Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hình vuông $ABCD$, $B(3;0;8)$, $D(-5;-4;0)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau

Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí $A$ và $B$ cách mặt đất lần lượt là $20\text{ m}$ và $19,9\text{ m}$ (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh...; bàn đạp đặt tại vị trí $C$.
Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài tương ứng với $1\text{ m}$ thực tế); tọa độ các điểm $A,B,C$ lần lượt là $A(7;5;20);B(7;5,5;19,9);C(7;5;19)$.

Một chiếc trực thăng $H$ cất cánh từ một sân bay. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc tọa độ $O$ là chân tháp điều khiển không lưu; trục $Ox$ là hướng Đông, trục $Oy$ là hướng Bắc và trục $Oz$ là trục thẳng đứng, đơn vị trên mỗi trục là kilômét. Trực thăng cất cánh từ điểm $G$ trên mặt đất. Vectơ $\vec{u}$ chỉ vị trí của trực thăng tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh $(t\ge 0)$ có tọa độ là $\vec{u}=\left(1+t;\frac{1}{2}+2t;2t\right)$. Một hòn đảo ở vị trí $D(150;115;0)$. Gọi $M$ là vị trí của máy bay $H$ tại thời điểm $t$ phút sau khi cất cánh.

Trong lễ kỉ niệm 50 năm Giải phóng Miền Nam thống nhất đất nước 30-04-2025, máy bay tiêm kích Su-30MK2 mang số 8576 dẫn đầu phi đoàn xuất phát từ điểm $A$ là một vị trí đầu đường băng sân bay Biên Hòa, bay qua khu vực trung tâm thành phố Hồ Chí Minh nơi đặt khán đài của sự kiện, sau đó bay vòng ra dọc sông Sài Gòn. Khi đến điểm $B$ là một vị trí thuộc khu vực phía trên tòa nhà Bitexco, chiếc máy bay dẫn đầu bắt đầu biểu diễn. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc toạ độ $O$ là tâm trái đất, mỗi đơn vị trên các trục $Ox,Oy,Oz$ tương ứng với $1\text{ km}$ độ dài, cho biết tọa độ hai điểm $A(-1811;5994;1205)$ và $B(-1801;6002;1184)$.

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét). Một đội gồm bốn drone giao hàng $A,B,C,D$ xếp đội hình bay có dạng tam giác $ABC$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $DB=4DC$ (Hình vẽ bên). Tại thời điểm các drone có tọa độ là $A(80;20;80)$, $B(70;20;20)$, $C(420;120;120)$. Khoảng cách giữa drone $A$ và drone $D$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian ba chiều $Oxyz$, nhà bác An muốn lắp đường dây cáp truyền hình cho ba vị trí $A,B,C$ có tọa độ được xác định như sau: Vị trí $A$ có tọa độ $A(4;6;0)$ nằm trên mặt đất. Vị trí $B$ có tọa độ $B(5;8;4)$ nằm trên tầng hai tòa nhà và ở độ cao $4\text{ m}$. Vị trí $C$ có tọa độ $C(6;4;9)$ nằm trên tầng ba tòa nhà và ở độ cao $9\text{ m}$. Bác An muốn lắp đặt máy chủ tại địa điểm là $D(a;b;c)$ sao cho khoảng cách từ $D$ đến ba vị trí kể trên là bằng nhau và chi phí đường dây là ít nhất. Biết rằng một mét dây cáp giá 200 nghìn đồng. Số tiền bác An chi phí mua dây để kết nối đến ba vị trí trên ít nhất là bao nhiêu nghìn? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một kho chứa hàng có hình dạng là khối đa diện $OAFPECBGQH$, trong đó $OABC.EFGH$ là một khối hộp chữ nhật, $EFP$ là tam giác cân tại $P$, tam giác $HGQ$ cân tại $Q$ và bằng tam giác $EFP$. Biết $OA=4\text{m};AB=6\text{m};HC=5\text{m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ tương ứng như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{m}$).

Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ $Axyz$ như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ và $D{D}^{\prime }$. Phần mái là tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB=25\text{ m}$, $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }=4\text{ m}$ và $C{C}^{\prime }=D{D}^{\prime }=3\text{ m}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A(10;3;0)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec{u}(2;-2;1)$ với tốc độ $4,5\text{ m/s}$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Một camera giám sát an toàn đặt tại $I(50;-10;50)$. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi cabin xuất phát thì cabin gần camera giám sát an toàn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, véctơ $\vec{u}$ vuông góc với hai véctơ $\vec{a}=(1;1;1)$ và $\vec{b}=(1;-1;3)$; độ dài véctơ $\vec{u}$ bằng $3$. Tìm tọa độ véctơ $\vec{u}$ biết véctơ $\vec{u}$ có hoành độ dương.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(3;-1;4)$, $B(-2;3;3)$. Các điểm $M,N$ thay đổi sao cho $M$ luôn thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ và $\overrightarrow{MN}=(-2;-2;1)$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$ cho điểm $M(a;b;c)$ cách đều bốn điểm $A(0;4;0),B(-1;0;-3),C(3;3;0),D(2;1;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=5a+50b+500c$.

Câu 3. Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $\alpha$ là góc giữa $2$ vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{NP}$. Khi đó $4{\sin }^2\alpha +12$ có giá trị là

Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(m;3;2)$, $B(1;0;-1)$, $C(2;n-2;0)$ và $D(-2;p;3)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=m^2+n^2+p^2$ biết rằng $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 19. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;5;3)$, $B(-1;1;2)$, $C(6;0;4)$. Tọa độ điểm $M(0;b;c)$ thuộc $\text{mp}(Oyz)$ thỏa mãn $T=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}\right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính $c+b$

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho bốn điểm $A(2;3;-1)$, $B(0;4;2)$, $C(1;2;-1)$, $D(7;2;1)$.

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;3)$, $B(1;3;2)$, $C(3;1;2)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(2;3;-1),N(-1;0;1)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $M(1;-2;1)$, $N(2;-1;3)$, $K(0;1;-2)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ sau: Một chất điểm đặt tại vị trí $A$, chịu sự tác động của $3$ lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ lần lượt cùng hướng với các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Tính độ lớn của tổng lực $\vec{F}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2+{\vec{F}}_3$ tác động lên chất điểm, biết rằng độ lớn của $3$ lực ${\vec{F}}_1,{\vec{F}}_2,{\vec{F}}_3$ lần lượt là $10\text{ N},10\text{ N},10\sqrt{3}\text{ N}$ (với đơn vị đo lực là newton được kí hiệu N).