Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x+3y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}$: A $(0;1)$: $x+3y=3\ge 2$ đúng nhưng $2x+y=1>-1$ sai. B $(-1;0)$: $x+3y=-1<2$ sai. C $(-1;1)$: $x+3y=-1+3=2\ge 2$ đúng và $2x+y=-2+1=-1\le -1$ đúng, nên điểm này thuộc miền nghiệm. D $(1;3)$: $2x+y=5>-1$ sai. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: C).

Lời giải

a) Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 câu lạc bộ bán được $\left(x,y\in \mathbb{Z};x,y\ge 0\right)$

Theo đề bài ta có $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+3y\le 165\\ x+2y\le 100\end{array}(I)$$ (0.5đ)

(0.5đ)

Hệ (I) có miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(82,5;0)$, $B(30;35)$, $C(0;50)$.

b) Số tiền câu lạc bộ nhận được là $F(x;y)=35x+55y$ (nghìn đồng)

Ta có $F(0;0)=0$, $F(82,5;0)=2887,5$, $F(30;35)=2975$, $F(0;50)=2750$. (0.25đ)

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ nhận được là 2975 nghìn đồng. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua $(2;0)$ và $(0;-1)$ nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1\iff x-2y=2\iff -x+2y=-2$. Theo hình, miền bị gạch bỏ nằm phía trên đường thẳng (chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì $-0+2\cdot 0=0>-2$), còn miền KHÔNG bị gạch bỏ nằm phía dưới đường thẳng. Lấy điểm thử $M(0;-2)$ thuộc miền không gạch bỏ: $-0+2\cdot (-2)=-4\le -2$ đúng. Đường thẳng được vẽ nét liền và miền nghiệm bao gồm cả đường thẳng nên dùng dấu $\le$ (loại B). Vậy bất phương trình là $-x+2y\le -2$, khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+3y>5$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Tập nghiệm của nó là nửa mặt phẳng mở (không kể đường thẳng $x+3y=5$), ví dụ với mọi $x$, chọn $y>\frac{5-x}{3}$ đều cho nghiệm. Do đó bất phương trình có vô số nghiệm: A đúng. B sai vì tồn tại nghiệm (ví dụ $(0;2)$: $0+6>5$). C sai vì nghiệm không duy nhất. D sai vì tập nghiệm không phải khoảng $(5;+\infty )$ (đó là dạng tập nghiệm của bất phương trình một ẩn). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình vẽ đi qua hai điểm $(0;-1)$ và $(2;0)$, nên có phương trình: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1\iff x-2y=2\iff -x+2y=-2$. Trong hình vẽ, phần bị gạch bỏ là nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng (phần chứa gốc tọa độ $O(0;0)$, vì tại $O$: $-x+2y=0>-2$). Do đó nửa mặt phẳng KHÔNG bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng biên) là phần phía dưới đường thẳng, tức miền thỏa $-x+2y\le -2$. Kiểm tra: điểm $(0;-2)$ nằm trong miền không gạch bỏ và $-0+2(-2)=-4\le -2$ ✓; đường thẳng được lấy vào nên dấu là '$\le$' (loại C). Vậy bất phương trình cần tìm là $-x+2y\le -2$, trùng với đáp án đã cho (B).

(AI giải đề cho tôi)
Thời gian sản xuất: $50x+45y\le 180$. Chia hai vế cho 5 ($x,y\in \mathbb{N}$ nên bất phương trình tương đương với hệ số nguyên): $10x+9y\le 36$. Vậy $a=10$, $b=36$, do đó $T=2a+b=20+36=56$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (56).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm (S) là tam giác với ba đỉnh là giao điểm từng cặp đường thẳng:
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $x-y=1$: thay $x=y+1$ vào $7(y+1)+2y=-11\Rightarrow 9y=-18\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $A(-1;-2)$, $T=3(-1)-5(-2)=7$.
- Giao của $x-y=1$ và $4x+5y=13$: thay $x=y+1$ vào $4(y+1)+5y=13\Rightarrow 9y=9\Rightarrow y=1,x=2$. Điểm $B(2;1)$, $T=6-5=1$.
- Giao của $7x+2y+11=0$ và $4x+5y=13$: nhân phương trình thứ nhất với 5 và thứ hai với 2: $35x+10y=-55$ và $8x+10y=26$, trừ lại $27x=-81\Rightarrow x=-3$; khi đó $4(-3)+5y=13\Rightarrow y=5$. Điểm $C(-3;5)$, $T=3(-3)-5(5)=-9-25=-34$.

Vì $T=3x-5y$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh. So sánh $T(A)=7$, $T(B)=1$, $T(C)=-34$, ta được $\min T=-34$ tại $C(-3;5)$ (điểm này khớp với hình vẽ: giao điểm của hai đường tại $(-3;5)$). Kết quả trùng với đáp án nguồn $-34$.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+3y\ge 2\\ 2x+y\le -1\end{array}$.
- Điểm $(-1;1)$: $x+3y=-1+3=2\ge 2$ (thỏa); $2x+y=-2+1=-1\le -1$ (thỏa). Vậy $(-1;1)$ thuộc miền nghiệm.
- Điểm $(-1;0)$: $x+3y=-1<2$, không thỏa.
- Điểm $(1;3)$: $2x+y=5>-1$, không thỏa.
- Điểm $(0;1)$: $2x+y=1>-1$, không thỏa.
Vậy chỉ có điểm $(-1;1)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 2: A).

Lời giải

a) Gọi $x,y$ lần lượt là số thực đơn 1 và thực đơn 2 câu lạc bộ bán được $\left(x,y\in \mathbb{Z};x,y\ge 0\right)$.

Theo đề bài ta có $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 2x+3y\le 165\\ x+2y\le 100\end{array}(I)\text{(0.5đ)}$$

$\text{(0.5đ)}$

Hệ (I) có miền nghiệm là miền tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(82,5;0)$, $B(30;35)$, $C(0;50)$.

b) Số tiền câu lạc bộ nhận được là $F(x;y)=40x+60y$ (nghìn đồng)

Ta có $F(0;0)=0$, $F(82,5;0)=3300$, $F(30;35)=3300$, $F(0;50)=3000$. $\text{(0.25đ)}$

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ nhận được là 3300 nghìn đồng. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+3y>5$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng mở (không gồm đường thẳng $x+3y=5$) nằm về phía trên phải của đường thẳng này. Ví dụ với $x=0$ thì mọi $y>\frac{5}{3}$ đều thỏa mãn, nên có vô số cặp $(x;y)$ thỏa mãn. Do đó: A sai (không có nghiệm duy nhất), B sai (tập nghiệm không phải khoảng $(5;+\infty )$ vì nghiệm là cặp số $(x;y)$, không phải số), D sai (rõ ràng có nghiệm, ví dụ $(6;0)$). Vậy khẳng định đúng là C: bất phương trình có vô số nghiệm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng phương án: A có $x+y^2<0$ chứa $y^2$ (bậc hai) nên loại. C có ba ẩn $x,y,z$ nên loại. D có $2xy\ge 0$ chứa tích $xy$ (bậc hai) nên loại. B: $-2x+y<3^2=9$ và $4^{2}x+3y<1$ tức $16x+3y<1$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn (hệ số $3^2=9$, $4^2=16$ là hằng số). Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình. Với $P(-2;2)$: $x-2y-3=-2-4-3=-9<0$ (đúng); $2x+5y-6=-4+10-6=0\ge 0$ (đúng); $-x+3y-6=2+6-6=2>0$ (đúng). Vậy $P(-2;2)$ thỏa cả ba bất phương trình. Các điểm khác không thỏa: $M(0;1)$: $2x+5y-6=-1<0$ (sai); $Q(2;-2)$: $-x+3y-6=-14<0$ (sai); $N(3;0)$: $-x+3y-6=-9<0$ (sai). Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (I) là tứ giác với các đỉnh (0;0), (2;0), (1;3), (0;4) (giao của 3x+y=6 và x+y=4 là (1;3)).
a) Đúng: hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Sai: F=2x+5y tại các đỉnh: (0;0):0, (2;0):4, (1;3):17, (0;4):20. Giá trị lớn nhất là 20 (tại (0;4)), không phải 17.
c) Đúng: (1;3): 3+3=6≤6, 1+3=4≤4, x,y≥0 nên thuộc miền nghiệm.
d) Đúng: diện tích tứ giác theo công thức shoelace: S=½|0·0+2·3+1·4+0·0 − (0·2+0·1+3·0+4·0)|=½(10)=5.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
F đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh (0;4) với F=20, không phải 17 (F(1;3)=17 chỉ là giá trị tại đỉnh (1;3)).
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay (1;3): 3·1+3=6≤6, 1+3=4≤4, 1≥0, 3≥0 nên điểm thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác đỉnh (0;0),(2;0),(1;3),(0;4) có diện tích S=½(2·3+1·4)=5.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A có $xy+4y<-3$ chứa tích $xy$ (bậc hai) nên không phải; B là $2x-5y=6$ là phương trình, không phải bất phương trình; C có $64x^2+y>8$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải; D là $2x-3y\ge 5$ có dạng $ax+by+c\ge 0$ với $a=2,b=-3$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: D).

Đường thẳng trong hình vẽ đi qua hai điểm $(\frac{3}{2};0)$ và $(0;-3)$, nên có phương trình: $\frac{x}{3/2}+\frac{y}{-3}=1\iff 2x-y=3$. Vì miền nghiệm là phần không bị tô đậm và kể cả bờ (nên bất phương trình có dấu $\le$ hoặc $\ge$), thử điểm không bị tô đậm, ví dụ $(0;0)$: $2\cdot 0-0=0\le 3$ (thỏa mãn). Vậy miền không bị tô đậm (kể cả bờ) là nghiệm của bất phương trình $2x-y\le 3$. Đáp án A. (Khớp với đáp án chính thức của mã đề 102, câu 5 = A.)

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng phương án: A có bất phương trình $5y^2-1\le 0$ chứa $y^2$ (bậc hai) nên loại. B có $2x^2+5>0$ chứa $x^2$ nên loại. C gồm hai phương trình $2x+y=0$ và $x+5y=1$ (đây là hệ phương trình, không phải hệ bất phương trình) nên loại. D gồm $2x+y>0$ và $x+5y-1<0$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. A là phương trình (dấu $=$), C có hạng tử $xy$ bậc hai, D có $x^2$ bậc hai. Chỉ có $2x-3y\ge 5$ thỏa mãn. Khớp đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 12: B).

a) Đúng: $(1;3)$ thỏa cả ba bất phương trình của hệ $(I)$. b) Sai: GTLN của $F=2x+5y$ trên miền nghiệm bằng 20 tại $(0;4)$, không phải 17. c) Đúng. d) Đúng: diện tích tứ giác nghiệm bằng 5.
a) Thay $(1;3)$: $3\cdot 1+3=6\le 6$; $1+3=4\le 4$; $1\ge 0,3\ge 0$. Điểm $(1;3)$ thỏa cả ba bất phương trình nên thuộc miền nghiệm của hệ $(I)$. → Đúng.
b) Miền nghiệm là tứ giác $(0;0),(2;0),(1;3),(0;4)$. Xét $F$ tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(2;0)=4$, $F(1;3)=17$, $F(0;4)=20$. Vậy GTLN của $F$ bằng 20 tại $(0;4)$, không phải 17. → Sai.
c) Mỗi bất phương trình trong hệ $(I)$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. → Đúng.
d) Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(2;0),(1;3),(0;4)$. Diện tích $=\frac{1}{2}\left|0\cdot 0+2\cdot 3+1\cdot 4+0\cdot 0-(0\cdot 2+0\cdot 1+3\cdot 0+4\cdot 0)\right|=\frac{1}{2}(6+4)=5$. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất (ẩn x, y chỉ ở bậc 1) và có dấu bất đẳng thức. A có $2x^2+5>0$ chứa $x^2$ (bậc 2) nên loại. B có $5y^2-1\le 0$ chứa $y^2$ nên loại. D gồm các phương trình (dấu bằng), không phải bất phương trình nên loại. C có $2x+y>0$ và $x+5y-1<0$, cả hai đều bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. Khớp với đáp án nguồn C (mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ bất phương trình. Với $P(-2;2)$: $x-2y-3=-2-4-3=-9<0$ (đúng); $2x+5y-6=-4+10-6=0\ge 0$ (đúng); $-x+3y-6=2+6-6=2>0$ (đúng). Vậy $P(-2;2)$ thỏa cả ba bất phương trình. Các điểm khác không thỏa: $N(3;0)$: $2x+5y-6=0\ge 0$ nhưng $-x+3y-6=-9<0$ (sai); $Q(2;-2)$: $2x+5y-6=-12<0$ (sai); $M(0;1)$: $x-2y-3=-5<0$ nhưng $2x+5y-6=-1<0$ (sai). Đáp án khớp với mã đề 101: D.