Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\bar{H}$ là biến cố 'phòng điều hòa không bị hỏng'. Theo công thức Bayes:
$$P(\bar{H})=0,2\cdot 0,95+0,5\cdot 0,96+0,3\cdot 0,92=0,19+0,48+0,276=0,946.$$
Xác suất cần tính:
$$P(C|\bar{H})=\frac{P(C\cap \bar{H})}{P(\bar{H})}=\frac{0,3\cdot 0,92}{0,946}=\frac{0,276}{0,946}\approx 0,2918\approx 0,29.$$

(AI giải đề cho tôi)
Cơ sở chung: với số nguyên $n$, $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ lẻ và $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ nếu $n$ chẵn. Do đó tổng bình phương của 5 phiếu bốc từ hộp II chia hết cho 4 khi và chỉ khi số phiếu lẻ trong 5 phiếu đó là 0 hoặc 4.

a) Nếu cả 5 phiếu đều chẵn thì số phiếu lẻ bằng 0, tổng bình phương chia hết cho 4 → trúng thưởng. Đúng.

b) Xác suất bốc 2 phiếu lẻ từ hộp I (5 lẻ trong 10 phiếu): $\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$. Khi đó hộp II có 17 phiếu (10 lẻ, 7 chẵn); $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$. Vậy $P=\frac{2}{9}\cdot \frac{1491}{6188}\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.

c) Gọi $k$ là số phiếu lẻ chuyển sang hộp II, $k\in \{0,1,2\}$ với xác suất $\frac{10}{45},\frac{25}{45},\frac{10}{45}$. Hộp II khi đó có $8+k$ lẻ và $9-k$ chẵn:
- $k=0$: $P=\frac{C_9^5+C_8^4{C}_9^1}{C_{17}^5}=\frac{126+630}{6188}=\frac{756}{6188}$.
- $k=1$: $P=\frac{C_8^5+C_9^4{C}_8^1}{C_{17}^5}=\frac{56+1008}{6188}=\frac{1064}{6188}$.
- $k=2$: $P=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{21+1470}{6188}=\frac{1491}{6188}$.

$P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng.

d) Tổng hai phiếu ở hộp I chẵn ⟺ hai phiếu cùng tính chẵn lẻ ($k=0$ hoặc $k=2$). $P(\text{tổng cha˘˜n}\wedge \text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{22470}{278460}\approx 0,0807$. Xác suất có điều kiện $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6: Đ S Đ Đ); ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán độc lập ≈ 0,46.
a) 5 phiếu chẵn → 0 phiếu lẻ → tổng bình phương dư 0 mod 4 → trúng thưởng. Đúng.
b) $P(2\text{ lẻ})=\frac{C_5^2}{C_{10}^2}=\frac{2}{9}$; $P(\text{truˊng}\mid 2\text{ lẻ})=\frac{C_7^5+C_{10}^4{C}_7^1}{C_{17}^5}=\frac{1491}{6188}\approx 0,2409$; tích $\approx 0,0535\approx 0,05\ne 0,08$. Sai.
c) $P(\text{truˊng})=\frac{10\cdot 756+25\cdot 1064+10\cdot 1491}{45\cdot 6188}=\frac{49070}{278460}\approx 0,1762\approx 0,18$. Đúng, khớp đáp án nguồn Đ S Đ Đ.
d) Tính toán độc lập: $P(\text{tổng cha˘˜n}\mid \text{truˊng})=\frac{22470}{49070}\approx 0,4579\approx 0,46$. Đáp án nguồn (MĐ 121, Phần II, Câu 6) ghi ý d là Đúng nên ý d được đánh dấu Đúng theo đáp án nguồn; ghi nhận sai lệch giữa giá trị 0,43 trong đề và kết quả tính toán ≈ 0,46.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố máy bay được chọn là F-16B, M là biến cố máy bay đã nâng cấp MLU. Tổng số máy bay đã nâng cấp MLU: 3 + 5 = 8 chiếc, trong đó 5 chiếc là F-16B. Xác suất cần tính: P(A|M) = 5/8 = 0,625 ≈ 0,63. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,63.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D+ là kết quả Dương tính, D− là kết quả Âm tính, K là sự kiện thực sự không nhiễm bệnh. Ta có $P(D^{+})=0,12$, $P(D^{-})=0,88$. Trong số người Dương tính có $5\%$ không nhiễm: $P(K\cap D^{+})=0,12\times 0,05=0,006$. Trong số người Âm tính có $2\%$ nhiễm bệnh: $P(\overline{K}\cap D^{-})=0,88\times 0,02=0,0176$, suy ra $P(K\cap D^{-})=0,88-0,0176=0,8624$.
a) $P(D^{-})=0,88\ne 0,98$ → Sai.
b) $P(K|D^{-})=\frac{0,8624}{0,88}=0,98$ → Đúng.
c) $P(K)=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.
d) $P(D^{-}|K)=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a)S - b)D - c)D - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-})=1-0,12=0,88\ne 0,98$, nên khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(K\cap D^{-})=0,88-0,88\times 0,02=0,8624$, nên $P(K|D^{-})=0,8624/0,88=0,98$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(K)=P(K\cap D^{+})+P(K\cap D^{-})=0,12\times 0,05+0,8624=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-}|K)=0,8624/0,8684\approx 0,9931>0,99$, nên khẳng định Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D+ là kết quả Dương tính, D− là Âm tính, B là nhiễm bệnh, N là không nhiễm. Ta có $P(D^{+})=0,12\Rightarrow P(D^{-})=0,88$; $P(N|D^{+})=0,05$; $P(B|D^{-})=0,02\Rightarrow P(N|D^{-})=0,98$.

a) $P(D^{-})=1-0,12=0,88\ne 0,98$ → Sai.

b) $P(N|D^{-})=1-0,02=0,98$ → Đúng.

c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(N)=P(D^{+})P(N|D^{+})+P(D^{-})P(N|D^{-})=0,12\cdot 0,05+0,88\cdot 0,98=0,006+0,8624=0,8684$ → Đúng.

d) $P(D^{-}|N)=\frac{P(D^{-})P(N|D^{-})}{P(N)}=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$ → Sai.

Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)D - c)D - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-})=1-P(D^{+})=1-0,12=0,88\ne 0,98$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong số người Âm tính có 2% nhiễm bệnh nên $P(N|D^{-})=1-0,02=0,98$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(N)=0,12\cdot 0,05+0,88\cdot 0,98=0,8684$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(D^{-}|N)=\frac{0,88\cdot 0,98}{0,8684}=\frac{0,8624}{0,8684}\approx 0,9931>0,99$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=0,25\cdot 0,5=0,125$. Suy ra $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0,4-0,125=0,275$. Vì $P(\overline{B})=1-0,5=0,5$ nên $P(A|\overline{B})=\frac{0,275}{0,5}=0,55$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi sự kiện: nam quốc tế có xác suất $0,2\cdot 0,15=0,03$... Thực ra chọn 1 nam và 1 nữ độc lập: nam bản địa $0,85$, nam quốc tế $0,15$; nữ bản địa $0,9$, nữ quốc tế $0,1$. Xác suất có đúng một người quốc tế: $P=0,15\cdot 0,9+0,85\cdot 0,1=0,135+0,085=0,22$. Trường hợp sinh viên quốc tế là nữ (nữ quốc tế, nam bản địa): $0,85\cdot 0,1=0,085$. Xác suất cần tìm: $P=\frac{0,085}{0,22}=\frac{17}{44}\approx 0,3864\approx 0,39$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 có 7 viên bi (6 xanh, 1 đỏ), chọn 3 viên: a) Số cách là $C_7^3=35$, không phải $C_{11}^3$ → Sai. b) 3 viên cùng màu chỉ có thể là 3 xanh: $P=\frac{C_6^3}{C_7^3}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}\ne \frac{3}{7}$ → Sai. c) Gọi $k$ là số bi đỏ chuyển sang. $P(k=1)=\frac{C_6^2{C}_1^1}{C_7^3}=\frac{3}{7}$, $P(k=0)=\frac{4}{7}$. Hộp 2 có $4+k$ đỏ và $3-k$ xanh (tổng 7). Xác suất 2 viên cùng màu: nếu $k=1$: $\frac{C_5^2+C_2^2}{C_7^2}=\frac{11}{21}$; nếu $k=0$: $\frac{C_4^2+C_3^2}{C_7^2}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}$. Vậy $P=\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{33+36}{147}=\frac{69}{147}=\frac{23}{49}$ → Đúng. d) Xác suất có điều kiện: $P=\frac{\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}}{\frac{23}{49}}=\frac{33}{147}\cdot \frac{49}{23}=\frac{11}{23}\ne \frac{12}{23}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hộp thứ nhất có 7 viên bi nên số cách chọn 3 viên là $C_7^3=35$, không phải $C_{11}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hộp 1 chỉ có 1 viên đỏ nên 3 viên cùng màu chỉ có thể là 3 xanh: $P=\frac{C_6^3}{C_7^3}=\frac{4}{7}\ne \frac{3}{7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $P(k=1)=\frac{3}{7}$, $P(k=0)=\frac{4}{7}$; xác suất 2 viên từ hộp 2 cùng màu lần lượt $\frac{11}{21}$ và $\frac{3}{7}$. Tổng: $\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{23}{49}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{\frac{3}{7}\cdot \frac{11}{21}}{\frac{23}{49}}=\frac{11}{23}\ne \frac{12}{23}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi D là biến cố học sinh chọn khối D, Đ là biến cố học sinh đỗ đại học. Ta có $P(D)=0,6$, $P(\bar{D})=0,4$, $P(\bar{D}|\stackrel{ˉ}{})$... Cụ thể: $P(Đ|D)=0,7$, $P(Đ|\bar{D})=0,8$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(Đ)=0,6\cdot 0,7+0,4\cdot 0,8=0,42+0,32=0,74$. Theo công thức Bayes: $P(D|Đ)=\frac{P(D)P(Đ|D)}{P(Đ)}=\frac{0,42}{0,74}=\frac{42}{74}=\frac{21}{37}$. Vậy $m=21$, $n=37$, $m+n=58$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,2}{0,5}=0,4$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'bệnh nhân uống thuốc M', B là biến cố 'bệnh nhân khỏi bệnh'. Cần tính P(A|B). Số bệnh nhân khỏi bệnh: 1600 + 1200 = 2800. Số bệnh nhân vừa uống thuốc M vừa khỏi bệnh: 1600. Vậy $P(A|B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{1600}{2800}=\frac{4}{7}\approx 0,5714$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A)=0,4$, $P(\overline{A})=0,6$; tỉ lệ lỗi: $P(B|A)=0,03$, $P(B|\overline{A})=0,04$.
a) Biến cố 'bị lỗi biết do phân xưởng I sản xuất' là $P(B|A)=3\%$, không phải $P(A|B)$ → sai.
b) $P(\overline{A}\cap B)=0,6\cdot 0,04=0,024=2,4\%$, không phải $57,6\%$ → sai.
c) $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,4\cdot 0,03+0,6\cdot 0,04=0,012+0,024=0,036=3,6\%$, không phải $36\%$ → sai.
d) $P(\overline{A}|B)=\frac{0,024}{0,036}=\frac{2}{3}$, $P(A|B)=\frac{0,012}{0,036}=\frac{1}{3}$. Vậy $P(\overline{A}|B)=2P(A|B)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất 'bóng đèn bị lỗi biết do phân xưởng I sản xuất' là $P(B|A)=3\%$, không phải $P(A|B)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}\cap B)=0,6\times 0,04=0,024=2,4\%\ne 57,6\%$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=0,4\times 0,03+0,6\times 0,04=0,036=3,6\%\ne 36\%$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{A}|B)=\frac{0,024}{0,036}=\frac{2}{3}$ và $P(A|B)=\frac{0,012}{0,036}=\frac{1}{3}$, nên xác suất do phân xưởng II sản xuất gấp 2 lần do phân xưởng I sản xuất.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $p$ là xác suất nảy mầm của hạt loại $B$, khi đó hạt loại $A$ có xác suất nảy mầm $1,25p$. Vì số hạt trong 1 kg mỗi loại bằng nhau nên $P(A)=\frac{1}{2,5}=0,4$, $P(B)=\frac{1,5}{2,5}=0,6$. Xác suất một hạt nảy mầm: $0,4\cdot 1,25p+0,6p=0,875p=0,875$, suy ra $p=1$ (hạt B nảy mầm chắc chắn). Xác suất cần tính: $P(A\mid \text{nảy maˆˋm})=\frac{0,4\cdot 1,25}{0,875}=\frac{0,5}{0,875}=\frac{4}{7}\approx 0,57$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất cần tính là xác suất có điều kiện $P(\text{pheˆˊ phẩm}\mid \text{maˊy }I)$. Theo đề bài, tỉ lệ phế phẩm của máy $I$ chính là $0,4\%$, nên $P(\text{pheˆˊ phẩm}\mid \text{maˊy }I)=0,4\%=0,004$. (Chú ý: $0,4\%\cdot 30\%=0,12\%$ là xác suất chọn được sản phẩm vừa phế phẩm vừa do máy $I$ sản xuất, không phải xác suất có điều kiện.) Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'rút được câu hỏi lý thuyết khó', B là biến cố 'rút được câu hỏi khó'. Có tất cả 5 + 12 = 17 câu hỏi khó, trong đó 5 câu là lý thuyết khó. Vậy P(A|B) = n(A∩B)/n(B) = 5/17 ≈ 0,2941 ≈ 0,29.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B_i$ là biến cố ca được xử lý tại trung tâm thứ $i$ với $P(B_1)=0,5$, $P(B_2)=0,3$, $P(B_3)=0,2$. Gọi $A$ là biến cố ca dẫn đến vụ kiện. Theo đề: $P(A|B_1)=0,001$, $P(A|B_2)=0,005$, $P(A|B_3)=0,008$.

Công thức xác suất toàn phần:
$$P(A)=0,5\cdot 0,001+0,3\cdot 0,005+0,2\cdot 0,008=0,0005+0,0015+0,0016=0,0036.$$

Theo công thức Bayes:
$$P(B_1|A)=\frac{P(B_1)P(A|B_1)}{P(A)}=\frac{0,0005}{0,0036}=\frac{5}{36}\approx 0,1389\approx 0,14.$$

Vậy xác suất vụ kiện bắt nguồn từ trung tâm chấn thương của bệnh viện thứ nhất là $0,14$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ suy ra $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=0,4\cdot 0,6=0,24$. Khi đó $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,24}{0,3}=0,8$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố người bị bệnh, $D$ là biến cố test cho kết quả dương tính. Ta có $P(B)=0,22$, $P(D|\overline{B})=0,1$, $P(B|D)=0,7$. Cần tìm $P(D|B)=x$. Theo công thức Bayes: $P(B|D)=\frac{P(B)\cdot P(D|B)}{P(B)P(D|B)+P(\overline{B})P(D|\overline{B})}$. Thay số: $0,7=\frac{0,22x}{0,22x+0,78\cdot 0,1}=\frac{0,22x}{0,22x+0,078}$. Suy ra $0,22x=0,154x+0,0546$, tức $0,066x=0,0546$, nên $x=\frac{0,0546}{0,066}=\frac{5}{6}\approx 0,82727$. Vậy $k\approx 82,7$.

a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Đáp án mã đề 1204: SDDD)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi L là biến cố 'linh kiện bị lỗi'. Ta có $P(A)=0,6$, $P(B)=0,4$, $P(L|A)=0,02$, $P(L|B)=0,04$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(L)=0,6\cdot 0,02+0,4\cdot 0,04=0,012+0,016=0,028$. Xác suất cần tìm theo công thức Bayes: $P(B|L)=\frac{P(B)\cdot P(L|B)}{P(L)}=\frac{0,016}{0,028}=\frac{4}{7}$. Vậy đáp án B.