Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là biến cố 'vận động viên được chọn thuộc đội I', $B$ là biến cố 'vận động viên đạt huy chương bạc'. Chọn ngẫu nhiên nên $P(I)=\frac{4}{10}=0,4$, $P(\overline{I})=0,6$. Xác suất đạt huy chương bạc: $P(B|I)=0,7$, $P(B|\overline{I})=0,6$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,4\cdot 0,7+0,6\cdot 0,6=0,28+0,36=0,64$. Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(I|B)=\frac{P(I)P(B|I)}{P(B)}=\frac{0,28}{0,64}=\frac{7}{16}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi R là biến cố 'cuộc gọi là rác', C là 'cuộc gọi đúng', K là 'cuộc gọi không bị chặn'. Ta có P(R)=0,1; P(C)=0,9; P(K|R)=1-0,8=0,2; P(K|C)=1-0,01=0,99. Theo công thức xác suất toàn phần: P(K)=P(R)P(K|R)+P(C)P(K|C)=0,1·0,2+0,9·0,99=0,02+0,891=0,911. Xác suất cần tìm: P(C|K)=P(C∩K)/P(K)=0,891/0,911=891/911. Giá trị này trùng với đáp án A (và B, vì hai phương án này giống hệt nhau trong đề in).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: bò mắc bệnh bò điên, $P(A)=\frac{13}{1000000}$; $B$: phản ứng dương tính. Theo đề: $P(B|A)=0,7$, $P(B|\bar{A})=0,1$. Theo công thức Bayes: $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})}=\frac{\frac{13}{10^6}\cdot 0,7}{\frac{13}{10^6}\cdot 0,7+\frac{999987}{10^6}\cdot 0,1}=\frac{9,1}{9,1+99998,7}=\frac{91}{91+999987}=\frac{91}{1000078}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc, $G$: học sinh biết chơi đàn guitar. Ta có $P(A)=0,2$, $P(G|A)=0,85$, $P(G|\bar{A})=0,10$. Xác suất biết chơi guitar: $P(G)=P(A)P(G|A)+P(\bar{A})P(G|\bar{A})=0,2\cdot 0,85+0,8\cdot 0,10=0,17+0,08=0,25$. Xác suất cần tìm: $P(A|G)=\frac{P(A)P(G|A)}{P(G)}=\frac{0,17}{0,25}=\frac{17}{25}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T là biến cố sinh viên trượt môn Toán, L là biến cố trượt môn Tâm lý. Ta có P(T)=0,3; P(L)=0,22; P(L|T)=0,4. Suy ra P(T∩L)=P(T)·P(L|T)=0,3·0,4=0,12.
a) Xác suất trượt cả hai môn là P(T∩L)=0,12 ≠ 0,066 → Sai.
b) P(đậu cả hai) = 1 − P(T∪L) = 1 − (0,3+0,22−0,12) = 1 − 0,4 = 0,6 → Đúng.
c) P(đậu Toán | trượt Tâm lý) = P(T̄∩L)/P(L) = (0,22−0,12)/0,22 = 0,10/0,22 ≈ 0,4545 ≠ 0,18 → Sai.
d) P(đậu Tâm lý) = 1 − P(L) = 0,78 ≠ 0,726 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(T∩L)=0,3·0,4=0,12, không phải 0,066.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu cả hai)=1−P(T∪L)=1−(0,3+0,22−0,12)=0,6.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu Toán|trượt Tâm lý)=(0,22−0,12)/0,22≈0,4545, không phải 0,18.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(đậu Tâm lý)=1−0,22=0,78, không phải 0,726.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng học sinh tham gia câu lạc bộ: $255+45=300$, nên $P(A)=\frac{300}{1500}=0,2$ → a đúng. Trong câu lạc bộ, số biết chơi guitar là 255 nên $P(B|A)=\frac{255}{300}=0,85\ne 0,82$ → b sai. Tổng số biết chơi guitar: $255+120=375$, nên $P(B)=\frac{375}{1500}=0,25\ne 0,26$ → c sai. $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{255/1500}{375/1500}=\frac{255}{375}=0,68$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh tham gia câu lạc bộ là $255+45=300$, nên $P(A)=\frac{300}{1500}=0,2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(B|A)=\frac{255}{300}=0,85\ne 0,82$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh biết chơi guitar là $255+120=375$, nên $P(B)=\frac{375}{1500}=0,25\ne 0,26$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A|B)=\frac{255}{375}=0,68$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'có ít nhất 1 con xúc xắc xuất hiện mặt 3 chấm'. Số kết quả thuận lợi cho B: 6 + 6 - 1 = 11 (các cặp (3,j) và (i,3), trùng (3,3) một lần). Gọi A là biến cố 'tổng số chấm không lớn hơn 6'. Các kết quả thuộc A ∩ B (có mặt 3 và tổng ≤ 6): mặt còn lại phải là 1, 2 hoặc 3, cho các cặp (3,1),(3,2),(3,3),(1,3),(2,3) — tổng cộng 5 kết quả. Vậy P(A|B) = 5/11 ≈ 0,4545... ≈ 0,45.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'chọn được bạn biết chơi đàn organ', B là biến cố 'chọn được bạn biết chơi đàn guitar'. Số bạn biết chơi cả hai loại đàn là $n(A\cap B)=27+25-40=12$ (vì mỗi bạn biết ít nhất một loại đàn nên $n(A\cup B)=40$). Cần tính $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{12}{25}=0,48$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số thỏ trắng: 9 + 13 = 22. Số thỏ trắng thuộc chuồng II là 13. Xác suất cần tính: P(chuồng II | trắng) = 13/22 ≈ 0,5909... ≈ 0,59 (làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $I$ là biến cố Bình làm việc ở xưởng I, $M$ là biến cố Bình phụ trách máy loại 2. Vì gieo xúc xắc, xuất hiện mặt 3 chấm thì đi xưởng I nên $P(I)=\frac{1}{6}$, $P(\overline{I})=\frac{5}{6}$. Từ bảng: xưởng I có $23+27=50$ máy, trong đó 27 máy loại 2; xưởng II có $19+31=50$ máy, trong đó 31 máy loại 2. Vậy $P(M|I)=\frac{27}{50}$, $P(M|\overline{I})=\frac{31}{50}$. Theo công thức Bayes:
$$P(I|M)=\frac{P(I)P(M|I)}{P(I)P(M|I)+P(\overline{I})P(M|\overline{I})}=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{50}}{\frac{1}{6}\cdot \frac{27}{50}+\frac{5}{6}\cdot \frac{31}{50}}=\frac{27}{27+155}=\frac{27}{182}\approx 0,1483.$$
Làm tròn đến hàng phần trăm: $0,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$: sản phẩm do nhà máy $I$ sản xuất, $H_2$: sản phẩm do nhà máy $II$ sản xuất, $A$: sản phẩm là phế phẩm. Ta có $P(H_1)=\frac{450}{1000}=0,45$, $P(H_2)=\frac{550}{1000}=0,55$; $P(A|H_1)=0,06$, $P(A|H_2)=0,07$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=0,45\cdot 0,06+0,55\cdot 0,07=0,027+0,0385=0,0655$. Theo công thức Bayes: $P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{0,027}{0,0655}\approx 0,4122\approx 0,41$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người được chọn bị viêm phổi', B là biến cố 'người được chọn không nghiện thuốc lá'. Cần tính P(A|B).

Số người không nghiện thuốc lá: 572 + 2440 = 3012 người.

Trong nhóm này, số người bị viêm phổi là 572 người.

Vậy P(A|B) = 572/3012 ≈ 0,1899... ≈ 0,19.

Vậy xác suất để người đó bị viêm phổi biết rằng người đó không nghiện thuốc lá là khoảng 0,19.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là biến cố "lần thứ nhất lấy được bóng loại II", $B$ là biến cố "lần thứ hai lấy được bóng loại II". Cần tính $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.

$P(A)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$ (2 quả loại II trong 20 quả).

$P(A\cap B)=\frac{2}{20}\cdot \frac{1}{19}=\frac{1}{190}$ (sau khi lấy 1 quả loại II, còn 1 quả loại II trong 19 quả).

Vậy $P(B|A)=\frac{1/190}{1/10}=\frac{10}{190}=\frac{1}{19}$.

Cách khác: biết lần thứ nhất lấy được loại II thì hộp còn 19 quả trong đó 1 quả loại II, nên $P(B|A)=\frac{1}{19}\approx 0,0526$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố 'người đó mắc bệnh', $D$ là biến cố 'xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(B)=0,005$; $P(D|B)=0,98$; $P(\overline{D}|\overline{B})=0,95$ nên $P(D|\overline{B})=0,05$.

Theo công thức xác suất toàn phần:
$$P(D)=P(B)P(D|B)+P(\overline{B})P(D|\overline{B})=0,005\cdot 0,98+0,995\cdot 0,05=0,0049+0,04975=0,05465.$$

Theo công thức Bayes, xác suất người đó mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính là:
$$P(B|D)=\frac{P(B)P(D|B)}{P(D)}=\frac{0,0049}{0,05465}\approx 0,0897.$$

Vậy xác suất người đó mắc bệnh là khoảng $8,97\%$. Kết quả này cho thấy dù xét nghiệm khá chính xác, do bệnh hiếm gặp nên xác suất mắc bệnh khi dương tính vẫn thấp (hiện tượng cơ sở Bayes).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Q$ là biến cố 'khách hàng đã xem quảng cáo Vinamilk', $M$ là biến cố 'khách hàng có mua sản phẩm Vinamilk'. Theo đề: $P(Q)=0,4$; $P(M)=0,25$; $P(Q\mid M)=0,6$ (trong số người mua sản phẩm thì số người xem quảng cáo chiếm 60%).

Từ công thức nhân xác suất:
$$P(Q\cap M)=P(M)\cdot P(Q\mid M)=0,25\cdot 0,6=0,15.$$

Xác suất cần tìm là xác suất có điều kiện của $M$ khi biết $Q$:
$$P(M\mid Q)=\frac{P(Q\cap M)}{P(Q)}=\frac{0,15}{0,4}=0,375=\frac{3}{8}=37,5\%.$$

Vậy xác suất khách hàng đó mua sản phẩm Vinamilk khi đã xem quảng cáo là $0,375$ (tức $37,5\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H_1$ là biến cố 'Sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất', $H_2$ là biến cố 'Sản phẩm do máy thứ hai sản xuất', và $A$ là biến cố 'Sản phẩm đạt tiêu chuẩn'. Theo đề bài: $P(H_1)=0,7$, $P(H_2)=0,3$, $P(A|H_1)=0,95$, $P(A|H_2)=0,8$.

Bước 1: Tính xác suất toàn phần để sản phẩm đạt tiêu chuẩn:
$$P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=0,7\cdot 0,95+0,3\cdot 0,8=0,665+0,24=0,905.$$

Bước 2: Áp dụng công thức Bayes, xác suất để sản phẩm đạt tiêu chuẩn được sản xuất bởi máy thứ nhất:
$$P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac{0,665}{0,905}=\frac{133}{181}\approx 0,7348.$$

Vậy xác suất cần tìm là $P(H_1|A)=\frac{133}{181}\approx 0,735$ (khoảng $73,5\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'người đó mắc bệnh', A là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(B)=0,01$, $P(A|B)=0,98$, $P(A|\overline{B})=0,02$.

Công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,01\cdot 0,98+0,99\cdot 0,02=0,0098+0,0198=0,0296.$$

Công thức Bayes:
$$P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}=\frac{0,0098}{0,0296}=\frac{98}{296}=\frac{49}{148}\approx 0,3311.$$

Vậy xác suất để người đó thực sự bị bệnh khi kết quả xét nghiệm dương tính là $\frac{49}{148}\approx 33,11\%$. Kết quả này cho thấy dù xét nghiệm khá chính xác, do tỷ lệ mắc bệnh thấp nên xác suất mắc bệnh thật khi dương tính chỉ khoảng một phần ba (do nhiều trường hợp dương tính giả).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố '2 thẻ lấy lần một cùng màu', B là biến cố '2 thẻ lấy lần hai đều đỏ'. Lần một chỉ có thể: XD với xác suất $\frac{C_5^1}{C_6^2}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$, khi đó hộp hai có 3 xanh, 6 đỏ, $P(B|XD)=\frac{C_6^2}{C_{11}^2}=\frac{15}{55}=\frac{3}{11}$; hoặc DD với xác suất $\frac{C_5^2}{C_6^2}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$, khi đó hộp hai có 4 xanh, 7 đỏ, $P(B|DD)=\frac{C_7^2}{C_{11}^2}=\frac{21}{55}$. Suy ra $P(B)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{11}+\frac{2}{3}\cdot \frac{21}{55}=\frac{5}{55}+\frac{14}{55}=\frac{19}{55}$ và $P(A\cap B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{21}{55}=\frac{14}{55}$. Xác suất cần tìm $P(A|B)=\frac{14/55}{19/55}=\frac{14}{19}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số bạn giỏi cả Toán và Lý: $36+24-48=12$. Xác suất chọn được bạn giỏi Toán biết bạn đó giỏi Lý: $P(\text{Toaˊn}\mid \text{Lyˊ})=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T: trẻ em (0,7), A: người lớn (0,3). Với trẻ em: xem tiếp phần 2 = 0,5; yêu thích không xem tiếp = 0,3; không thích = 0,2. Với người lớn: 0,2; 0,1; 0,7.
a) P(yêu thích | trẻ em) = 0,5 + 0,3 = 0,8 ≠ 0,56 → sai.
b) P(không xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,8 = 0,35 + 0,24 = 0,59 → đúng.
c) P(xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,2 = 0,41; P(trẻ em và xem tiếp) = 0,35. Vậy P(trẻ em | xem tiếp) = 0,35/0,41 ≈ 0,8537 > 0,85 → đúng.
d) P(yêu thích) = 0,7·0,8 + 0,3·0,3 = 0,65; P(yêu thích và không xem tiếp) = 0,7·0,3 + 0,3·0,1 = 0,24. Vậy P(không xem tiếp | yêu thích) = 0,24/0,65 ≈ 0,3692 ≈ 0,37 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
P(yêu thích | trẻ em) = 0,5 + 0,3 = 0,8 ≠ 0,56.
b) (AI giải đề cho tôi)
P(không xem tiếp) = 0,7·0,5 + 0,3·0,8 = 0,59.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(trẻ em | xem tiếp) = 0,35/0,41 ≈ 0,8537 > 0,85.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(không xem tiếp | yêu thích) = 0,24/0,65 ≈ 0,37.