Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Gọi $x,y$ lần lượt là số bánh trung thu thập cẩm và bánh trung thu sầu riêng mà câu lạc bộ bán được $(x\ge 0;y\ge 0;x,y\in \mathbb{Z})$.

Do tổng nhu cầu hàng tháng không vượt quá 160 bánh nên $x+y\le 160$.

Do số vốn ban đầu không vượt quá 10,5 triệu đồng nên $$60x+70y\le 10500\iff 6x+7y\le 1050$$

Do đó, ta có hệ: $\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 160\\ 6x+7y\le 1050\end{array}$ (I)

Lợi nhuận thu được khi bán $x$ bánh trung thu thập cẩm và $y$ bánh trung thu sầu riêng là $F(x;y)=7x+8y$ (nghìn đồng).

Bài toán đưa về tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình $(I)$ sao cho $F(x;y)=7x+8y$ có giá trị lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (I)
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(0;150)$, $B(70;90)$, $C(160;0)$ (phần không bị gạch bỏ trong hình vẽ).

Khi đó ta có: $F(0;0)=0$, $F(0;150)=1200$, $F(70;90)=1210$, $F(160;0)=1120$.

Vậy cần bán 70 bánh trung thu thập cẩm và 90 bánh trung thu sầu riêng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $x-3y\ge 5$: Với $(2;-1)$: $2-3(-1)=5\ge 5$ thỏa mãn. Với $(1;4)$: $1-12=-11<5$ không thỏa. Với $(0;-1)$: $0+3=3<5$ không thỏa. Với $(3;5)$: $3-15=-12<5$ không thỏa. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: B: $x-y\ge 5$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; C: $2008x+16y\le 10$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn; D: $7x+11y>2025$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Riêng phương án A: $x+y^2\ge 0$ có ẩn $y$ xuất hiện với số mũ 2, nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $x+3+2(2y+5)<2(1-x)\iff x+3+4y+10<2-2x\iff 3x+4y+11<0$. Thử từng điểm: $D(-4;0)$: $3(-4)+0+11=-1<0$ (thỏa); $C(0;-3)$: $0-12+11=-1<0$ (thỏa); $B(1;-7)$: $3-28+11=-14<0$ (thỏa); $A(-1;-2)$: $-3-8+11=0$, không thỏa $<0$. Vậy miền nghiệm không chứa điểm $A(-1;-2)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by\le c$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, tức là ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $3x-y\le 1$ có dạng bậc nhất hai ẩn. C: $x+3y\ge 1$ có dạng bậc nhất hai ẩn. D: $x-y\le 0$ có dạng bậc nhất hai ẩn. B: $2x+xy\le 4$ có chứa số hạng $xy$ bậc hai đối với hai ẩn, nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 13, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $3x+2y\le 18$, $2x+y\le 10$, $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=200x+100y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh: $(0;0)$, $(5;0)$, giao điểm của $3x+2y=18$ và $2x+y=10$ là $(2;6)$, và $(0;9)$. Tính $P$: tại $(0;0)$: $0$; tại $(5;0)$: $1000$; tại $(2;6)$: $400+600=1000$; tại $(0;9)$: $900$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $1000$ nghìn đồng, đạt tại $(5;0)$ (cũng đạt tại $(2;6)$ nhưng điểm này không có trong các phương án). Theo các phương án, chọn $x=5,y=0$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí nhập hàng là $200x+300y$ (nghìn đồng). Vì cửa hàng chỉ có tối đa 12 triệu đồng $=12000$ nghìn đồng nên chi phí không được vượt quá 12000 nghìn đồng, tức $200x+300y\le 12000$ (kèm theo $x,y$ nguyên không âm). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 20, mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $$\{\begin{array}{l}x+2y\le 5\\ y\ge 0\\ -2x+6y\ge 12\end{array}$$
a) Thay $(-1;3)$: $-1+2\cdot 3=5\le 5$ (đúng); $y=3\ge 0$ (đúng); $-2(-1)+6\cdot 3=20\ge 12$ (đúng). Vậy $(-1;3)$ là nghiệm của hệ, nên mệnh đề 'không là một nghiệm' là SAI.
b) Thay $(-2;0)$: $-2+0=-2\le 5$ (đúng); $y=0\ge 0$ (đúng); $-2(-2)+6\cdot 0=4\ge 12$ (SAI). Vậy $(-2;0)$ không là nghiệm, mệnh đề 'là một nghiệm' là SAI.
c) Mỗi bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: ĐÚNG.
d) Tìm đỉnh miền nghiệm: giao của $y=0$ với $x+2y=5$ là $(5;0)$; giao của $y=0$ với $-2x+6y=12$ là $(-6;0)$; giao của $x+2y=5$ và $-2x+6y=12$: nhân phương trình đầu với 2 rồi cộng: $10y=22\Rightarrow y=\frac{11}{5}$, $x=5-\frac{22}{5}=\frac{3}{5}$, tức đỉnh $\left(\frac{3}{5};\frac{11}{5}\right)$ chứ không phải $(1;1)$. Vậy mệnh đề d) SAI.
Khớp đáp án nguồn: A-S, B-S, C-Đ, D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(-1;3)$: $-1+6=5\le 5$; $3\ge 0$; $2+18=20\ge 12$: thỏa cả ba, nên $(-1;3)$ là nghiệm → mệnh đề SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(-2;0)$: $-2(-2)+6\cdot 0=4<12$, vi phạm bất phương trình thứ ba → không là nghiệm → mệnh đề SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn → hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ba đỉnh là $(5;0)$, $(-6;0)$ và giao của $x+2y=5$ với $-2x+6y=12$ là $\left(\frac{3}{5};\frac{11}{5}\right)$, không phải $(1;1)$ → SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình trong đó mỗi ẩn chỉ xuất hiện với bậc nhất. Xét từng phương án: A: $3x-y>5$ và $x<6+4y$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. B: hai phương trình là đẳng thức (phương trình, không phải bất phương trình). C: $xy<1$ có tích hai ẩn (bậc hai). D: $x^2+y<3$ có ẩn $x$ bậc hai. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng biên là $y=x$ (đi qua gốc $O$) và $y=2x-1$ (đi qua $(0,-1)$ và $(1,1)$), chúng cắt nhau tại $(1,1)$. Miền không tô đậm là góc giữa hai đường thẳng nằm bên phải giao điểm. Lấy điểm thử $(2,1)$ thuộc miền này: $x-y=2-1=1>0$ và $2x-y=4-1=3>1$, thỏa hệ ở phương án D. Kiểm tra phương án khác: A dùng dấu $\ge$ (miền kể bờ, sai vì không kể bờ); B có $x-y<0$ (nửa mặt phẳng khác); C có $2x-y<1$ (cũng sai phía). Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, Mã đề 1001: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>2\\ x-y<3\end{array}$:
- A $(1;-1)$: $x-2y=1+2=3>0$ (loại).
- B $(2;6)$: $x-2y=2-12=-10<0$ ✓; $x+3y=2+18=20>2$ ✓; $x-y=2-6=-4<3$ ✓. Điểm thỏa cả ba bất phương trình.
- C $(0;-4)$: $x+3y=-12<2$ (loại).
- D $(-2;-10)$: $x+3y=-2-30=-32<2$ (loại).
Vậy miền nghiệm chứa điểm $(2;6)$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Câu 9, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $3x+2y\ge 6$.
a) Đúng: Vì dấu '$\ge$' nên miền nghiệm chứa cả bờ $\Delta :3x+2y=6$.
b) Đúng: Mọi cặp $(x;y)$ thỏa $3x+2y\ge 6$ đều là nghiệm, ví dụ với mỗi $x\ge 2$ chọn $y=0$; do đó có vô số nghiệm.
c) Đúng: Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$ nên không thỏa, vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ (phần không bị gạch chéo trong hình), tính cả bờ $\Delta :3x+2y=6$.
d) Sai: Thay $(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$, không thỏa bất phương trình, nên $(0;0)$ không là nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dấu '$\ge$' nên miền nghiệm chứa cả đường thẳng $\Delta :3x+2y=6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mọi cặp $(x;y)$ thỏa $3x+2y\ge 6$ đều là nghiệm, ví dụ $(x;0)$ với $x\ge 2$, nên có vô số nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $O(0;0)$ cho $0<6$ nên không thuộc miền nghiệm; miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ (phần không gạch chéo), tính cả bờ $\Delta$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(0;0)$: $3\cdot 0+2\cdot 0=0<6$, không thỏa nên $(0;0)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với các đỉnh: O(0;0), E(1;0) (giao x−y−1=0 với y=0), A(4;3) (giao x−y−1=0 với x+2y−10=0: y=x−1, x+2x−2−10=0 ⇒ x=4, y=3), B(2;4) (giao x+2y−10=0 với y=4), C(0;4). Tính F=5x+2y tại các đỉnh: F(O)=0, F(E)=5, F(A)=5·4+2·3=26, F(B)=10+8=18, F(C)=8. Vậy giá trị lớn nhất của F là 26, đạt tại A(4;3). Kết quả trùng với đáp án nguồn (26).

Gọi $x$ là số bộ rèm cửa sổ, $y$ là số bộ rèm cửa lớn mà cơ sở có thể may được trong 1 ngày. Đk: $x,y\ge 0$

Tổng tiền lời (nghìn đồng) cơ sở thu được khi may $x$ bộ rèm cửa sổ và $y$ bộ rèm cửa lớn:
$$F(x;y)=40x+50y$$

Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $F(x;y)$ với $(x;y)$ là nghiệm của hệ bất phương trình (I)
$$(I)\{\begin{array}{l}x+y\le 40\\ 3x+5y\le 150\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$



Trong mặt phẳng tọa độ, miền nghiệm của hệ (I) là miền đa giác $ABCO$ (hình vẽ) với $A(0;30);B(25;15);C(40;0);O(0;0)$

Với: $A(0;30)\Rightarrow F(0;30)=1500$ (nghìn đồng)

$B(25;15)\Rightarrow F(0;30)=1750$ (nghìn đồng)

$C(40;0)\Rightarrow F(40;0)=1600$ (nghìn đồng)

$O(0;0)\Rightarrow F(0;0)=0$ (nghìn đồng)

Vậy cơ sở cần may 25 bộ rèm cửa sổ và 15 bộ rèm cửa chính thì tiền lời thu được là lớn nhất.

[Điểm: 0.25 cho mỗi phần trên]

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào hệ $\{\begin{array}{l}x+3y\le 0\\ x-2y\ge 1\end{array}$: A $(1;0)$: $1+0=1>0$ loại. B $(-2;3)$: $-2+9=7>0$ loại. C $(3;1)$: $3+3=6>0$ loại. D $(1;-3)$: $1+3(-3)=-8\le 0$ và $1-2(-3)=7\ge 1$, thỏa cả hai bất phương trình. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$ có dạng $ax+by+c<0$ (hoặc $>,\le ,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A) $3x^2-2y<-6$ có chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải. B) $3x-2y<0$ có dạng bậc nhất theo $x,y$ với hệ số $a=3\ne 0$, $b=-2\ne 0$, thỏa mãn định nghĩa. C) $3x-2y^3>0$ có chứa $y^3$ (bậc ba) nên không phải. D) $3xy-2y>-6$ có chứa tích $xy$ (bậc hai) nên không phải. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $2x+y+5>0$: M(-5;0): $2(-5)+0+5=-5>0$ sai. Q(1;3): $2(1)+3+5=10>0$ đúng, nên Q thuộc miền nghiệm. N(-3;-2): $2(-3)+(-2)+5=-3>0$ sai. P(0;-10): $0-10+5=-5>0$ sai. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất (bậc 1) theo hai ẩn $x$, $y$. Xét từng phương án: A có $x+y^2<0$ chứa $y^2$ (bậc 2) nên sai. B có ba ẩn $x,y,z$ nên không phải hệ hai ẩn. C có $2xy\ge 0$ chứa tích $xy$ (bậc 2) nên sai. D: $-2x+y<3^2=9$ và $4^{2}x+3y<1$ tức $16x+3y<1$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thời gian sản xuất: mỗi sản phẩm loại I cần 50 giờ, loại II cần 45 giờ, tổng thời gian tối đa 180 giờ nên $50x+45y\le 180$. Chia hai vế cho 5 (vì $x,y\in \mathbb{N}$ nên ràng buộc tương đương): $10x+9y\le 36$. So sánh với $ax+9y\le b$ ta được $a=10$, $b=36$. Vậy $T=2a+b=2\cdot 10+36=56$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (56).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm $(S)$ là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y+11=0\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $A(-1;-2)$, $T=3(-1)-5(-2)=7$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: thay $x=y+1$ vào $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$. Điểm $B(2;1)$, $T=3(2)-5(1)=1$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$ và $8x+10y=26$, trừ lại $27x=-81\Rightarrow x=-3$; suy ra $4(-3)+5y=13\Rightarrow y=5$. Điểm $C(-3;5)$, $T=3(-3)-5(5)=-9-25=-34$.

Vì $T=3x-5y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh. So sánh $T(A)=7$, $T(B)=1$, $T(C)=-34$ ta được $\min T=-34$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 3: -34).