Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{2500}+\frac{y^2}{900}=1$ có $a^2=2500\Rightarrow a=50$, $b^2=900\Rightarrow b=30$ (vì $a^2>b^2$ nên elip có trục lớn trên trục $Ox$). Ta có $c^2=a^2-b^2=2500-900=1600\Rightarrow c=40$.
- Các đỉnh trên trục lớn: $A_1(-50;0)$, $A_2(50;0)$.
- Các đỉnh trên trục nhỏ: $B_1(0;-30)$, $B_2(0;30)$.
- Tiêu cự: $F_1(-40;0)$, $F_2(40;0)$; tiêu cự (độ dài) $2c=80$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi độ dài trục lớn là $2a$, trục nhỏ là $2b$ với $a>b>0$. Theo đề: $2a=2\cdot 2b\Rightarrow a=2b$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{3}\Rightarrow c=2\sqrt{3}$, nên $c^2=12$. Ta có $c^2=a^2-b^2=4b^2-b^2=3b^2=12\Rightarrow b^2=4\Rightarrow b=2$, suy ra $a=4$, $a^2=16$. Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ (trường hợp trục lớn trên trục $Ox$; nếu trục lớn trên trục $Oy$ thì $\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{4}=1$). Thường đáp án chuẩn là $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có tiêu điểm $F_2(2;0)$ nên tâm tại gốc $O$, trục lớn nằm trên trục hoành, $c=2$. Elip cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $-3$, tức đỉnh $(-a;0)$, suy ra $a=3$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=9-4=5$. Vậy phương trình chính tắc của $(E)$ là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại tâm cổng vòm (trung điểm của đáy rộng 12 m), trục $Ox$ nằm ngang theo đáy, trục $Oy$ hướng lên. Cổng vòm là nửa trên của elip $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Vì chiều rộng cổng là 12 m nên $2a=12\Rightarrow a=6$. Đỉnh cao nhất là 4 m nên $b=4$. Phương trình elip: $$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1,y\ge 0.$$ Tại điểm cách tâm 3 m theo phương ngang, $x=3$: $$\frac{9}{36}+\frac{y^2}{16}=1\Rightarrow \frac{y^2}{16}=\frac{3}{4}\Rightarrow y^2=12\Rightarrow y=2\sqrt{3}.$$ Vậy chiều cao của vòm tại điểm đó là $2\sqrt{3}\approx 3,46$ m.

a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Sai. (Theo bảng đáp án D/S chính thức, mã đề 102; xem ghi chú về ý a) trong danh sách vấn đề.)

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$ có $a^2=9,b^2=1$ với $a>b$, nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=9-1=8\Rightarrow c=\sqrt{8}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{8};0)$ và $F_2(\sqrt{8};0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip có $a^2=36,b^2=25$ với $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=36-25=11$, suy ra $c=\sqrt{11}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{11};0)$ và $F_2(\sqrt{11};0)$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x²/16 + y²/9 = 1 có a²=16, b²=9 nên c² = a² − b² = 7, c = √7.
a) Thay A(4;0): 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E). Đúng.
b) Tiêu cự = 2c = 2√7 ≠ √7. Sai.
c) Với M ∈ (E): MF₁ + MF₂ = 2a = 8. Kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11, trừ đi ta được MF₂ = 3, suy ra MF₁ = 5. Khi đó 2MF₁ + MF₂ = 10 + 3 = 13. Đúng.
d) Tiêu điểm của (E) là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0), không phải (±2√7; 0). Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án D/S chính thức (mã đề 101): 2a D, 2b S, 2c D, 2d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c² = 16 − 9 = 7 nên c = √7, tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
MF₁ + MF₂ = 2a = 8; kết hợp MF₁ + 2MF₂ = 11 suy ra MF₂ = 3, MF₁ = 5, nên 2MF₁ + MF₂ = 13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu điểm là F₁(−√7; 0), F₂(√7; 0) chứ không phải (±2√7; 0).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại tâm đường hầm trên mặt đường. Elip có $a=5$ (bán trục lớn, vì chiều rộng 10 m) và $b=3$ (bán trục nhỏ, vì độ cao đỉnh vòm 3 m). Phương trình nửa elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ với $y\ge 0$. Tại $x=4$: $\frac{16}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\cdot \frac{9}{25}=\frac{81}{25}\Rightarrow y=\frac{9}{5}=1,8$. Vậy $h=1,8$ m, khớp với đáp án nguồn 1,8.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol nhận tiêu điểm $F(5;0)$ trên trục $Ox$ nên có phương trình dạng $y^2=4px$ với tiêu điểm $\left(\frac{p}{2};0\right)$. Suy ra $\frac{p}{2}=5\Rightarrow p=10$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=4\cdot 10\cdot x=20x$. Khớp với đáp án D (mã đề 102, câu 8 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc tại tâm đường hầm trên mặt đường. Nửa elip có chiều rộng 10 m nên $a=5$, chiều cao đỉnh vòm 3 m nên $b=3$. Phương trình elip: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tại vị trí cách tâm $3m$ theo phương ngang ($x=3$): $\frac{9}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow y^2=9\cdot \frac{16}{25}=\frac{144}{25}\Rightarrow y=\frac{12}{5}=2,4$. Vậy $h=2,4m$, khớp đáp án nguồn (mã đề 103, câu 4 Phần III: 2,4).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=2px$ có tiêu điểm $F\left(\frac{p}{2};0\right)$. Vì $F(3;0)$ nên $\frac{p}{2}=3\Rightarrow p=6$, do đó $2p=12$. Vậy phương trình chính tắc của $(P)$ là $y^2=12x$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có trục thực $2a=6$ nên $a=3$, $a^2=9$; tiêu cự $2c=8$ nên $c=4$, $c^2=16$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=16-9=7$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Các phương án A là elip, B có $a^2=2$, C có $a^2=16$ đều sai. Đáp án D, khớp với các phương án hiển thị ở đầu trang 2.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có trục lớn nằm ngang: chiều rộng 12m nên $2a=12\Rightarrow a=6$; chiều cao 5m nên $b=5$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{36-25}=2\sqrt{11}\approx 6,63$ m.

$M{F}_1+M{F}_2=2a=2\cdot 9=18$. Đáp án: 18

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=25,b^2=16$ với $a^2>b^2$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=25-16=9\Rightarrow c=3$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-3;0),F_2(3;0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{34}-\frac{y^2}{15}=1$ có $a^2=34$, $b^2=15$. Do đó $c^2=a^2+b^2=34+15=49\Rightarrow c=7$. Tiêu cự của hypebol là $2c=2\cdot 7=14$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 = 14).

Hyperbol luôn có 2 tiêu điểm có toạ độ là: $F_1=(-c;0)$, $F_2=(c;0)$. Ta có $$a^2+b^2=c^2\Rightarrow c=\pm \sqrt{a^2+b^2}=\pm \sqrt{9+4}=\pm \sqrt{13}$$ $$\Rightarrow F_1=\left(-\sqrt{13};0\right),F_2=\left(\sqrt{13};0\right)$$ Chọn đáp án (A)

(AI giải đề cho tôi)
Hyperbol có tiêu cự $2c=10$ nên $c=5$; độ dài trục thực $2a=6$ nên $a=3$. Khi đó $b^2=c^2-a^2=25-9=16$, suy ra $b=4$. Phương trình chính tắc của Hyperbol (trục thực là trục $Ox$) là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ có $a^2=9>b^2=6$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$ với $c^2=a^2-b^2=9-6=3$, tức $c=\sqrt{3}$. Vậy các tiêu điểm là $(\pm \sqrt{3};0)$, do đó một tiêu điểm là $(-\sqrt{3};0)$, chọn đáp án D.