Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào bất phương trình $2x+y-4<0$: A(3;1): $6+1-4=3\nless 0$; B(0;0): $0+0-4=-4<0$ thỏa mãn; C(1;3): $2+3-4=1\nless 0$; D(2;1): $4+1-4=1\nless 0$. Vậy điểm $(0;0)$ thuộc miền nghiệm, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $(\mathrm{I})$: $y-2x\le 2$, $2y-x\ge 4$, $x+y\le 5$. Ba đường thẳng biên lần lượt là $y=2x+2$, $y=\frac{x+4}{2}$, $x+y=5$. Giao của $y=2x+2$ và $y=\frac{x+4}{2}$: $x=0$, $y=2$. Giao của $y=2x+2$ và $x+y=5$: $x=1$, $y=4$. Giao của $y=\frac{x+4}{2}$ và $x+y=5$: $x=2$, $y=3$. Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;3)$.
a) $F=y-x$ tại $(0;2)=2$, tại $(1;4)=3$, tại $(2;3)=1$. Vì $F$ tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền đạt tại đỉnh, $\min F=1$. Đúng.
b) Trên miền nghiệm, $2x-y$ đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh: tại $(0;2)=-2$, tại $(1;4)=-2$, tại $(2;3)=1$. $\max (2x-y)=1\le 7$ nên mọi điểm của miền đều thỏa $2x-y\le 7$. Đúng.
c) Thử $(1;3)$: $y-2x=1\le 2$ ✓; $2y-x=5\ge 4$ ✓; $x+y=4\le 5$ ✓. Vậy $(1;3)$ thuộc miền nghiệm. Đúng.
d) Thử $(0;3)$: $y-2x=3>2$, vi phạm bất phương trình thứ nhất. Vậy $(0;3)$ không là nghiệm. Sai.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1101: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F=y-x$ tuyến tính, đạt min tại đỉnh của miền tam giác $(0;2)$, $(1;4)$, $(2;3)$: giá trị lần lượt $2$, $3$, $1$ nên $\min F=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Max của $2x-y$ trên miền nghiệm là $1$ (tại $(2;3)$), nên $2x-y\le 7$ luôn đúng với mọi điểm thuộc miền.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(1;3)$: $1\le 2$, $5\ge 4$, $4\le 5$, thỏa cả ba bất phương trình nên thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(0;3)$: $y-2x=3>2$ vi phạm bất phương trình $y-2x\le 2$, nên không là nghiệm của hệ.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút với giá 6000 đồng/cây, tốn $10\times 6000=60000$ đồng. Số tiền còn lại là $150000-60000=90000$ đồng. Số quyển tập tối đa mua được là $\lfloor \frac{90000}{8000}\rfloor =\lfloor 11,25\rfloor =11$ quyển (vì 12 quyển tốn 96000 đồng > 90000 đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 11.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng phương án: A: $x-y<0$ và $2y\ge 0$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. B: $-x^2+y<4$ có ẩn $x$ ở bậc hai, không phải bậc nhất. C: $y^2+3<0$ có ẩn $y$ ở bậc hai, không phải bậc nhất. D: $x+y^2<0$ có ẩn $y$ ở bậc hai, không phải bậc nhất. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A có $y^2$ (bậc hai) nên sai; C có $\frac{x}{y}$ (phân thức) nên sai; D có $x^2$ (bậc hai) nên sai; B: $x-y>3$ có ẩn chỉ ở bậc nhất, thỏa mãn định nghĩa. Đáp án khớp với mã đề 1101 (Câu 9: B).

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II nên sản xuất. Điều kiện x, y nguyên dương. Ta có hệ bất phương trình sau: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+2y\le 230\\ 2x+3y\le 220\end{array}(1)$$ Tiền lãi $F(x;y)=500x+600y$ (nghìn đồng). Tìm cặp $(x,y)$ thỏa (1) để $F(x;y)$ lớn nhất. Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ được miền nghiệm là miền tứ giác OMNP với $O(0;0)$; $M\left(\frac{230}{3};0\right)$; $N(50;40)$; $P\left(0;\frac{220}{3}\right)$. Xét $F(x;y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm, ta được $F(x;y)$ đạt lớn nhất bằng 49.000 nghìn đồng khi x = 50, y = 40. Vậy xưởng cơ khí nên sản xuất 50 sp loại I và 40 sp loại II thì thu được lợi nhuận lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A: $2x-5y\le 0$ thỏa mãn (bậc nhất hai ẩn). B: $3x^2+2y>4$ có $x^2$ nên bậc hai. C: $2x+5y^2>3$ có $y^2$ nên bậc hai. D: $2x+3y+z<5$ có ba ẩn. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $2x+y>3$: Với $Q(-1;-3)$: $2(-1)+(-3)=-5<3$ nên $Q$ không thuộc miền nghiệm. Với $M\left(4;-\frac{3}{2}\right)$: $8-\frac{3}{2}=\frac{13}{2}>3$ (thuộc). Với $N(1;4)$: $2+4=6>3$ (thuộc). Với $P\left(\frac{7}{2};-1\right)$: $7-1=6>3$ (thuộc). Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $Q(-1;-3)$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất theo hai ẩn $x$, $y$. A có $2xy+y^2>1$ chứa tích và bình phương nên không bậc nhất. B có $2x^2+y-1>0$ và $x-y^2+4<0$ chứa $x^2$, $y^2$ nên không bậc nhất. D có $x+y^3>1$ chứa $y^3$ và $x-y+z<0$ có ba ẩn nên không thỏa mãn. C có $2x+y-1>0$ và $x-y+4<0$, cả hai đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$: Với $Q(-1;4)$: $2(-1)+3(4)-1=9>0$ và $5(-1)-4+4=-5<0$, cả hai đều thỏa. Với $P(-2;-4)$: $2(-2)+3(-4)-1=-17<0$ (loại). Với $N(-2;1)$: $-4+3-1=-2<0$ (loại). Với $M(-3;0)$: $-6-1=-7<0$ (loại). Vậy chỉ có $Q(-1;4)$ thuộc miền nghiệm, khớp đáp án A của đề (mã 102).

Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II nên sản xuất. Điều kiện x, y nguyên dương. Ta có hệ bất phương trình sau: $$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+2y\le 230\\ 2x+3y\le 220\end{array}(1)$$ Tiền lãi $F(x;y)=500x+400y$ (nghìn đồng). Tìm cặp $(x,y)$ thỏa (1) để $F(x;y)$ lớn nhất. Biểu diễn miền nghiệm của hệ (1) lên mặt phẳng tọa độ được miền nghiệm là miền tứ giác OMNP với $O(0;0)$; $M\left(\frac{230}{3};0\right)$; $N(50;40)$; $P\left(0;\frac{220}{3}\right)$. Xét $F(x;y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm, ta được $F(x;y)$ đạt lớn nhất bằng 41.000 nghìn đồng khi x = 50, y = 40. Vậy xưởng cơ khí nên sản xuất 50 sp loại I và 40 sp loại II thì thu được lợi nhuận lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A. $2x-5y+3z\le 0$ có ba ẩn nên không phải. B. $3x^2+2y-4>0$ có ẩn $x$ bậc hai nên không phải. C. $2x^2+5y>3$ có ẩn $x$ bậc hai nên không phải. D. $2x+3y<5$ có dạng bậc nhất hai ẩn, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $2x+y>3$:
- $Q(-1;-3)$: $2(-1)+(-3)=-5<3$, không thỏa.
- $M\left(4;\frac{3}{2}\right)$: $2\cdot 4+\frac{3}{2}=\frac{19}{2}>3$, thỏa.
- $N(1;-4)$: $2\cdot 1+(-4)=-2<3$, không thỏa.
- $P\left(\frac{3}{2};-1\right)$: $2\cdot \frac{3}{2}+(-1)=2<3$, không thỏa.
Vậy điểm $M\left(4;\frac{3}{2}\right)$ thuộc miền nghiệm, khớp với đáp án B trong bảng HD chấm (đề 101, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}2x+3y-1>0\\ 5x-y+4<0\end{array}$: Với $Q(-1;4)$: $2(-1)+3(4)-1=9>0$ và $5(-1)-4+4=-5<0$ → thuộc miền nghiệm. Với $P(-2;4)$: $-4+12-1=7>0$ và $-10-4+4=-10<0$ → thuộc miền nghiệm. Với $N(-2;1)$: $2(-2)+3(1)-1=-2<0$ → không thỏa bất phương trình đầu, nên $N$ không thuộc miền nghiệm. Với $M(-3;4)$: $-6+12-1=5>0$ và $-15-4+4=-15<0$ → thuộc miền nghiệm. Vậy điểm không thuộc miền nghiệm là $N(-2;1)$, khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số sản phẩm $I$ và $II$ sản xuất trong tháng ($x,y\ge 0$). Ràng buộc về thời gian: Chiến làm $3x+2y\le 180$ giờ, Bình làm $x+6y\le 220$ giờ. Lợi nhuận (triệu đồng): $P=0,5x+0,4y$. Miền ràng buộc là tứ giác với các đỉnh $(0;0)$, $(60;0)$, giao điểm của $3x+2y=180$ và $x+6y=220$, và $(0;\frac{110}{3})$. Giải hệ: từ $x=180-2y$ (chia 3) thay vào: $\frac{180-2y}{3}+6y=220\Rightarrow 180-2y+18y=660\Rightarrow 16y=480\Rightarrow y=30$, $x=40$. Tính $P$ tại các đỉnh: $(0;0)$: $0$; $(60;0)$: $30$; $(40;30)$: $0,5\cdot 40+0,4\cdot 30=20+12=32$; $(0;\frac{110}{3})$: $\approx 14,67$. Vậy lợi nhuận lớn nhất là $32$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $40$ sản phẩm $I$ và $30$ sản phẩm $II$ (kiểm tra: Chiến $3\cdot 40+2\cdot 30=180$ giờ, Bình $40+6\cdot 30=220$ giờ, đều thỏa). Kết quả khớp với đáp án nguồn: 32.

Đáp án theo bảng đáp án chính thức: 14. (Lời giải nguồn ghi "Đáp số: 9" nhưng tính ra 14.) Gọi $x,y$ lần lượt là số xe loại A và B mà đại lý cần thuê. ĐK $\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\end{array}$. Từ đề bài ta có: $\{\begin{array}{l}20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}$. Khi đó, số tiền thuê xe là: $T=5x+4,5y$. Miền nghiệm $(x,y)$ là tứ giác $ABCD$ với $A\left(\frac{5}{2};9\right)$, $B(5;4)$, $C(10;2)$, $D(10;9)$, như hình vẽ: . Tại đỉnh $B$ thì $T=43$ đạt giá trị nhỏ nhất nên $x=5,y=4\Rightarrow 2x+y=14$.

Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu chính phủ, trái phiếu ngân hàng lần lượt là $x,y$ (triệu đồng) $(0\le x,y\le 1200)$.

Khi đó bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp là $1200-x-y$ (triệu đồng)

Vì lí do giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư lãi suất chính phủ gấp ít nhất 3 lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: $x\ge 3y$ hay $x-3y\ge 0$.

Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không quá 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: $1200-x-y\le 200$ hay $x+y\ge 1000$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}0\le x\le 1200\\ 0\le y\le 1200\\ x-3y\ge 0\\ x+y\ge 1000\end{array}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $ABCD$ với tọa độ các điểm $A(1000;0)$, $B(750;250)$, $C(1200;400)$, $D(1200;0)$. Như hình vẽ dưới đây.



Lợi nhuận bác An thu được là: $F(x,y)=7\%x+8\%y+12\%(1200-x-y)$ (triệu đồng) hay $F(x,y)=0,07x+0,08y+0,12(1200-x-y)=144-0,05x-0,04y$ (triệu đồng)

Tính giá trị của $F(x,y)$ tại các điểm $A,B,C,D$ ta được:
$F(1000;0)=94$ (triệu đồng)
$F(750;250)=96,5$ (triệu đồng)
$F(1200;400)=68$ (triệu đồng)
$F(1200;0)=84$ (triệu đồng)

Suy ra hàm $F(x;y)$ lớn nhất bằng 96,5 (triệu đồng) khi $x=750,y=250$.

Vậy bác An nên đầu tư 750 trái phiếu chính phủ, 250 trái phiếu ngân hàng và 200 trái phiếu doanh nghiệp để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(0;6)$ và $(3;0)$ nên có phương trình: $y=-2x+6$, tức $2x+y-6=0$. Miền gạch nằm phía trên đường thẳng $d$ (phía không chứa gốc tọa độ $O$, vì tại $O$ ta có $2\cdot 0+0-6=-6<0$). Trên hình, đường thẳng $d$ được vẽ nét liền nên miền nghiệm bao gồm cả các điểm trên $d$, do đó bất phương trình phải có dấu không nghiêm ngặt. Vậy miền gạch là miền nghiệm của $2x+y-6\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ mà mỗi bất phương trình đều bậc nhất đối với hai ẩn $x$, $y$. Xét từng phương án:
- A: $x\ge 0$ và $2x+3y<5$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn → thỏa mãn.
- B: $2x+3y^2<5$ có ẩn $y$ ở bậc 2 → không phải.
- C: $xy\ge 0$ có hạng tử bậc hai $xy$ → không phải.
- D: $x+y^2\ge 1$ có ẩn $y$ ở bậc 2 → không phải.
Vậy đáp án là A.