Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm giới hạn bởi $x\ge 0$, $y\ge 0$ và đường thẳng $2x+3y=18$. Giao với trục: $2x=18\Rightarrow x=9$ (điểm $(9;0)$) và $3y=18\Rightarrow y=6$ (điểm $(0;6)$). Miền nghiệm là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông $9$ và $6$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Bước 1: Vẽ đường thẳng biên $2x+y=1$. Đường thẳng này đi qua hai điểm $(0;1)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$; vẽ đường thẳng qua hai điểm đó (vẽ nét đứt vì dấu là $<$, không lấy các điểm trên đường thẳng). Bước 2: Xét điểm $O(0;0)$: thay vào bất phương trình ta được $2\cdot 0+0=0<1$ (đúng), nên miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ $O$, tức là nửa mặt phẳng nằm về phía dưới (gồm gốc tọa độ) so với đường thẳng $2x+y=1$, không kể bờ. Vậy miền nghiệm của $2x+y<1$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $2x+y=1$ (vẽ nét đứt), chứa điểm $O(0;0)$, tức phần mặt phẳng nằm dưới đường thẳng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua hai điểm $(0;3)$ và $(2;0)$ nên có phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$, tức $3x+2y=6$. Trong hình, hai miền bị gạch chéo là miền nằm trên đường thẳng $3x+2y=6$ và miền nằm dưới trục $Ox$. Vậy phần không gạch chéo (không kể các đường thẳng) là miền nằm dưới đường thẳng $3x+2y=6$ và phía trên trục $Ox$, tức là miền thỏa $y>0$ và $3x+2y<6$. Thử điểm trong miền, ví dụ $(0;1)$: $y=1>0$ và $3\cdot 0+2\cdot 1=2<6$, đúng. Vậy hệ bất phương trình là $\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm giới hạn bởi các đường thẳng x=2, y=2, x+y+2=0. Các đỉnh: giao x=2 và y=2 là A(2;2); giao x=2 và x+y+2=0 là B(2;-4); giao y=2 và x+y+2=0 là C(-4;2). Độ dài các cạnh: AB=6, AC=6, BC=√(6²+6²)=6√2. Vậy cạnh lớn nhất là 6√2, mệnh đề a) đúng. b) 2−x≥0 ⟺ x≤2, tập nghiệm là (−∞;2], không phải [2;+∞) nên sai. c) Thay (0;1): 2−0=2≥0; 1≤2; 0+1+2=3≥0, thỏa cả ba bất phương trình nên đúng. d) Bất phương trình x+y+2≥0 là bất đẳng thức không nghiêm ngặt nên đường thẳng x+y+2=0 (biên) thuộc miền nghiệm, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Ba đỉnh miền nghiệm là (2;2), (2;-4), (-4;2). Các cạnh dài 6, 6, 6√2 nên cạnh lớn nhất bằng 6√2, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
2−x≥0 ⟺ x≤2, tập nghiệm là (−∞;2] chứ không phải [2;+∞), sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(0;1) thỏa: 2−0=2≥0, 1≤2, 0+1+2=3≥0, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì bất phương trình x+y+2≥0 có dấu ≥ (không nghiêm ngặt), đường biên x+y+2=0 thuộc miền nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(b;0)$ vào bất phương trình: $b+3\cdot 0+1\ge 0\iff b\ge -1$. Vì $b$ là số nguyên âm nên $b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+y\le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $x+y=0$ (kể cả bờ), chứa vô số điểm, ví dụ $(-1;0),(-2;0),(-1;-1),\dots$ Vậy bất phương trình có vô số nghiệm, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp với hệ $\{\begin{array}{l}x+y\le 2\\ x-y>-1\end{array}$: A $(0;1)$: $x-y=-1>-1$ sai. B $(-2;1)$: $x-y=-3>-1$ sai. C $(1;-1)$: $x+y=0\le 2$ đúng và $x-y=2>-1$ đúng, thỏa cả hai bất phương trình. D $(3;2)$: $x+y=5\le 2$ sai. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng bờ (đứt nét) đi qua hai điểm $(-2;0)$ và $(0;3)$ nên có phương trình $\frac{x}{-2}+\frac{y}{3}=1\iff 3x-2y=-6$. Trong hình vẽ, miền gạch chéo nằm phía trên-bên trái của đường thẳng, nên nửa mặt phẳng không bị gạch chéo là phần phía dưới-bên phải, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$. Thử $(0;0)$: $3\cdot 0-2\cdot 0=0>-6$. Vậy miền không gạch chéo (không kể bờ vì đường bờ đứt nét) là miền nghiệm của $3x-2y>-6$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay gốc tọa độ $O(0;0)$ vào $2x+3y>4$ ta được $0>4$, sai. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ, bờ là đường thẳng $2x+3y=4$. Vì bất phương trình là $>$ (không có dấu bằng), bờ không thuộc miền nghiệm, tức không kể bờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mọi bất phương trình đều bậc nhất đối với $x$ và $y$. Xét từng hệ: Hệ A gồm $x\ge 0$, $x+y\le 3$, $2x+3y\le 8$ — tất cả đều bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn. Hệ B có $x^2+3y\le 5$ chứa $x^2$ (bậc hai) nên không phải. Hệ C có $x+y^2\le 5$ chứa $y^2$ nên không phải. Hệ D có $x-2xy\le 8$ chứa hạng tử $xy$ (bậc hai) nên không phải. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình biểu thị: $x\ge 0$, $y\ge 0$, $x+2y\le 100$.
a) Đúng: tiền gọi nội mạng là $1\cdot x=x$ nghìn đồng, ngoại mạng là $2\cdot y=2y$ nghìn đồng.
b) Sai: 'không quá 100 nghìn đồng' nghĩa là $x+2y\le 100$, không phải $x+2y<100$.
c) Đúng: tại $A(60;20)$: $x=60\ge 0$, $y=20\ge 0$, $x+2y=60+40=100\le 100$, nên $A$ thuộc miền nghiệm.
d) Sai: miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $(0;0)$, $(100;0)$, $(0;50)$, không phải hình vuông.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tiền nội mạng: $x$ nghìn đồng; tiền ngoại mạng: $2y$ nghìn đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải là $x+2y\le 100$ vì số tiền không quá 100 nghìn đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$60+2\cdot 20=100\le 100$ và $x,y\ge 0$ nên $A(60;20)$ thuộc miền nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với đỉnh $(0;0)$, $(100;0)$, $(0;50)$, không phải hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đường thẳng $2x+3y=a$ đi qua $(0;2)$ và $(3;0)$, nên $a=2\cdot 3+3\cdot 0=6$. Đường thẳng $2x-y=b$ đi qua $(-1;0)$ và $(0;2)$, nên $b=2\cdot 0-2=-2$. Miền gạch chéo nằm phía dưới/phải của cả hai đường thẳng, phù hợp với hai bất phương trình dạng $\le$. Vậy $a+b=6+(-2)=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}3x-y<0\\ x+y\ge 2\end{array}$: Điểm $(5;1)$: $3\cdot 5-1=14>0$ nên không thỏa bất phương trình đầu. Điểm $(1;4)$: $3\cdot 1-4=-1<0$ (thỏa) và $1+4=5\ge 2$ (thỏa), vậy $(1;4)$ thuộc miền nghiệm. Điểm $(1;1)$: $3-1=2>0$ không thỏa. Điểm $(0;0)$: $0<0$ sai và $0\ge 2$ sai. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bất phương trình $x+2y-10\le 0$ ta có $F(x;y)=x+2y\le 10$. Dấu bằng xảy ra khi $x+2y=10$. Chọn ví dụ $y=3,x=4$: kiểm tra $0\le 3\le 4$, $x=4\ge 0$, $4-3-1=0\le 0$, $4+6-10=0\le 0$ — thỏa mãn tất cả các bất phương trình. Vậy giá trị lớn nhất của $F$ bằng $10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: nguyên liệu A: $2x+y\le 6$; nguyên liệu B: $x+2y\le 8$; nhu cầu: $0\le x\le 2$, $y\ge 0$.
a) Với $y=3$: từ $x+2y\le 8$ được $x\le 2$; từ $2x+y\le 6$ được $2x\le 3\Rightarrow x\le 1,5$. Vậy tối đa $x=1,5$ tấn → Đúng.
b) Với $x=1,y=4$: nguyên liệu A cần $2(1)+4=6\le 6$ (đủ), nhưng nguyên liệu B cần $1+2(4)=9>8$ (thiếu) → Sai.
c) Mỗi tấn sơn ngoài trời cần 2 tấn A, mỗi tấn sơn nội thất cần 1 tấn A, tổng dự trữ A là 6 tấn nên $2x+y\le 6$ → Đúng.
d) Doanh thu $T=70x+30y$ (triệu đồng). Miền ràng buộc có các đỉnh: $(0;0),(2;0),(2;2),(0;4)$. Tại $(2;0)$: $T=140$; tại $(2;2)$: $T=140+60=200$; tại $(0;4)$: $T=120$. Doanh thu lớn nhất là 200 triệu đồng → Đúng. Khớp với đáp án mã đề 221: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với y=3, điều kiện nguyên liệu B cho x≤2, điều kiện nguyên liệu A cho 2x+3≤6 ⇒ x≤1,5. Vậy lượng sơn ngoài trời tối đa là 1,5 tấn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sản xuất 1 tấn sơn ngoài trời và 4 tấn sơn nội thất cần 6 tấn A (đủ) nhưng 1+8=9 tấn B > 8 tấn (không đủ).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nguyên liệu A sử dụng là 2x+y và chỉ có 6 tấn A nên 2x+y≤6.
d) (AI giải đề cho tôi)
T=70x+30y trên miền đa giác đỉnh (0;0),(2;0),(2;2),(0;4); giá trị lớn nhất T=70(2)+30(2)=200 triệu đồng tại (2;2).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax+by\le c$ (với $a$, $b$ không đồng thời bằng 0) được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. Do đó mệnh đề C đúng. Mệnh đề A sai vì phủ định của định nghĩa này. Mệnh đề B sai vì tập nghiệm của $2x-3y+1<0$ là một nửa mặt phẳng (không kể đường thẳng $2x-3y+1=0$), không phải là đường thẳng. Mệnh đề D sai vì chẳng hạn $(0;0)$ thỏa $0\le c$ khi $c\ge 0$, nói chung tập nghiệm không rỗng (ví dụ $x+y\le 1$ có vô số nghiệm).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $-x+2+2(y-2)<2(1-x)\iff -x+2y-2<2-2x\iff x+2y-4<0$. Thử các điểm: $(0;0)$: $0+0-4=-4<0$ thỏa; $(1;1)$: $1+2-4=-1<0$ thỏa; $(4;2)$: $4+4-4=4>0$ không thỏa; $(1;-1)$: $1-2-4=-5<0$ thỏa. Vậy miền nghiệm chứa cả $(0;0)$, $(1;1)$, $(1;-1)$ nhưng không chứa $(4;2)$. Do đó nửa mặt phẳng (không chứa $(4;2)$) chứa điểm $(0;0)$ — đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $4(x-1)+5(y-3)>2x-9\iff 4x-4+5y-15>2x-9\iff 2x+5y-10>0$. Kiểm tra từng điểm: $(0;0)$: $-10>0$ sai; $(1;1)$: $2+5-10=-3>0$ sai; $(-1;1)$: $-2+5-10=-7>0$ sai; $(2;5)$: $4+25-10=19>0$ đúng. Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm $(2;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp vào bất phương trình $2x+y<1$: A: $2(-2)+1=-3<1$ thỏa. B: $2(3)+(-7)=-1<1$ thỏa. C: $2(0)+1=1\nless 1$ không thỏa. D: $2(0)+0=0<1$ thỏa. Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by<c$ (hoặc $\le ,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. A có ba ẩn; B, C có ẩn bậc hai. Chỉ D: $2x+3y<5$ thỏa mãn.