Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A $(0;0)$: $0<1$ đúng. B $(-2;1)$: $-4+1=-3<1$ đúng. C $(3;-7)$: $6-7=-1<1$ đúng. D $(0;1)$: $0+1=1$, không thỏa $1<1$. Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm, khớp đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Thử lần lượt các điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x-2y>4\\ 2x+y>6\end{array}$:
- $M(2;-1)$: $2-2(-1)=4$ không thỏa $>4$.
- $Q(-1;0)$: $-1-0=-1$ không thỏa $>4$.
- $N(7;1)$: $7-2(1)=5>4$ và $2(7)+1=15>6$, thỏa cả hai bất phương trình.
- $P(5;3)$: $5-6=-1$ không thỏa $>4$.
Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $N(7;1)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$ ta được $-1\ge 0$ sai, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ. c) Đúng: thay $O(0;0)$ vào $2x+3y\le 6$ được $0\le 6$ đúng, nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ chứa $O$ (kể cả $d_1$) là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$. d) Đúng: miền nghiệm của hệ là phần chung của ba miền: phía dưới $d_1$, phía trên $d_2:2x-3y=1$ và nửa mặt phẳng $x\ge 0$; đây là tam giác với ba đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{2})$ và giao điểm của $d_1,d_2$ là $\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$, đúng như hình (phần không bị gạch). Khớp đáp án nguồn: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1,y=2$: bất phương trình $2x+3y\le 6$ thỏa ($4\le 6$) nhưng $x\ge 0$ không thỏa vì $-1<0$. Vậy $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $2\cdot 0+3\cdot 0=0\le 6$, điểm $O(0;0)$ thuộc miền nghiệm của $2x+3y\le 6$, tức nửa mặt phẳng bờ $d_1$ chứa $O$ (kể cả $d_1$ do dấu $\le$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm của hệ là giao của: nửa mặt phẳng dưới $d_1:2x+3y=6$, nửa mặt phẳng trên $d_2:2x-3y=1$ và nửa mặt phẳng $x\ge 0$. Đây là miền tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{2})$, $\left(\frac{7}{4};\frac{5}{6}\right)$, đúng như phần không bị gạch trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng canxi từ $x$ lạng đậu nành là $277x$ mg, từ $y$ lạng thịt bò là $18y$ mg. Nhu cầu tối thiểu 1000 mg nên bất phương trình là $277x+18y\ge 1000$, tức $a=1000$, $b=277$. Suy ra $T=\frac{a}{2}-b=\frac{1000}{2}-277=500-277=223$.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $2x+3y\le 30$, $x+y\ge 12$, $x,y\in \mathbb{N}$. Cần tìm giá trị lớn nhất của $P=30x+50y$. Vì hiệu suất theo giờ: đèn sao $15$ ngàn/giờ, đèn thỏ $\approx 16,67$ ngàn/giờ nên ưu tiên $y$ lớn. Xét $y=10$: cần $x\ge 2$ nhưng $2x+30>30$ (loại). $y=9$: $x\le 1$ nhưng cần $x\ge 3$ (loại). $y=8$: $x\le 3$ nhưng cần $x\ge 4$ (loại). $y=7$: $x\le 4$ nhưng cần $x\ge 5$ (loại). $y=6$: $2x\le 12\Rightarrow x\le 6$ và $x\ge 6$ nên $x=6$, $P=30\cdot 6+50\cdot 6=480$. $y=5$: $x=7$, $P=460$. $y=0,x=15$: $P=450$; $x=12,y=0$: $P=360$. Vậy tiền lớn nhất là $480$ ngàn đồng tại $(x,y)=(6;6)$, khớp đáp án chính thức 480 (Mã đề 101, Câu 3, Phần III).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tam giác $ABC$ có $A(0;2)$, $B(5/2;0)$, $C(0;-2)$. Cạnh $AB$ nằm trên đường thẳng đi qua $(0;2)$ và $(5/2;0)$: $y=2-\frac{4}{5}x$, tức $4x+5y=10$; miền nghiệm nằm về phía chứa gốc $O$ nên $4x+5y\le 10$. Cạnh $BC$ nằm trên đường thẳng đi qua $(0;-2)$ và $(5/2;0)$: $y=\frac{4}{5}x-2$, tức $4x-5y=10$ hay $5x-4y=10$; miền chứa $O$ nên $5x-4y\le 10$. Cạnh $AC$ nằm trên trục $Oy$ với miền bên phải nên $x\ge 0$. Vậy hệ bất phương trình là $x\ge 0$; $5x-4y\le 10$; $4x+5y\le 10$, tương ứng phương án B (khớp với đáp án nguồn).

Đường thẳng d đi qua hai điểm (0; 3) và (1; 0) nên có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+y=3$. Miền bị gạch là nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng d (chứa điểm có tọa độ âm), còn nửa mặt phẳng không bị gạch là phần bên phải đường thẳng d. Lấy điểm đại diện thuộc miền không bị gạch, ví dụ (2; 0): $3\cdot 2+0=6>3$. Vậy miền không bị gạch (không kể d) là miền nghiệm của bất phương trình $3x+y>3$. (Lời giải do AI solution agent cung cấp; đáp án A khớp bảng đáp án chính thức mã đề 1001, Câu 7, trang 9.)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1,y=-2$ vào từng bất phương trình: A: $x-y=1-(-2)=3<0$ sai; B: $x+y-5=1-2-5=-6>0$ sai; C: $-x-3y-2=-1+6-2=3>0$ đúng; D: $x+y+1=1-2+1=0<0$ sai. Vậy đáp án C, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (câu 10: C).

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 1002, trang 7.)

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút, mỗi cây 6000 đồng nên số tiền mua bút là $10\times 6000=60000$ đồng. Số tiền còn lại để mua tập là $150000-60000=90000$ đồng. Giá mỗi quyển tập là 8000 đồng nên số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{90000}{8000}\rfloor =\lfloor 11,25\rfloor =11$ quyển (vì 12 quyển cần $12\times 8000=96000>90000$ đồng). Vậy đáp án là 11, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, Phần III câu 2 = 11).

Lập hệ bất phương trình. Gọi số bộ sản phẩm loại $I$ sản xuất trong một ngày là $x$, $(x\ge 0)$. Số bộ sản phẩm loại $II$ sản xuất trong một ngày là $y$, $(y\ge 0)$. Số lãi thu được là $L=5x+4y$. Số giờ làm việc của máy là $3x+3y$. Số giờ làm việc của công nhân là $2x+y$. Theo giả thiết: Một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, nhân công làm việc không quá 8 giờ ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$ (điểm: 0,25). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$ [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1] (điểm: 0,5). Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày? Tính các giá trị của biểu thức $L=5x+4y$ tại các đỉnh của tứ giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được: $(x;y)=(0;0)\Rightarrow L=0$; $(x;y)=(4;0)\Rightarrow L=20$; $(x;y)=(3;2)\Rightarrow L=23$; $(x;y)=(0;5)\Rightarrow L=20$. Giá trị lớn nhất cần tìm là $23$. Vậy số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là 23 triệu. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A. $2x+y>5$ có dạng bậc nhất theo hai ẩn $x,y$ — thỏa mãn. B. $2x^2+5y^2>3$ có ẩn bậc hai — không phải. C. $2x^2+3x+1>0$ chỉ có một ẩn và bậc hai — không phải. D. $2x+5y-3z>0$ có ba ẩn — không phải. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Sai: thay (3;1) vào y > 5 ta được 1 > 5, sai, nên điểm (3;1) không thuộc miền nghiệm.
c) Đúng: miền nghiệm giới hạn bởi ba đường thẳng x + 2y = 30, y = 5, -x + 3y = 30. Các giao điểm: x + 2y = 30 với y = 5 là (20;5); -x + 3y = 30 với y = 5 là (-15;5); x + 2y = 30 với -x + 3y = 30 là (6;12). Miền nghiệm là miền tam giác (mở, do y > 5 và -x + 3y < 30 là bất đẳng thức ngặt).
d) Sai: với nghiệm của hệ, từ -x + 3y < 30 suy ra x > 3y - 30, nên F = x - 2y > y - 30 > -25 (vì y > 5). Vậy F không đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm (chỉ có infimum là -25, không đạt được). Do đó không tồn tại điểm (x0;y0) để F đạt GTNN, khẳng định y0 - x0 = -20 là sai. (Khớp bảng đáp án mã đề 1001: 2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Mọi bất phương trình trong hệ đều bậc nhất hai ẩn, nên hệ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại (3;1) ta có y = 1 không thỏa y > 5, nên điểm này không thuộc miền nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm bị chặn bởi ba đường thẳng cắt nhau tại (20;5), (-15;5), (6;12), tạo thành miền tam giác (mở).
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ -x + 3y < 30 suy ra x > 3y - 30, nên F = x - 2y > y - 30 > -25. F không đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm (infimum -25 không đạt được), nên khẳng định y0 - x0 = -20 sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Lan mua 10 cây bút với giá 6000 đồng/cây, số tiền còn lại là $150000-10\cdot 6000=90000$ đồng. Số quyển tập tối đa là $\lfloor \frac{90000}{8000}\rfloor =\lfloor 11,25\rfloor =11$ quyển (vì 12 quyển cần 96000 đồng > 90000 đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn: 11.

Lập hệ bất phương trình. Gọi số bộ sản phẩm loại $I$ sản xuất trong một ngày là $x$, $(x\ge 0)$. Số bộ sản phẩm loại $II$ sản xuất trong một ngày là $y$, $(y\ge 0)$. Số lãi thu được là $L=5x+4y$. Số giờ làm việc của máy là $3x+3y$. Số giờ làm việc của công nhân là $2x+y$. Theo giả thiết: Một ngày máy làm việc không quá 15 giờ, nhân công làm việc không quá 8 giờ ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$ (điểm: 0,25). Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}3x+3y\le 15\\ 2x+y\le 8\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$ [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1] (điểm: 0,5). Tính số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày? Tính các giá trị của biểu thức $L=5x+4y$ tại các đỉnh của tứ giác là miền nghiệm của hệ bất phương trình trên ta được: $(x;y)=(0;0)\Rightarrow L=0$; $(x;y)=(4;0)\Rightarrow L=20$; $(x;y)=(3;2)\Rightarrow L=23$; $(x;y)=(0;5)\Rightarrow L=20$. Giá trị lớn nhất cần tìm là $23$. Vậy số tiền lãi lớn nhất xưởng đó đạt được trong một ngày là 23 triệu. (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1,y=-2$ vào từng bất phương trình: A: $x-y=1-(-2)=3>0$, không thỏa $x-y<0$. B: $x+y+1=1-2+1=0$, không thỏa $<0$. C: $-x-3y-2=-1+6-2=3>0$, thỏa. D: $x+y-5=1-2-5=-6<0$, không thỏa $>0$. Vậy cặp số $(1;-2)$ là nghiệm của bất phương trình ở phương án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A có $2x^2+5y^2>3$ chứa số mũ bậc hai nên không phải; B chỉ có một ẩn $x$ (và bậc hai) nên không phải; C có ba ẩn $x,y,z$ nên không phải; D có $2x+y>5$ dạng $ax+by+c>0$ với hai ẩn $x,y$, bậc nhất, đúng. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ: $2x+y\le 3$, $x-y\ge 0$, $y\ge 0$.

a) $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$ vi phạm bất phương trình đầu nên $(1;2)$ không là nghiệm → Sai.

b) $(m;1)$: $2m+1\le 3\iff m\le 1$; $m-1\ge 0\iff m\ge 1$; $y=1\ge 0$. Vậy $m=1$ là giá trị duy nhất, không phải 2 giá trị → Sai.

c) Miền nghiệm là tam giác $O(0;0)$, $A(1;1)$ (giao $2x+y=3$ và $x=y$), $B(3/2;0)$ (giao $2x+y=3$ và $y=0$). $F=2x+3y$: $F(O)=0$, $F(A)=5$, $F(B)=3$. Vậy $\max F=5$ → Đúng.

d) Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$ như hình → Đúng.

Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S - b) S - c) Đ - d) Đ.

a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$, vi phạm $2x+y\le 3$ nên không là nghiệm.

b) (AI giải đề cho tôi)
$(m;1)$ là nghiệm khi $2m+1\le 3$ và $m-1\ge 0$, tức $m\le 1$ và $m\ge 1$, suy ra $m=1$. Chỉ có 1 giá trị nguyên, không phải 2.

c) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm có đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$. $F=2x+3y$ đạt giá trị tại đỉnh: $0$, $5$, $3$. Vậy $\max F=5$.

d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác tô đậm với đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B(3/2;0)$ đúng như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng Củ cải, $y$ (ha) là diện tích trồng Cà rốt, với $x\ge 0,y\ge 0,x+y=8$. Ràng buộc số công: $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$. Hàm lãi $P=3x+5y$ (triệu đồng). Thay $y=8-x$ vào ràng buộc: $2x+3(8-x)\le 18\iff 24-x\le 18\iff x\ge 6$. Vậy $6\le x\le 8$, $y=8-x$. Khi đó $P=3x+5(8-x)=40-2x$, hàm giảm theo $x$ nên $P$ lớn nhất tại $x=6$, $y=2$: $P=3\cdot 6+5\cdot 2=28$ triệu đồng. Kiểm tra: công $=20\cdot 6+30\cdot 2=180\le 180$ (thỏa). Vậy trồng 6 ha Củ cải và 2 ha Cà rốt, lãi lớn nhất là 28 triệu đồng, khớp đáp án nguồn 28.