Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra bằng cách thay điểm $O(0;0)$ vào bất phương trình.
a) $3-2y>0$: tại $O$ ta có $3-2\cdot 0=3>0$ đúng, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3-2y=0$ chứa $O$; dấu $>$ nên không kể bờ. Mệnh đề đúng.
b) $2x+y>1$: tại $O$ ta có $0>1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$. Mệnh đề sai.
c) $2x-y\ge 1$: tại $O$ ta có $0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-y=1$ không chứa $O$ (dù kể bờ). Mệnh đề sai.
d) $-2x+3y\le -5$ tương đương $2x-3y\ge 5$: tại $O$ ta có $0\ge 5$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-3y=5$ không chứa $O$. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $3-2\cdot 0=3>0$ đúng, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3-2y=0$ chứa $O$, không kể bờ vì dấu là $>$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0+0=0>1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x+y=1$ không chứa $O$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $O(0;0)$: $2\cdot 0-0=0\ge 1$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-y=1$ không chứa $O$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$-2x+3y\le -5$ tương đương $2x-3y\ge 5$; thay $O(0;0)$: $0\ge 5$ sai, nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $2x-3y=5$ không chứa $O$.

(AI giải đề cho tôi)
Đội cần 3 giờ cho mỗi sản phẩm loại I và 2,5 giờ cho mỗi sản phẩm loại II, thời gian tối đa 20 giờ. a) Sai: tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$ (mệnh đề đã hoán đổi hệ số). b) Sai: bất phương trình đúng phải là $3x+2,5y\le 20$ (mệnh đề viết $3x+2,5x<20$, vừa sai hệ số của $y$, vừa sai dấu và dùng cùng biến $x$). c) Đúng: với $(x;y)=(3;4)$, $x,y\in \mathbb{N}$ và $3\cdot 3+2,5\cdot 4=9+10=19\le 20$, nên $(3;4)$ thỏa mãn. d) Sai: với $(x;y)=(5;3)$, $3\cdot 5+2,5\cdot 3=15+7,5=22,5>20$, vượt quá 20 giờ nên không phải nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian loại I là $3x$, loại II là $2,5y$; mệnh đề hoán đổi hai hệ số nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình đúng là $3x+2,5y\le 20$; mệnh đề viết $3x+2,5x<20$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 3+2,5\cdot 4=19\le 20$ và $3,4\in \mathbb{N}$ nên $(3;4)$ là nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 5+2,5\cdot 3=22,5>20$ nên $(5;3)$ không thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình: $x+y\le 240$, $y\ge 40$, $x\ge 3y$ (a đúng). Miền nghiệm có 3 đỉnh: giao của $y=40$ và $x=3y$ là $(120;40)$; giao của $y=40$ và $x+y=240$ là $(200;40)$; giao của $x=3y$ và $x+y=240$ là $(180;60)$. Vậy miền nghiệm là một tam giác, không phải tứ giác (b sai). Điểm $C(200;40)$: $200+40=240\le 240$, $y=40\ge 40$, $200\ge 3\cdot 40=120$, nên $C$ thuộc miền nghiệm (c sai). Từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $4y\le 240\Rightarrow y\le 60$; đỉnh $(180;60)$ thỏa mãn hệ nên tung độ lớn nhất là 60 tại $A(180;60)$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng đầu tư không quá 240: $x+y\le 240$; khoản Y ít nhất 40: $y\ge 40$; khoản X ít nhất gấp 3 lần Y: $x\ge 3y$. Hệ đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có 3 đỉnh $(120;40)$, $(200;40)$, $(180;60)$ nên là tam giác, không phải tứ giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$C(200;40)$ thỏa cả ba bất phương trình ($200+40=240$, $40\ge 40$, $200\ge 120$) nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x\ge 3y$ và $x+y\le 240$ suy ra $y\le 60$. Điểm $A(180;60)$ thỏa hệ nên có tung độ lớn nhất $y=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Cho bất phương trình $x+8y-200\ge 0$.

a) Thử $(a;b)=(200;0)$: $200+8\cdot 0-200=0\ge 0$, thỏa mãn. Vậy $(200;0)$ là một nghiệm (các đáp án khác cũng được, ví dụ $(0;25)$, $(100;50)$...).

b) Thử $(c;d)=(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$, không thỏa mãn. Vậy $(0;0)$ không là nghiệm của bất phương trình.

c) Biểu diễn miền nghiệm:
- Vẽ đường thẳng $x+8y-200=0$: đi qua hai điểm $(200;0)$ và $(0;25)$ (vì khi $y=0$ thì $x=200$; khi $x=0$ thì $y=25$).
- Vì bất phương trình có dấu $\ge$, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng trên, kể cả bờ (đường thẳng được vẽ nét liền).
- Lấy điểm thử $O(0;0)$: $0+8\cdot 0-200=-200<0$ nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ $O$, tức là phần mặt phẳng nằm về phía trên-trái của đường thẳng $x+8y-200=0$ (phía chứa điểm $(200;0)$ hướng về $x$ lớn hơn hoặc $y$ lớn hơn), kể cả đường thẳng bờ.

Tóm lại: miền nghiệm của $x+8y-200\ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $x+8y-200=0$ (nét liền) không chứa điểm $O(0;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua $(2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $x+y=2$, vẽ nét đứt nên bất phương trình là bất đẳng thức ngặt. Trên hình, phần bị gạch chéo là nửa mặt phẳng chứa gốc $O$ (vì $0+0=0<2$), tức miền $x+y<2$. Do đó phần không bị tô (miền nghiệm) là nửa mặt phẳng phía trên - phải của đường thẳng, tức miền $x+y>2$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đường thẳng $3x-2y=-6$: với $x=0$ ta có $y=3$; với $y=0$ ta có $x=-2$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$, nên loại hình A (đường thẳng cắt trục tại $(2;0)$ và $(0;3)$).
Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$, tức $O$ không thỏa mãn $3x-2y\le -6$. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa $O$, tức phía trên-bên trái đường thẳng.
Xét các hình còn lại (đều có đường thẳng đi qua $(-2;0)$ và $(0;3)$):
- Hình B: phần bị gạch là phía trên-bên trái (không chứa $O$), nên miền không gạch chứa $O$ → sai.
- Hình D: phần bị gạch là phía dưới-bên trái (chứa $O$), miền không gạch là phía trên-bên phải → sai (đó là miền của $3x-2y\ge -6$).
- Hình C: phần bị gạch là phía dưới-bên phải (chứa $O$), nên miền không bị gạch là phía trên-bên trái, không chứa $O$ → đúng là miền nghiệm của $3x-2y\le -6$.
Vậy miền nghiệm (miền không bị gạch) là Hình C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → Đúng.
b) M(4;2): x+y=6>5 nên M không thuộc miền nghiệm → Sai.
c) Miền nghiệm có các đỉnh (0;0), (4;0), (3;2) (giao x+y=5 và 2x+y=8), (0;5): là tứ giác → Đúng.
d) F=5x+4y tại các đỉnh: (0;0):0, (4;0):20, (3;2):23, (0;5):20. Max tại (3;2), y0−x0=2−3=−1≠−2 → Sai. Khớp đáp án mã đề 1001: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tất cả các bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại M(4;2): x+y=6>5 vi phạm bất phương trình x+y≤5 nên M không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh (0;0), (4;0), (3;2), (0;5), trong đó (3;2) là giao của x+y=5 và 2x+y=8.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=5x+4y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh (3;2) với F=23 (so với 20 tại (4;0) và (0;5)). Khi đó y0−x0=2−3=−1≠−2.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ (bờ của miền nghiệm) đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(2;0)$ (theo hình vẽ), nên phương trình của $d$ là $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$, tức $x+y=2$. Miền nửa mặt phẳng không bị gạch là miền nghiệm của $mx+y\ge n$ với bờ là $d$, suy ra $m=1$, $n=2$. Khi đó $S=3m-n=3\cdot 1-2=1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, mã đề 1001: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm giới hạn bởi các đường $x=-1$, $y=0$, $x+y=0$. Ba giao điểm: $(-1;0)$, $(0;0)$, $(-1;1)$ (vì $x=-1$ cắt $x+y=0$ tại $y=1$). Tam giác vuông tại $(0;0)$ với hai cạnh góc vuông bằng $1$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ (đvdt). Khớp với đáp án B.

Điều kiện: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+y\le 8$, $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$.
a) Sai. Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(8;0)$, $B(6;2)$, $C(0;6)$ ($B$ là giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$), không phải tam giác.
b) Sai. Tổng lợi nhuận là $T=3x+4y$ (triệu đồng).
c) Đúng. Tổng diện tích trồng rau và hoa là $x+y$ (ha).
d) Đúng. Hệ là $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.
a) Sai. Miền nghiệm của hệ là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(8;0)$, $B(6;2)$, $C(0;6)$ ($B$ là giao điểm của $x+y=8$ và $2x+3y=18$), không phải tam giác.
b) Sai. Tổng lợi nhuận là $T=3x+4y$ (triệu đồng).
c) Đúng. Tổng diện tích trồng rau và hoa là $x+y$ (ha).
d) Đúng. Hệ là $\{\begin{array}{l}x+y\le 8\\ 2x+3y\le 18\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$.

Đường thẳng đi qua $(0;4)$ và $(2;0)$ có phương trình $2x+y=4$. Điểm $O(0;0)$ thuộc phần không bị gạch và $2\cdot 0+0\le 4$ đúng, đường thẳng được vẽ liền nên miền nghiệm là của bất phương trình $2x+y\le 4$. Chọn A.

Doanh thu là $60000x+40000y$ (đồng). Điều kiện: $60000x+40000y\ge 1000000\iff 3x+2y\ge 50$. Suy ra $m=2$, $n=50$, $T=2^2+50^2=2504$. Đáp số: 2504.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x-y\ge -1\\ x-3y\ge 0\end{array}$:
- $M(-3;2)$: $x-y=-5<-1$, $x-3y=-9<0$, loại.
- $P(1;1)$: $x-y=0\ge -1$ nhưng $x-3y=-2<0$, loại.
- $N(-2;0)$: $x-y=-2<-1$, $x-3y=-2<0$, loại.
- $Q(3;-2)$: $x-y=5\ge -1$ và $x-3y=9\ge 0$, thỏa cả hai bất phương trình.
Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $Q(3;-2)$, khớp đáp án nguồn (mã đề 3727, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: mỗi sản phẩm I cần 3 giờ, mỗi sản phẩm II cần 2 giờ nên tổng thời gian là $3x+2y$ (giờ), không phải $2x+3y$. b) Đúng: tổng thời gian không vượt quá 150 giờ nên $3x+2y\le 150$. c) Sai: với $x=25,y=40$ thì $3\cdot 25+2\cdot 40=75+80=155>150$, vượt quá thời gian cho phép. d) Đúng: đường thẳng $3x+2y=150$ đi qua $(0;75)$ và $(50;0)$ như hình vẽ; miền nghiệm $3x+2y\le 150$ (chứa gốc tọa độ $O$ vì $3\cdot 0+2\cdot 0=0\le 150$) là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)Đ - c)S - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $3x+2y$ giờ (loại I cần 3 giờ/sản phẩm, loại II cần 2 giờ/sản phẩm), không phải $2x+3y$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhà máy có tối đa 150 giờ mỗi tuần nên $3x+2y\le 150$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3\cdot 25+2\cdot 40=155>150$ nên phương án này không khả thi.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x+2y=150$ cắt trục tung tại $(0;75)$ và trục hoành tại $(50;0)$; miền nghiệm chứa $O(0;0)$ là nửa mặt phẳng không bị gạch chéo trong hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng phí cố định: 22 ngày làm việc × 500 = 11 000 nghìn đồng; 8 ngày cuối tuần × 800 = 6 400 nghìn đồng, tổng 17 400 nghìn đồng. Phí theo quãng đường: $10x+15y$ (nghìn đồng). Tổng tiền không quá 50 triệu đồng = 50 000 nghìn đồng: $17400+10x+15y\le 50000⟺10x+15y\le 32600⟺2x+3y\le 6520$. Vậy $a=2$, $c=6520$, $c-a=6518$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay y = -2 vào hệ: bất phương trình thứ nhất trở thành x - 5(-2) ≥ 2 ⟺ x + 10 ≥ 2 ⟺ x ≥ -8. Bất phương trình thứ hai: 3x + (-2) < 21 ⟺ 3x < 23 ⟺ x < 23/3 ≈ 7,67. Vậy m phải thỏa -8 ≤ m < 23/3, tức m ∈ {-8, -7, ..., 7}. Số giá trị nguyên là 7 - (-8) + 1 = 16. Kết quả trùng với đáp án nguồn (16).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;2)$ nên có phương trình $y=x+2$, tức $x-y=-2$. Đường này được vẽ nét đứt nên bất phương trình có dấu nghiêm ngặt. Miền không gạch chéo nằm về phía dưới-phải của đường thẳng, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Thay $O(0;0)$: $x-y=0>-2$, vậy miền nghiệm là $x-y>-2$. Kiểm tra thêm điểm $(2;0)$ thuộc miền không gạch chéo: $2-0=2>-2$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 3727, Câu 5: C).

$(2;3)$ là nghiệm của $2x+my\le 15$ khi $4+3m\le 15\iff m\le \frac{11}{3}$. Mà $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3\}$. Đáp án: 3.

Vẽ đường thẳng $d:3x+y=3$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$. Thay $O(0;0)$ vào bất phương trình: $3.0+0=0\ge 3$ là sai nên $O$ không thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm của bất phương trình $3x+y\ge 3$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$.

Bờ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $(4;-2)$, có phương trình $x+2y=0$. Điểm $(0;-1)$ thuộc miền tô đậm và $0+2.(-1)=-2\le 0$. Vậy miền tô đậm (kể cả bờ) là miền nghiệm của $x+2y\le 0$. Chọn B.