Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 12 học sinh là $C_{12}^3=220$. Xác suất biến cố 'không có học sinh nữ nào' (cả 3 đều nam) là $\frac{C_7^3}{C_{12}^3}=\frac{35}{220}=\frac{7}{44}$. Vậy xác suất có ít nhất một học sinh nữ là $1-\frac{7}{44}=\frac{37}{44}\approx 0,84$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số mật khẩu khả dĩ: các số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000 (tức chữ số đầu từ 1 đến 5, chữ số cuối lẻ).

Trường hợp 1: chữ số đầu lẻ (1, 3, 5): có 3 cách chọn; chữ số cuối lẻ khác chữ số đầu: 4 cách; 4 chữ số giữa chọn từ 8 chữ số còn lại và sắp xếp: $A_8^4=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ cách. Số số: $3\cdot 4\cdot 1680=20160$.

Trường hợp 2: chữ số đầu chẵn (2, 4): có 2 cách; chữ số cuối lẻ: 5 cách; 4 chữ số giữa: $A_8^4=1680$ cách. Số số: $2\cdot 5\cdot 1680=16800$.

Tổng số mật khẩu khả dĩ: $20160+16800=36960$.

Vì An bấm ngẫu nhiên một số thỏa mãn điều kiện và chỉ có đúng 1 mật khẩu, xác suất nhập đúng là $P=\frac{1}{36960}\approx 0,000027$.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng là bảng 3×3 gồm 9 ô. Em bé đặt 4 hạt đậu vào 4 ô phân biệt, nên không gian mẫu là $\Omega =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$ cách.

Yêu cầu: mỗi hàng và mỗi cột đều có hạt đậu. Gọi số hạt ở các hàng là bộ $(a_1,a_2,a_3)$ với $a_1+a_2+a_3=4$, $a_i\ge 1$, nên bộ này phải là $(2,1,1)$ (theo thứ tự nào đó). Tương tự số hạt ở các cột cũng phải là $(2,1,1)$.

Đếm số cách đặt thỏa mãn:
- Chọn hàng chứa 2 hạt: 3 cách; chọn 2 ô trong hàng đó: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ cách. Gọi 2 cột đã dùng là $c_1,c_2$, cột còn lại là $c_3$.
- Hai hạt còn lại nằm ở 2 hàng còn lại, mỗi hàng 1 hạt, và để cột có bộ $(2,1,1)$ thì trong 2 hạt đó phải có đúng 1 hạt ở cột $c_3$, hạt kia ở $c_1$ hoặc $c_2$, đồng thời 2 hạt ở 2 cột khác nhau. Các cặp cột khả dụng: $(c_1,c_3),(c_2,c_3),(c_3,c_1),(c_3,c_2)$ — 4 cách phân công cho 2 hàng còn lại.

Vậy số trường hợp thuận lợi là $3\cdot 3\cdot 4=36$.

Xác suất cần tính:
$$P=\frac{36}{126}=\frac{2}{7}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: mỗi bạn viết một số từ 1 đến 17 nên $|\Omega |=17^3=4913$.

Phân loại các số theo số dư khi chia cho 3:
- Số dư 0: $\{3;6;9;12;15\}$ gồm 5 số.
- Số dư 1: $\{1;4;7;10;13;16\}$ gồm 6 số.
- Số dư 2: $\{2;5;8;11;14;17\}$ gồm 6 số.

Tổng của ba số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các số dư chia hết cho 3, tức ba số dư thuộc các trường hợp:
- $(0;0;0)$: $5^3=125$ cách.
- $(1;1;1)$: $6^3=216$ cách.
- $(2;2;2)$: $6^3=216$ cách.
- Ba số dư đôi một khác nhau $(0;1;2)$: có $3!=6$ hoán vị, mỗi cách chọn $5\cdot 6\cdot 6=180$, nên $6\cdot 180=1080$ cách.

Số kết quả thuận lợi: $125+216+216+1080=1637$.

Vậy xác suất cần tìm là $$P=\frac{1637}{4913}\approx 0,3332.$$

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 4 người từ 21 người nên $n(\Omega )=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{21}{4}\right)=5985$.

Bước 1: Đếm số cách chọn 4 người có đủ cả ba lĩnh vực. Vì chọn 4 người từ 3 lĩnh vực nên phân bố số người phải là $(2,1,1)$:
- Toán 2, Lý 1, Hóa 1: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)\cdot 7\cdot 8=15\cdot 56=840$.
- Toán 1, Lý 2, Hóa 1: $6\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\cdot 8=6\cdot 21\cdot 8=1008$.
- Toán 1, Lý 1, Hóa 2: $6\cdot 7\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2}\right)=42\cdot 28=1176$.
Tổng: $840+1008+1176=3024$.

Bước 2: Trừ các trường hợp chỉ toàn nam hoặc toàn nữ (vẫn đủ ba lĩnh vực).
Toàn nam (11 nam: 4 Toán, 3 Lý, 4 Hóa):
- $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 3\cdot 4=72$; $4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\cdot 4=48$; $4\cdot 3\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=72$. Tổng $192$.
Toàn nữ (10 nữ: 2 Toán, 4 Lý, 4 Hóa):
- $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2}\right)\cdot 4\cdot 4=16$; $2\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)\cdot 4=48$; $2\cdot 4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=48$. Tổng $112$.

Bước 3: Số kết quả thuận lợi: $3024-192-112=2720$.

Xác suất: $P=\frac{2720}{5985}=\frac{544}{1197}\approx 0,4545$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: chọn 4 người từ 13 người (5 nam, 8 nữ): $C_{13}^4=715$. Số cách chọn có ít nhất 3 nữ: đúng 3 nữ 1 nam: $C_8^3\cdot C_5^1=56\cdot 5=280$; đúng 4 nữ: $C_8^4=70$. Tổng: $350$. Vậy $P=\frac{350}{715}=\frac{70}{143}$, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 5 bi từ 18 bi là $C_{18}^5=8568$. Cần chọn đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. Hai trường hợp: (1 đỏ, 1 vàng, 3 xanh): $C_6^1{C}_7^1{C}_5^3=6\cdot 7\cdot 10=420$; (2 đỏ, 2 vàng, 1 xanh): $C_6^2{C}_7^2{C}_5^1=15\cdot 21\cdot 5=1575$. Tổng cách thuận lợi $=420+1575=1995$. Xác suất $=\frac{1995}{8568}=\frac{95}{408}$ (chia tử mẫu cho 21). Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 5 bạn từ 15 người: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{5}\right)=3003$. Trong 5 bạn có cả nam và nữ mà nam nhiều hơn nữ, các trường hợp khả dĩ là: 3 nam 2 nữ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=56\cdot 21=1176$; 4 nam 1 nữ: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1}\right)=70\cdot 7=490$. Tổng số trường hợp thuận lợi: $1176+490=1666$. Xác suất $P=\frac{1666}{3003}=\frac{238}{429}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 4 học sinh từ 12: $C_{12}^4=495$. Số cách chọn sao cho cả 3 khối đều có mặt (phân loại $2,1,1$): $C_5^2{C}_4^1{C}_3^1+C_4^2{C}_5^1{C}_3^1+C_3^2{C}_5^1{C}_4^1=120+90+60=270$. Vậy số cách chọn không quá hai khối: $495-270=225$. Xác suất $P=\frac{225}{495}=\frac{5}{11}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là tập người thích bóng bàn (19 người), $C$ là tập người thích cầu lông (20 người). Có 8 người không thích cả hai nên số người thích ít nhất một môn là $|B\cup C|=40-8=32$. Suy ra $|B\cap C|=19+20-32=7$. Vậy chỉ thích bóng bàn: $19-7=12$ người; chỉ thích cầu lông: $20-7=13$ người; thích đúng một môn: $12+13=25$ người.
a) $P(\text{ıˊt nhaˆˊt một moˆn})=32/40=4/5$ → đúng.
b) $P(\text{thıˊch caˆˋu loˆng, khoˆng thıˊch boˊng baˋn})=13/40\ne 27/40$ → sai.
c) $P(\text{thıˊch boˊng baˋn, khoˆng thıˊch caˆˋu loˆng})=12/40=3/10\ne 3/13$ → sai.
d) $P(\text{thıˊch đuˊng một moˆn})=25/40=5/8$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$|B\cup C|=40-8=32$ nên xác suất là $32/40=4/5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|B\cap C|=19+20-32=7$, nên chỉ thích cầu lông là $20-7=13$ người, xác suất $13/40\ne 27/40$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ thích bóng bàn là $19-7=12$ người, xác suất $12/40=3/10\ne 3/13$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thích đúng một môn: $12+13=25$ người, xác suất $25/40=5/8$.

Lời giải (đáp án chính thức):

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.

Gọi $B$ là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

$\Rightarrow \overline{B}$ là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

Bộ ba số dạng $(1;2;a_1)$ với $a_1\in A\setminus \{1;2\}$: có 8 bộ ba số.

Bộ ba số có dạng $(2;3;a_2)$ với $a_2\in A\setminus \{1;2;3\}$: có 7 bộ ba số.

Bộ ba số có dạng $(3;4;a_3)$ với $a_3\in A\setminus \{2;3;4\}$: có 7 bộ ba số.

Tương tự mỗi bộ ba số dạng $(4;5;a_4)$, $(5;6;a_5)$, $(6;7;a_6)$, $(7;8;a_7)$, $(8;9;a_8)$, $(9;10;a_9)$ đều có 7 bộ số.

Nên số phần tử của biến cố $\overline{B}$ là $n\left(\overline{B}\right)=8+8.7$.

Vậy $P(B)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{64}{120}=\frac{7}{15}$.

Lời giải (đáp án chính thức, trang 11):

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega )=C_{10}^3=120$.

Gọi $B$ là biến cố “Ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp”.

$\Rightarrow \overline{B}$ là biến cố “Ba số được chọn có ít nhất hai số là các số tự nhiên liên tiếp”.

Bộ ba số dạng $(1;2;a_1)$ với $a_1\in A\setminus \{1;2\}$: có 8 bộ ba số.

Bộ ba số có dạng $(2;3;a_2)$ với $a_2\in A\setminus \{1;2;3\}$: có 7 bộ ba số.

Bộ ba số có dạng $(3;4;a_3)$ với $a_3\in A\setminus \{2;3;4\}$: có 7 bộ ba số.

Tương tự mỗi bộ ba số dạng $(4;5;a_4)$, $(5;6;a_5)$, $(6;7;a_6)$, $(7;8;a_7)$, $(8;9;a_8)$, $(9;10;a_9)$ đều có 7 bộ số.

Nên số phần tử của biến cố $\overline{B}$ là $n\left(\overline{B}\right)=8+8\cdot 7$.

Vậy $P(B)=1-P\left(\overline{B}\right)=1-\frac{64}{120}=\frac{7}{15}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 2 bạn từ 45 học sinh: $C_{45}^2=990$. Chọn 2 nam: $C_{24}^2=276$; chọn 2 nữ: $C_{21}^2=210$. Xác suất cùng giới tính: $P=\frac{276+210}{990}=\frac{486}{990}=\frac{27}{55}$ (tối giản, vì $\gcd (27,55)=1$). Vậy $p=27,q=55$, nên $q-p^2=55-729=-674$.

a)
$n(\Omega )=C_{10}^2.C_{10}^2,n(A)=C_3^2.C_{10}^2$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_3^2.C_{10}^2}{C_{10}^2.C_{10}^2}=\frac{1}{15}$ .

b) $B$ : ”Bốn bạn được chọn có đủ ba loại giải”
$\overline{B}$ : ”Bốn bạn được chọn có nhiều nhất hai loại giải”
$n\left(\overline{B}\right)=C_{10}^2.C_6^2+C_6^2.C_7^2+C_4^2.C_7^2-C_4^2.C_3^2-C_6^2.C_3^2$
$P\left(\overline{B}\right)=\frac{n\left(\overline{B}\right)}{n(\Omega )}=\frac{13}{25}$
$P(B)=1-P\left(\overline{B}\right)=\frac{12}{25}$

a)
$$n(\Omega )=C_{10}^2\cdot C_{10}^2,n(A)=C_4^2\cdot C_{10}^2$$
$$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{C_4^2\cdot C_{10}^2}{C_{10}^2\cdot C_{10}^2}=\frac{2}{15}.$$

b) $B$ : ”Bốn bạn được chọn có đủ ba loại giải”
$\overline{B}$ : ”Bốn bạn được chọn có nhiều nhất hai loại giải”
$$n(\overline{B})=C_{10}^2\cdot C_6^2+C_6^2\cdot C_7^2+C_4^2\cdot C_7^2-C_4^2\cdot C_3^2-C_6^2\cdot C_3^2$$
$$P(\overline{B})=\frac{n(\overline{B})}{n(\Omega )}=\frac{13}{25}$$
$$P(B)=1-P(\overline{B})=\frac{12}{25}$$

Số phần tử không gian mẫu: $n(X)=C_{18}^3=816$. Chọn 1 đỉnh tam giác cân có 18 cách, chọn 2 đỉnh còn lại có 8 cách nên số tam giác cân sẽ là 18.8=144. Với mỗi một đỉnh có 8 tam giác cân nhưng trong đó có một tam giác đều, do đó số tam giác cân không phải là tam giác đều là: 144-18=126. Xác suất cần tìm là: $P=\frac{126}{816}=\frac{21}{136}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh là 13, chọn 3 học sinh từ 13 người.
a) Số cách chọn: $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$ cách.
b) Biến cố $A$: chọn 3 học sinh đều là nam. Số cách: $C_5^3=10$. Vậy $P(A)=\frac{C_5^3}{C_{13}^3}=\frac{10}{286}=\frac{5}{143}$.
c) Biến cố $B$: 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ, tức có 1 nam 2 nữ hoặc 2 nam 1 nữ. Số cách: $C_5^1{C}_8^2+C_5^2{C}_8^1=5\cdot 28+10\cdot 8=140+80=220$. Vậy $P(B)=\frac{220}{286}=\frac{110}{143}$.
Kiểm tra: $P(A)+P(\overline{B})=\frac{5}{143}+\frac{C_8^3}{C_{13}^3}=\frac{5}{143}+\frac{56}{286}=\frac{10+56}{286}=\frac{66}{286}=\frac{33}{143}$, và $P(B)=1-\frac{33}{143}=\frac{110}{143}$ — khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh là $6+7=13$.

a) Số cách chọn 3 học sinh từ 13 học sinh là:
$$n(\Omega )=C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286\text{ caˊch}.$$

b) Biến cố $A$: 3 học sinh được chọn đều là nam. Số kết quả thuận lợi:
$$n(A)=C_6^3=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6}=20.$$
Vậy xác suất:
$$P(A)=\frac{C_6^3}{C_{13}^3}=\frac{20}{286}=\frac{10}{143}.$$

c) Biến cố $B$: 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ, tức có 1 nam 2 nữ hoặc 2 nam 1 nữ. Số kết quả thuận lợi:
$$n(B)=C_6^1{C}_7^2+C_6^2{C}_7^1=6\cdot 21+15\cdot 7=126+105=231.$$
Vậy xác suất:
$$P(B)=\frac{231}{286}=\frac{33}{41}.$$

Kiểm tra: biến cố đối của $B$ là chọn cả 3 nam hoặc cả 3 nữ: $C_6^3+C_7^3=20+35=55$, và $286-55=231$ đúng. Do đó $P(B)=1-\frac{55}{286}=\frac{231}{286}=\frac{33}{41}\approx 0,805$.

Gọi $A$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3"
$\overline{A}$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3"
Trường hợp 1: Cả 3 số đều chia hết cho 3. Khi đó xác suất là: $\frac{6^3}{20^3}$.
Trường hợp 2: Cả 3 số đều chia 3 dư 1. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$.
Trường hợp 3: Cả 3 số đều chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$. (0,25)
Trường hợp 4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}$.
Khi đó, xác suất để tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3 là:
$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{6^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}=\frac{1333}{4000}.$$
Vậy xác suất để tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3 là:
$$P\left(A\right)=1-\frac{1333}{4000}=\frac{2667}{4000}.$$ (0,25)

Gọi $A$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3"
$\overline{A}$ là biến cố: "Tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3"
Trường hợp 1: Cả 3 số đều chia hết cho 3. Khi đó xác suất là: $\frac{6^3}{20^3}$.
Trường hợp 2: Cả 3 số đều chia 3 dư 1. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$.
Trường hợp 3: Cả 3 số đều chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{7^3}{20^3}$. (0,25)
Trường hợp 4: Trong 3 số có một số chia hết cho 3, một số chia 3 dư 1 và một số chia 3 dư 2. Khi đó xác suất là: $\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}$.
Khi đó, xác suất để tổng 3 số viết lên bảng chia hết cho 3 là:
$$P\left(\overline{A}\right)=\frac{6^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{7^3}{20^3}+\frac{\mathrm{6.7.7.3}!}{20^3}=\frac{1333}{4000}.$$
Vậy xác suất để tổng 3 số viết lên bảng không chia hết cho 3 là:
$$P\left(A\right)=1-\frac{1333}{4000}=\frac{2667}{4000}.$$ (0,25)