Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Điểm biểu diễn của số phức $z=-4+5i$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ có tọa độ là $(-4;5)$.

Từ $5w=(2+i)(z-4)\Rightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-3+2i)\Rightarrow |z-3+2i|=\frac{5|w+i|}{|2+i|}=3$. Gọi $M$ là điểm biểu diễn của $z$, thì $M$ thuộc đường tròn $(C)$ tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=3$.

[IMAGE_1]

Đặt $A(0;2),B(6;2)$ và $H(3;2)$ là trung điểm của $AB$. Ta có $P=MA+MB\le \sqrt{2(M{A}^2+M{B}^2)}=\sqrt{4M{H}^2+A{B}^2}$. Do $MH\le IH+R=4+3=7$ và $AB=6$, suy ra $P_{\max }=\sqrt{4\cdot 7^2+6^2}=2\sqrt{58}$.

Chọn C.
Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ được tính theo công thức:
$x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}=\frac{a+0+0}{3}=\frac{a}{3}$,
$y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}=\frac{0+b+0}{3}=\frac{b}{3}$,
$z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}=\frac{0+0+c}{3}=\frac{c}{3}$.
Vậy $G\left(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3}\right)$.

Chọn B.
Trục $Oy$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{j}=(0;1;0)$. Mọi véctơ chỉ phương $\vec{u}$ của trục $Oy$ đều cùng phương với $\vec{j}$ (tức $\vec{u}=k\vec{j},k\ne 0$).

Chọn C.
+) Khẳng định i) sai vì với số phức nói chung, bình phương môđun $|w{|}^2$ không bằng bình phương của số phức $w^2$ (chẳng hạn nếu $w=i$, $|i{|}^2=1$ nhưng $i^2=-1$).
+) Khẳng định ii) đúng vì với mọi số phức $w=z_1-z_2$, ta có $|w{|}^2=w\cdot \bar{w}=(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})$.
+) Khẳng định iii) đúng vì đây là công thức đường trung tuyến (đẳng thức hình bình hành biểu diễn số phức):
Gọi $A,B$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1,z_2$ và $M$ là trung điểm của $AB$ (biểu diễn $\frac{z_1+z_2}{2}$).
Ta có $O{A}^2+O{B}^2=2O{M}^2+\frac{A{B}^2}{2}⟺|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=2{\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|}^2+\frac{1}{2}|z_1-z_2{|}^2$.
Vậy có 2 khẳng định đúng (ii và iii).

Ta có $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A;z_B-z_A)=(1-2;1-3;-1-2)=(-1;-2;-3)$. Chọn A.

Ta có $\vec{a}+\vec{b}=(1+3;0+1;-3+2)=(4;1;-1)$. Chọn B.

Ta có $z=(2-3i)-(-5+i)=7-4i$. Vậy phần ảo của số phức $z$ bằng $-4$.

Ta có $(a-2+\sqrt{a^2+b^2})+bi=-4i\iff \{\begin{array}{l}b=-4\\ \sqrt{a^2+16}=2-a\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=-4\\ a=-3\end{array}$. Vậy $S=a+b=-7$.

Khoảng cách từ $A(x_0;y_0;z_0)$ đến trục $Ox$ là $d(A,Ox)=\sqrt{y_0^2+z_0^2}=\sqrt{16+9}=5$. Đến trục $Oy$ là $d(A,Oy)=\sqrt{x_0^2+z_0^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$. Đến trục $Oz$ là $d(A,Oz)=\sqrt{x_0^2+y_0^2}=\sqrt{9+16}=5$. Tổng khoảng cách là $T=5+3\sqrt{2}+5=10+3\sqrt{2}$. Chọn D.

Ta có $\overrightarrow{MN}=(x_N-3;y_N-1;z_N-0)=(-1;-1;0)⟹x_N=2,y_N=0,z_N=0$. Vậy $N(2;0;0)$. Chọn A.

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là $x_G=\frac{2-3+1}{3}=0$, $y_G=\frac{2+5-1}{3}=2$, $z_G=\frac{-2+1-2}{3}=-1$. Vậy $G(0;2;-1)$. Chọn B.

Chọn D.
Ta có $\overrightarrow{MN}=(x_N-x_M;y_N-y_M;z_N-z_M)$.
Vì $\overrightarrow{MN}=\vec{a}$ nên:
$\{\begin{array}{l}{x}_N-2=1\\ y_N-5=3\\ z_N-(-3)=2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}_N=3\\ y_N=8\\ z_N=-1\end{array}\Rightarrow N(3;8;-1).$

Chọn B.
Điểm $N\in (Oxy)$ để $MN$ nhỏ nhất chính là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên mặt phẳng $(Oxy)$.
Do đó $N(1;2;0)$.

Ta có $(1+2i)z=(1-2i)+(6-9i)=7-11i⟹z=\frac{7-11i}{1+2i}=\frac{(7-11i)(1-2i)}{1^2+2^2}=\frac{7-14i-11i-22}{5}=\frac{-15-25i}{5}=-3-5i$. Do đó $a=-3,b=-5⟹ab=(-3)(-5)=15$. Chọn B.

$MN=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(0-2{)}^2+(3-3{)}^2}=\sqrt{2^2+(-2{)}^2+0}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Chọn B.

Từ $\overrightarrow{OA}=-3\vec{i}-17\vec{j}+2\vec{k}$ suy ra tọa độ điểm $A$ là $A(-3;-17;2)$.

Số phức $z=-2+3i$ có phần thực là $-2$ và phần ảo là $3$, do đó điểm biểu diễn của $z$ có tọa độ $(-2;3)$. Nhìn vào hình vẽ, điểm có tọa độ $(-2;3)$ là điểm $Q$. Chọn A.

$\vec{u}=2\vec{i}-3\vec{k}\Rightarrow \vec{u}=(2;0;-3)$.

Ta có: hình chiếu vuông góc của điểm $M(1;-2;3)$ lên mặt phẳng $(Oyz)$ là $A(0;-2;3)$.