1,√3), O(3/2, √3/2): OB·BA = (1/2)(−2) + (−√3/2)(0) = −1 ≠ −3.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, AB=a, BC=2a nên AC=√(BC²−AB²)=√(4a²−a²)=a√3.
(a) cos C = AC/BC = (a√3)/(2a)=√3/2 ⇒ C=30°, không phải 60° ⇒ Sai.
(b) cos B = AB/BC = 1/2 ⇒ BA·BC = |BA||BC|cos B = a·2a·(1/2)=a² ⇒ Đúng.
(c) Góc giữa BC và CA là 180°−C=150°, cos150°=−√3/2 ⇒ BC·CA = 2a·a√3·(−√3/2) = −3a² ≠ 3a² ⇒ Sai.
(d) AB·BC = −BA·BC = −a²; BC·CA = −3a²; CA·AB: góc giữa CA và AB là 180°−A=90° nên bằng 0. Tổng = −a²−3a²+0 = −4a² ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC=a√3, cos C = AC/BC = √3/2 ⇒ ACB=30°, không phải 60°.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos B = AB/BC = 1/2, nên BA·BC = a·2a·(1/2)=a².
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa BC và CA là 150°, BC·CA = 2a·a√3·cos150° = −3a².
d) (AI giải đề cho tôi)
AB·BC = −a², BC·CA = −3a², CA·AB = 0 (vuông góc), tổng = −4a².

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0,0), B(a,0), C(a,a), D(0,a), O(a/2,a/2), M(a/2,0).
(a) AB=(a,0), CA=(−a,−a) ⇒ AB·CA=−a²≠a² ⇒ Sai.
(b) AM=(a/2,0), AC=(a,a) ⇒ AM·AC=a²/2≠a²/3 ⇒ Sai.
(c) AD=(0,a), BD=(−a,0) ⇒ AD·BD=0; OM=(0,−a/2), AC=(a,a) ⇒ OM·AC=−a²/2; tổng = −a²/2≠a²/2 ⇒ Sai.
(d) AB+AD=(a,a); BD+BC=(−a,a)+(0,a)=(−a,2a) ⇒ tích vô hướng = −a²+2a²=a² ⇒ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB·CA=(a,0)·(−a,−a)=−a²≠a².
b) (AI giải đề cho tôi)
AM·AC=(a/2,0)·(a,a)=a²/2≠a²/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD·BD=0 và OM·AC=−a²/2 nên tổng bằng −a²/2≠a²/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AB+AD)·(BD+BC)=(a,a)·(−a,2a)=−a²+2a²=a².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ với $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AD}|=1$ và $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})=60^{\circ }$. Do đó $A{C}^2=|\overrightarrow{AC}{|}^2=1^2+1^2+2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=2+1=3$, suy ra $AC=\sqrt{3}\approx 1,7$. Vậy $|\overrightarrow{AC}|\approx 1,7$.