Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+4\vec{a}\cdot \vec{b}+4|\vec{b}{|}^2=36+4\cdot 36\cos x+144=180+144\cos x$. Theo đề: $|\vec{a}+2\vec{b}|=6\sqrt{3}$ nên $|\vec{a}+2\vec{b}{|}^2=108$. Suy ra $180+144\cos x=108\Rightarrow \cos x=-\frac{72}{144}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ nên $x=120^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (120).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = a√2, nên CC' = AA' = a√2 và CC' ⊥ (ABC).
a) Vì CC' ⊥ (ABC) nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2 → Sai.
b) AB'² = AB² + BB'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3. Tương tự BC'² = BC² + CC'² = a² + 2a² = 3a² ⇒ |BC'| = a√3 → Đúng.
c) B'C' ∥ BC nên góc (AB, B'C') = góc (AB, BC). Tam giác ABC đều nên góc ABC = 60°, góc giữa hai vectơ AB và BC bằng 180° − 60° = 120° → Sai.
d) AB' = AB + BB' = AB + CC' (vì BB' = CC') → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CC' ⊥ (ABC) nên CC' ⊥ AB, do đó AB·CC' = 0 ≠ a²√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
|AB'|² = a² + (a√2)² = 3a² ⇒ |AB'| = a√3; tương tự |BC'| = a√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
B'C' ∥ BC, góc (AB, BC) = 120° (vì tam giác ABC đều), không phải 60°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB' = AB + BB' = AB + CC' vì BB' = CC'.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M^{\prime }\in Ox$ có dạng $M^{\prime }(a;0;0)$. Ta có $M{M}^{\prime }=\sqrt{(a-1{)}^2+2+3}=\sqrt{(a-1{)}^2+5}$, nhỏ nhất khi $a=1$. Vậy $M^{\prime }(1;0;0)$, là hình chiếu vuông góc của $M$ trên Ox.

(AI giải đề cho tôi)
a) |a|=√(4+1+1)=√6, đúng. b) -2a+3b = (4;-2;-2)+(6;-3;3) = (10;-5;1) ≠ (10;-5;4), sai. c) c cùng phương b: (x;1;y)=k(2;-1;1) ⇒ 1=-k ⇒ k=-1 ⇒ x=-2, y=-1 ⇒ x+y=-3≠3, sai. d) a·b=-4-1+1=-4, |a||b|=√6·√6=6 ⇒ cosφ=-4/6=-2/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
|a|=√((-2)²+1²+1²)=√6.
b) (AI giải đề cho tôi)
-2a+3b=(4;-2;-2)+(6;-3;3)=(10;-5;1), khác (10;-5;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
(x;1;y)=k(2;-1;1) ⇒ k=-1 ⇒ x=-2, y=-1 ⇒ x+y=-3≠3.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosφ=(a·b)/(|a||b|)=(-4)/6=-2/3.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;3;-1)\ne (2;-3;1)$ → sai. b) $\overrightarrow{BC}=(1;-9;2)$, $BC=\sqrt{1+81+4}=\sqrt{86}$ → đúng. c) $G=\left(\frac{3+1+2}{3};\frac{0+3-6}{3};\frac{-1-2+0}{3}\right)=(2;-1;-1)$ → đúng. d) $M(a;0;0)$ trên trục hoành, $M{A}^2=M{B}^2$: $(a-3{)}^2+0+1=(a-1{)}^2+9+4\Rightarrow a^2-6a+10=a^2-2a+14\Rightarrow a=-1$. Vậy $a+b+c=-1+0+0=-1$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;3;-1)$, khác $(2;-3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(1;-9;2)$ nên $BC=\sqrt{1+81+4}=\sqrt{86}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{6}{3};\frac{-3}{3};\frac{-3}{3}\right)=(2;-1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(a;0;0)$, giải $M{A}^2=M{B}^2$ được $a=-1$, nên $a+b+c=-1$.

Lời giải. Đáp số: 22.
Ta có $B(10;0;0)$, $D(0;16;0)$, $A^{\prime }(0;0;8)$. Tìm được trọng tâm $G\left(\frac{10}{3};\frac{16}{3};\frac{8}{3}\right)$.
Vậy $T=x+2y+3z=\frac{10}{3}+2.\frac{16}{3}+3.\frac{8}{3}=22$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{OM}=(2;3;-1)=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$, mệnh đề ghi $2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$ nên SAI. b) $\overrightarrow{MN}=(-3;-2;2)$, $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}$ → ĐÚNG. c) $\overrightarrow{ON}=(-1;1;1)$, $\vec{v}=(2-1;3+1;-1+1)=(1;4;0)$ → ĐÚNG. d) $\overrightarrow{NM}=(3;2;-2)$, $\overrightarrow{NP}=(2;m-2;2)$. Vuông tại $N$: $\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6+2(m-2)-4=2m-2=0\iff m=1$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OM}=(2;3;-1)=2\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$, khác với mệnh đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(-3;-2;2)$ nên $|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{9+4+4}=\sqrt{17}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{v}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=(2-1;3+1;-1+1)=(1;4;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NM}\cdot \overrightarrow{NP}=6+2(m-2)-4=2m-2=0\iff m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, cạnh bằng 2.
a) $B(2;0;0)$ nên $\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}$. Đúng.
b) $C$ là điểm trong mặt phẳng $Oxy$ với $x=2$, $y=2$, $z=0$ nên $C(2;2;0)$, không phải $C(0;2;2)$. Sai.
c) $N$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$: $N\left(\frac{0+0}{2};\frac{0+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(0;0;1)$. Đúng.
d) $C^{\prime }=(2;2;2)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$, $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}\ne 3\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B(2;0;0)$ nên $\overrightarrow{OB}=2\vec{i}+0\vec{j}+0\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C(2;2;0)$ vì $C$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$ với $x=2$, $y=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N$ trung điểm $A{A}^{\prime }$ với $A(0;0;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$ nên $N(0;0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(2;2;2)$ nên $|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=2\sqrt{3}\ne 3\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ (do $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Suy ra $a=1$, $b=1$, $c=-1$, do đó $a+b-c=1+1-(-1)=3$. Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành theo thứ tự đỉnh A, B, C, D nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $D=A+C-B$. Tính: $x_D=1+(-1)-3=-3$; $y_D=-1+(-2)-3=-6$; $z_D=2+2-3=1$. Vậy $D(-3;-6;1)$, khớp phương án D. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(2;4;1)$, $\overrightarrow{DC}=C-D=(2;4;1)$ — đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;-3;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(4;-6;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0\cdot 4+(-3)(-6)+(-1)(0)=18$. Suy ra $2m=18\Rightarrow m=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}=\vec{0}$ (C đúng). Với $G$ trọng tâm tam giác $ABC$ và $D$ tùy ý: $\overline{DA}+\overline{DB}+\overline{DC}=3\overline{DG}$ (A đúng). Ta có $\overline{GD}-\overline{GA}=\overline{AD}$ đúng theo hiệu hai vectơ (B đúng). Còn $\overline{GA}+\overline{GB}+\overline{GC}+\overline{GD}=\vec{0}+\overline{GD}=\overline{GD}\ne \vec{0}$ vì $G\ne D$. Vậy phát biểu D là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 120^{\circ }=3\cdot 5\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{15}{2}$. Suy ra $|\vec{a}-\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}=9+25+15=49$, nên $|\vec{a}-\vec{b}|=7$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=OB=OC=a$. Chọn hệ trục $O$ gốc với $A(a;0;0)$, $B(0;a;0)$, $C(0;0;a)$. Khi đó $M$ là trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$, suy ra $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0\right)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;-a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{BC}=0-\frac{a^2}{2}+0=-\frac{a^2}{2}$. Độ dài: $|\overrightarrow{OM}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\overrightarrow{BC}|=a\sqrt{2}$. Vậy $\cos (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC})=\frac{-a^2/2}{a^2}=-\frac{1}{2}$, nên góc tạo bởi hai vectơ bằng $120^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$. Do đó $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=|OA||OC|\cos 60^0-|OA||OB|\cos 90^0=1\cdot 1\cdot \frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{c}$ cùng hướng với $\vec{a}=(3;-4;0)$ nên $\vec{c}=k\vec{a}$ với $k>0$. Ta có $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2+0^2}=5$, nên $k=\frac{|\vec{c}|}{|\vec{a}|}=\frac{10}{5}=2$. Vậy $\vec{c}=2(3;-4;0)=(6;-8;0)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\vec{0}$, ta có $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$, tức $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-2$, nên $I=\frac{A+2B}{3}$. Tính: $x_I=\frac{1+2\cdot 2}{3}=\frac{5}{3}$, $y_I=\frac{2+2\cdot (-1)}{3}=0$, $z_I=\frac{-1+2\cdot 3}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ (a đúng). Với G trọng tâm tam giác ABC: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$; vì $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng vế theo vế được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$ (b đúng). $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$ nên $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+9+9}=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$ (c sai). N thuộc (Oxy) có dạng $(x;y;0)$; $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$; thẳng hàng khi $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CN}$, cộng lại được $3\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3;-3;3)$, $|\overrightarrow{AB}|=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
N thuộc (Oxy): $N(x;y;0)$. $\overrightarrow{AN}=(x-4;y+2;1)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=(-1;-1;1)$ cho $x=3,y=1$, tức $N(3;1;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(9-5;-2-2;3-1)=(4;-4;2)=4\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$ → đúng.
b) Đối xứng qua $(Oxy)$ đổi dấu tung độ z: $A^{\prime }(5;2;-1)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AC}=(-3;-1;0)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-12+4+0=-8$, $|AB|=\sqrt{16+16+4}=6$, $|AC|=\sqrt{10}$. Vậy $\cos BAC=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}<0$ → sai (giá trị dương trong đề chỉ đúng với góc bù).
d) Lấy $B^{\prime }$ đối xứng $B$ qua $(Oxy)$: $B^{\prime }(9;-2;-3)$. Đường thẳng $A{B}^{\prime }$: $(x;y;z)=(5+4t;2-4t;1-4t)$. Cho $z=0\Rightarrow t=\frac{1}{4}\Rightarrow M=(6;1;0)\ne (3;4;0)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(4;-4;2)=4\vec{i}-4\vec{j}+2\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua $(Oxy)$: $A^{\prime }(5;2;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos BAC=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|AB||AC|}=\frac{-8}{6\sqrt{10}}=-\frac{2\sqrt{10}}{15}$, âm nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $A(5;2;1)$ và $B^{\prime }(9;-2;-3)$ cắt $z=0$ tại $t=1/4$, tức $M=(6;1;0)\ne (3;4;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(1;-4;2)$, $B(4;2;-3)$, $C(-3;-1;4)$: $D=(1-3-4;-4-1-2;2+4+3)=(-6;-7;9)$. Vậy $a=-6$, $b=-7$, $c=9$, do đó $a+b+c=-6-7+9=-4$.