Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ (I): các đường biên là $2x+3y=9$, $x-2y=3$, $x+y=6$, $x=1$. Các đỉnh của miền nghiệm: giao $x=1$ với $x-2y=3$ là $(1;-1)$; giao $x-2y=3$ với $x+y=6$ là $(5;1)$; giao $x+y=6$ với $2x+3y=9$: giải $2x+3(6-x)=9\Rightarrow x=9,y=-3$, kiểm tra $x-2y=15>3$ nên không thuộc miền; giao $2x+3y=9$ với $x-2y=3$: $x=3+2y\Rightarrow 6+4y+3y=9\Rightarrow y=3/7,x=27/7$, kiểm tra $x+y=30/7\le 6$, $x\ge 1$ đúng, cho đỉnh $(27/7;3/7)$; giao $2x+3y=9$ với $x=1$ là $(1;7/3)$. Vậy miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(1;-1),(5;1),(27/7;3/7),(1;7/3)$.
a) Xét $F=3x-y+2025$, tính $3x-y$ tại các đỉnh: $(1;-1):4$; $(5;1):14$; $(27/7;3/7):78/7\approx 11,14$; $(1;7/3):3-7/3=2/3$. Giá trị nhỏ nhất của $F$ là $2025+2/3=2025\frac{2}{3}$ tại $(1;7/3)$, không phải 2023 tại $(1;5)$ (điểm $(1;5)$ còn vi phạm $x+y\le 6$). → Sai.
b) Giá trị lớn nhất của $F$ là $2025+14=2039$ tại $(5;1)$, không phải 2029. → Sai.
c) Kiểm tra: $A(3;2)$: $12\ge 9$, $-1\le 3$, $5\le 6$, $3\ge 1$ → thuộc. $B(4;1)$: $11\ge 9$, $2\le 3$, $5\le 6$, $4\ge 1$ → thuộc. $C(5;1)$: $13\ge 9$, $3\le 3$, $6\le 6$, $5\ge 1$ → thuộc. Cả ba điểm đều thuộc miền nghiệm, không phải hai điểm. → Sai.
d) Miền nghiệm là tứ giác (4 đỉnh), không phải tam giác. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
GTNN của $F$ trên miền nghiệm là $2025\frac{2}{3}$ tại $(1;7/3)$, không phải 2023 tại $(1;5)$ (điểm này vi phạm $x+y\le 6$).
b) (AI giải đề cho tôi)
GTLN của $F$ là $3\cdot 5-1+2025=2039$ tại $(5;1)$, không phải 2029.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba điểm $A(3;2),B(4;1),C(5;1)$ đều thỏa cả 4 bất phương trình nên đều thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tứ giác với 4 đỉnh $(1;-1),(5;1),(27/7;3/7),(1;7/3)$, không phải tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: chi phí $20x+40y\le 160\iff x+2y\le 8$; Tik Tok chỉ nhận hợp đồng trên 6 triệu lượt nên $x>6$; You Tube chỉ nhận dưới 3 triệu lượt nên $y<3$. Hiệu quả quảng cáo (YouTube gấp 3 lần TikTok) là $T=x+3y$, cần最大化 $T$. Với $x+2y\le 8$, ta có $T=x+3y=(x+2y)+y\le 8+y<11$; đồng thời từ $x>6$ suy ra $2y<2\Rightarrow y<1$, nên $T=x+3y=(x+2y)+y<8+1=9$. Vậy $T<9$, giá trị lớn nhất tiệm cận $9$ khi $x\to 6^{+},y\to 1^{-}$ (chi phí $\to 160$ triệu). Trong các đáp án, giá trị hiệu quả cao nhất công ty đạt được (làm tròn theo bài) là $T=9$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền: $140x+180y$ (nghìn đồng), tổng khối lượng $x+y$ kg. Điều kiện giá không quá 160 nghìn đồng/kg: $\frac{140x+180y}{x+y}\le 160$ (với $x,y\ge 0$, $x+y>0$). Suy ra $140x+180y\le 160x+160y\iff 20y\le 20x\iff x-y\ge 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $3x+5y\le 6$. a) Thay $(0;1)$: $3\cdot 0+5\cdot 1=5\le 6$, đúng. b) Thay $B(2;2)$: $3\cdot 2+5\cdot 2=16>6$, không thỏa nên $B$ không thuộc miền nghiệm, sai. c) Với $x=0$: $5y\le 6\iff y\le \frac{6}{5}$, có vô số giá trị $y$ thỏa mãn, đúng. d) Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3x+5y=6$ chứa gốc tọa độ (vì $3\cdot 0+5\cdot 0=0\le 6$), tức phần nằm dưới đường thẳng, bao gồm cả bờ; hình vẽ tô đậm đúng miền này (đi qua $(2;0)$ và $(0;1,2)$), đúng. Kết quả khớp đáp án mã 1012: ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(0;1)$: $3\cdot 0+5\cdot 1=5\le 6$ nên là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(2;2)$: $3\cdot 2+5\cdot 2=16>6$ nên $B$ không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$: $5y\le 6\iff y\le \frac{6}{5}$, vô số giá trị $y$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là nửa mặt phẳng $3x+5y\le 6$ (phía dưới đường thẳng $3x+5y=6$, chứa gốc tọa độ), gồm cả bờ, trùng miền tô đậm trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình các cạnh: AB: $3x-2y+6=0$; BC: $x+3y-9=0$; CD: $x-3=0$; DA: $2x+5y+4=0$. Lấy điểm trong tứ giác (ví dụ $(1;0)$) xác định phía trong: $3x-2y+6>0$, $x+3y-9<0$, $x<3$, $2x+5y+4>0$. Thay $M(m;m+2)$: $m+2>0\Rightarrow m>-2$; $4m-3<0\Rightarrow m<\frac{3}{4}$; $m<3$; $7m+14>0\Rightarrow m>-2$. Vậy $-2<m<\frac{3}{4}$, các giá trị nguyên: $m=-1;m=0$. Kết quả: 2 giá trị, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (100g) là khối lượng thịt bò, $y$ (100g) là khối lượng trứng; theo tỉ lệ yến mạch : thịt bò $=3:2$ nên khối lượng yến mạch là $1,5x$ (100g). Các ràng buộc: Protein: $26x+15y+14(1,5x)\le 139\iff 47x+15y\le 139$; Carb: $120x+0,7y\le 242,1$; Chất béo: $5x+9y+10(1,5x)\le 80\iff 20x+9y\le 80$; $0\le y\le 8$. Hàm mục tiêu (tiền): $f=22x+7y+21(1,5x)=53,5x+7y$. Xét các đỉnh miền ràng buộc: giao của đường Protein và Carb: $47x+15y=139$, $120x+0,7y=242,1$ suy ra $y=\frac{242,1-120x}{0,7}$, thay vào: $47x+\frac{15(242,1-120x)}{0,7}=139\Rightarrow x=2,y=3$. Kiểm tra: Protein $=52+45+42=139$ (đúng), Carb $=240+2,1=242,1$ (đúng), chất béo $=10+27+30=67\le 80$ (đúng), $y=3\le 8$ (đúng). Chi phí $f=53,5\cdot 2+7\cdot 3=128>0$... so với các đỉnh khác: giao chất béo–protein cho $x=\frac{17}{41},y\approx 7,97$ với $f\approx 77,95$; đỉnh $(0,4;8)$ có $f=77,4$; đỉnh $\left(\frac{19}{47};8\right)$ có $f\approx 77,63$. Vậy chi phí lớn nhất đạt tại $x=2,y=3$ (tức 200g thịt bò, 300g trứng, 300g yến mạch). Tổng khối lượng theo đơn vị 100g của 3 loại là $x+y+1,5x=2+3+3=8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét các phương án: A có $2x^2$ (bậc hai theo $x$) nên loại; B có $3y^2$ (bậc hai theo $y$) nên loại; C có cả $x^2$ và $y^2$ nên loại; D là $x+3y\le 0$ có ẩn $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn định nghĩa. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1012: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào hệ $\{\begin{array}{l}x-3y<0\\ x+2y>-3\\ x+y<2\end{array}$: Với A $(-3;-2)$: $x-3y=-3-3(-2)=3>0$, vi phạm bất phương trình thứ nhất, nên không là nghiệm. Với B $(-1;0)$: $-1<0$, $-1>-3$, $-1<2$: thỏa cả ba. Với C $(0;1)$: $-3<0$, $2>-3$, $1<2$: thỏa cả ba. Với D $(-2;2)$: $-8<0$, $2>-3$, $0<2$: thỏa cả ba. Vậy cặp không là nghiệm là $(-3;-2)$, khớp đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng khối lượng cà phê trộn là $x+y$ (kg), tổng tiền là $140x+180y$ (nghìn đồng). Giá trung bình không quá 170 nghìn đồng/kg nên $$\frac{140x+180y}{x+y}\le 170\Rightarrow 140x+180y\le 170x+170y\Rightarrow 10x-30y\ge 0\Rightarrow 3x-y\ge 0.$$ Vậy bất phương trình cần tìm là $3x-y\ge 0$, tương ứng đáp án D (khớp với đáp án nguồn mã đề 1011). Lưu ý B và C sai vì $140x+180y$ là tổng tiền chứ không phải giá mỗi kg; A là bất phương trình ngược chiều.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã 1011, Phần II câu 2 (trang 9): SĐSĐ (a Sai, b Đúng, c Sai, d Đúng). Kiểm tra: a) $3\cdot 3+5\cdot 3=24>6$ → Sai; b) $3\cdot (-2)+5\cdot 2=4\le 6$ → Đúng; c) với $x=0$, $y\le \frac{6}{5}$ có vô số giá trị → Sai; d) miền tô đậm gồm cả bờ $3x+5y=6$ → Đúng.
a) Thay $x=3,y=3$: $3\cdot 3+5\cdot 3=24>6$, nên cặp $(3;3)$ không thỏa mãn bất phương trình. → Sai.
b) Thay $x=-2,y=2$: $3\cdot (-2)+5\cdot 2=4\le 6$, nên điểm $B(-2;2)$ thuộc miền nghiệm. → Đúng.
c) Với $x=0$ ta có $5y\le 6$, tức $y\le \frac{6}{5}$: có vô số giá trị của $y$ thỏa mãn. → Sai.
d) Miền nghiệm của $3x+5y\le 6$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $3x+5y=6$ (không qua gốc tọa độ) chứa gốc tọa độ, gồm cả bờ vì dấu là $\le$; đây chính là miền tô đậm trong hình vẽ. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án:
- A: $x-2y^2\le 4$ có ẩn $y$ xuất hiện với số mũ 2 (hạng $y^2$), nên không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
- B: $-x+3y-1<0$ có dạng bậc nhất hai ẩn với $a=-1,b=3$.
- C: $y+2\ge 0$ có dạng bậc nhất hai ẩn với $a=0,b=1$.
- D: $2x-3\ge 0$ có dạng bậc nhất hai ẩn với $a=2,b=0$.
Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 1011: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\\ x-y<3\end{array}$:
- A $(0;-1)$: $x-2y=0-2(-1)=2>0$ → không thỏa.
- B $(1;0)$: $x-2y=1>0$ → không thỏa.
- C $(4;1)$: $x-2y=4-2=2>0$ → không thỏa.
- D $(1;2)$: $x-2y=1-4=-3<0$ ✓; $x+3y=1+6=7>-2$ ✓; $x-y=1-2=-1<3$ ✓. Điểm $(1;2)$ thỏa cả ba bất phương trình, thuộc miền nghiệm.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số xe loại A, $y$ là số xe loại B ($0\le x\le 3$, $0\le y\le 8$, nguyên). Ràng buộc: $20x+10y\ge 100\iff 2x+y\ge 10$. Hàm chi phí: $f=3x+2y$ (triệu đồng). Chi phí trên mỗi máy: xe A là $3/20=0,15$ triệu, xe B là $2/10=0,2$ triệu, nên ưu tiên dùng tối đa xe A. Với $x=3$: cần $y\ge 10-6=4$, thỏa $y\le 8$. Chi phí $f=3\cdot 3+2\cdot 4=17$ triệu đồng. Kiểm tra các phương án khác: $x=2,y\ge 6\Rightarrow f=18$; $x=1,y\ge 8\Rightarrow f=19$; $x=0,y=10$ vượt giới hạn. Vậy chi phí tối thiểu là $17$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng canxi từ $x$ lạng thịt là $15x$ mg, từ $y$ lạng đậu nành là $165y$ mg. Nhu cầu tối thiểu là $1300$ mg nên $15x+165y\ge 1300$. Chia hai vế cho 5: $3x+33y\ge 260$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 232, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm bị chặn bởi hình chữ nhật $[0;2]\times [0;1,5]$ cùng hai nửa mặt phẳng $4x+3y\ge 6$ và $x+2y\ge 4$. Các đỉnh của miền nghiệm: giao của $4x+3y=6$ với $y=1,5$ là $(0,375;1,5)$; giao của $x+2y=4$ với $y=1,5$ là $(1;1,5)$; đỉnh $(2;1,5)$; giao của $x+2y=4$ với $x=2$ là $(2;1)$ (thỏa $4x+3y=11\ge 6$). Tính $T=200x+100y$ tại các đỉnh: $T(0,375;1,5)=225$; $T(1;1,5)=350$; $T(2;1,5)=550$; $T(2;1)=500$. Vậy $\max T=550$ tại $(x;y)=(2;1,5)$, trùng với đáp án nguồn.

a) - Điều kiện xác định $3x-6\ge 0\iff x\ge 2$ (0.25đ)

- Tập xác định của hàm số là $D=[2;+\infty )$ (0.25đ)

b) Gọi x, y lần lượt là số tủ loại A, loại B mà công ty cần mua.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với x, y như sau:
- Hiển nhiên $x\ge 0,y\ge 0$
- Mặt bằng nhiều nhất là $60m^2$ nên $3x+6y\le 60$
- Ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên $7,5x+5y\le 60$

Từ đó ta có hệ bất phương trình:
$$\{\begin{array}{l}3x+6y\le 60\\ 7,5x+5y\le 60\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$

Biểu diễn từng miền nghiệm của mỗi bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy. (0.25đ)



Miền không gạch chéo (miền tứ giác $OABC$, bao gồm cả các cạnh) trong hình trên là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Với các đỉnh $O(0;0),A(0;10),B(2;9),C(8;0)$.

Gọi $F$ là số tiền lãi (đơn vị: triệu đồng) thu về, ta có: $F=12x+18y$

Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0;0)$, $F=12.0+18.0=0$

Tại $A(0;10)$: $F=12.0+18.10=180$

Tại $B(2;9)$, $F=12.2+18.9=186$

Tại $C(8;0)$, $F=12.8+18.0=96$

F đạt giá trị lớn nhất bằng 186 tại $B(2;9)$,

Vậy công ty đó nên mua 2 tủ loại $A$ và 9 tủ loại $B$ để thể tích đựng hồ sơ là lớn nhất. (0.25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ bất phương trình $x-y>0$, $x-3y+3<0$, $x+y-5>0$.
- Điểm $(5;3)$: $5-3=2>0$; $5-3\cdot 3+3=-1<0$; $5+3-5=3>0$. Thỏa cả ba bất phương trình.
- Điểm $(0;0)$: $0-0=0$ không $>0$, loại.
- Điểm $(1;-1)$: $1-3(-1)+3=7$ không $<0$, loại.
- Điểm $(-2;2)$: $-2-2=-4$ không $>0$, loại.
Vậy miền nghiệm chứa điểm $(5;3)$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 232, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua hai điểm $(4;0)$ và $(0;-2)$, nên có phương trình: $\frac{x}{4}+\frac{y}{-2}=1\iff x-2y=4$. Miền không gạch chéo nằm phía dưới đường thẳng (thử điểm $(0;-4)$ thuộc miền không gạch chéo: $0-2(-4)=8>4$). Vì miền có kề bờ (bao gồm cả đường thẳng biên), bất phương trình phải là $x-2y\ge 4$. Loại C (không kề bờ), loại A (miền ngược lại), loại D (đường thẳng $4x-2y=1$ không đi qua các điểm $(4;0)$, $(0;-2)$). Đáp án khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Miền nghiệm của hệ là tam giác giới hạn bởi $x\ge -2$, $y\ge 1$, $x+2y\le 4$ (ví dụ $(0;1)$, $(0;2)$, $(1;1)$ đều là nghiệm), nên hệ có vô số nghiệm. b) Đúng. Thay $(0;2)$: $0\ge -2$ đúng; $2\ge 1$ đúng; $0+2\cdot 2=4\le 4$ đúng, nên $(0;2)$ là nghiệm của hệ. c) Sai. Đường thẳng bờ của (3) là $x+2y=4$. Thay $A(1;2)$: $1+2\cdot 2=5\ne 4$, nên $A$ không thuộc đường thẳng bờ. d) Sai. Thay $(2;1)$: $2\ge -2$ đúng; $1\ge 1$ đúng; $2+2\cdot 1=4\le 4$ đúng, nên $(2;1)$ là nghiệm của hệ, do đó khẳng định '$(2;1)$ không là nghiệm' là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác không rỗng (chứa $(0;1)$, $(0;2)$, $(1;1)$,...), nên hệ có vô số nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(0;2)$: $0\ge -2$, $2\ge 1$, $0+2\cdot 2=4\le 4$ đều đúng nên là nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bờ của (3): $x+2y=4$; tại $A(1;2)$ ta có $1+4=5\ne 4$ nên $A$ không thuộc đường thẳng bờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(2;1)$: $2\ge -2$, $1\ge 1$, $2+2=4\le 4$ đều đúng nên $(2;1)$ là nghiệm; khẳng định '$(2;1)$ không là nghiệm' sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số xe du lịch, $y$ là số xe tải ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: $3x+5y\le 450$ (diện tích), $x+y\le 120$ (số xe phục vụ). Doanh thu $P=40x+50y$ (nghìn đồng). Xét các đỉnh miền ràng buộc: $(0;90)$: $P=4500$; $(120;0)$: $P=4800$; giao điểm $3x+5y=450$ và $x+y=120$: thay $y=120-x$ ta được $3x+600-5x=450\Rightarrow x=75$, $y=45$, khi đó $P=40\cdot 75+50\cdot 45=3000+2250=5250$ nghìn đồng. Vậy doanh thu cao nhất là $5250$ nghìn đồng, khớp với đáp án nguồn.