Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ điểm $A(-1;3)$ vào từng bất phương trình: A: $-3(-1)+2(3)-4=3+6-4=5>0$ (thỏa mãn). B: $-1-3(3)=-10>0$ (sai). C: $-1+3(3)=8<0$ (sai). D: $2(-1)+3-4=-3>0$ (sai). Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số bàn, $y$ là số ghế sản xuất trong ngày ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: lắp ráp $1,5x+y\le 3\cdot 8=24$; hoàn thiện $x+2y\le 4\cdot 8=32$; thị trường $y\le 3,5x$. Hàm lợi nhuận $P=600x+450y$ (nghìn đồng). Các đỉnh miền ràng buộc: $(0;0)$, $(0;16)$, giao của $1,5x+y=24$ và $x+2y=32$: giải $y=24-1,5x\Rightarrow x+48-3x=32\Rightarrow x=8$, $y=12$; và giao của $y=3,5x$ với $1,5x+y=24$: $x=4,8$, $y=16,8$ (không nguyên). Giá trị $P$: tại $(0;16)$: $7200$; tại $(8;12)$: $600\cdot 8+450\cdot 12=4800+5400=10200$. Vì đỉnh $(4,8;16,8)$ không nguyên, xét các điểm nguyên lân cận: $(4;14)$: $8700$; $(5;13,5)$: $9075$; $(6;13)$: $9450$; $(7;12,5)$: $9825$; $(8;12)$: $10200$; với $x\ge 9$ điều kiện lắp ráp $1,5x+y\le 24$ và $y\le 3,5x$ cho $P<10200$. Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt tại $x=8$, $y=12$: sản xuất 8 bàn và 12 ghế, lợi nhuận 10,2 triệu đồng. Kiểm tra: lắp ráp $1,5\cdot 8+12=24\le 24$; hoàn thiện $8+24=32\le 32$; $12\le 28$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên đi qua các điểm $(-2;0)$ và $(0;-2)$ nên có phương trình $x+y=-2$. Miền không bị gạch nằm phía dưới trục $Ox$ (nên $y\le 0$) và nằm phía trên đường thẳng $x+y=-2$ (thử điểm $(0;0)$... thực tế thử điểm trong miền, ví dụ $(-1;-0,5)$: $x+y=-1,5\ge -2$ đúng). Vậy miền nghiệm là hệ $\{\begin{array}{l}y\le 0\\ x+y\ge -2\end{array}$. Kiểm tra: điểm $(0;-1)$ thuộc miền không gạch, thỏa $y\le 0$ và $0+(-1)=-1\ge -2$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A: $2(-2)+1=-3<1$ (thỏa). B: $0+0=0<1$ (thỏa). C: $2(3)+(-7)=-1<1$ (thỏa). D: $2(0)+1=1$, không nhỏ hơn $1$ nên không thỏa. Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay (0;0) vào bất phương trình thứ ba: 0 - 0 + 2 = 2 ≤ 0 sai, nên (0;0) không phải nghiệm. c) Đúng: ba đường thẳng x+y=2, x-y=-2, x-2y=-2 cắt nhau tạo tam giác với các đỉnh (0;2), (2/3;4/3), (-2;0); các bất phương trình đều có dấu ≤, ≥ nên miền nghiệm là tam giác kể cả biên. d) Sai: F=3x+4y tại các đỉnh: F(0;2)=8, F(2/3;4/3)=22/3, F(-2;0)=-6. Giá trị nhỏ nhất là -6 đạt tại x=-2; y=0, không phải tại (0;2). Khớp đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (1) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=0, y=0: bất phương trình thứ nhất 0≤0 đúng, thứ hai 2≥0 đúng, nhưng thứ ba 0-0+2=2≤0 sai. Vậy (0;0) không phải nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng x+y=2, x-y=-2, x-2y=-2 tạo thành tam giác với các đỉnh (0;2), (2/3;4/3), (-2;0). Do các dấu ≤, ≥ (kể cả biên), miền nghiệm là miền tam giác gồm cả các cạnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
F=3x+4y tại các đỉnh: F(0;2)=8, F(2/3;4/3)=22/3≈7,33, F(-2;0)=-6. Giá trị nhỏ nhất của F là -6, đạt được khi x=-2; y=0, không phải khi x=0; y=2.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tiền là $12000x+8000y\le 200000$. Chia hai vế cho 4000 ta được $3x+2y\le 50$. Vậy $a=2$, $b=50$, suy ra $P=a+b=2+50=52$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 0102: 52).

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước loại K và T cần pha chế.
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 30x+10y\le 180\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}\text{hay }\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 18(\ast )\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}$$ (0,25 điểm)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, ta được miền ngũ giác $OABCD$ (lấy cả các điểm trên các cạnh của ngũ giác) với tọa độ các đỉnh là $O(0;0)$, $A(0;7)$, $B(2;6)$, $C(5;3)$, $D(6;0)$. [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1] (0,25 điểm)

Số điểm thưởng đội choi nhận được là $F(x;y)=60x+70y$ (điểm).
Tìm $x,y$ để $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất.
$F(0;0)=0$, $F(0;7)=490$, $F(2;6)=540$, $F(5;3)=510$, $F(6;0)=360$ (0,25 điểm)

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng 540 khi $x=2,y=6$.
Kết luận: Vậy cần pha chế 2 lít nước loại K và 6 lít nước loại T thì số điểm thưởng cao nhất. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x-2+2(y-1)>2x+4$ tương đương $x-2+2y-2>2x+4$, tức $2y-x-8>0$ hay $2y>x+8$. Thử từng điểm: $D(0;4)$: $8>8$ sai; $B(1;5)$: $10>9$ đúng; $A(1;1)$: $2>9$ sai; $C(4;3)$: $6>12$ sai. Vậy miền nghiệm chứa điểm $B(1;5)$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\le ,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A: $2x+5y>3$ có $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. B: $2x+3y^2<5$ có $y^2$ (bậc hai), không thỏa. C: $4x^2+2y-4>0$ có $x^2$ (bậc hai), không thỏa. D: $4x-5y+3xy\le 0$ có hạng tử $xy$ (bậc hai), không thỏa. Vậy đáp án là A, trùng với bảng đáp án (mã đề 0102, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn bất phương trình: $x-2+2(y-1)>2x+4\iff x-2+2y-2>2x+4\iff 2y-x-8>0\iff y>\frac{x}{2}+4$. Thử từng điểm: $A(1;1)$: $1>4,5$ sai; $C(4;3)$: $3>6$ sai; $B(1;5)$: $5>4,5$ đúng; $D(0;4)$: $4>4$ sai (không thỏa dấu strict). Vậy miền nghiệm chứa điểm $B(1;5)$, tương ứng phương án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. b) Sai: thay $(0;0)$ vào bất phương trình thứ ba: $0-0+2=2\le 0$ là sai, nên $(0;0)$ không phải nghiệm của hệ. c) Đúng: ba đường thẳng $x+y=2$, $x-y=-2$, $x-2y=-2$ cắt nhau tạo thành tam giác với ba đỉnh $(0;2)$, $(2/3;4/3)$, $(-2;0)$; do các bất phương trình đều có dấu '=' nên miền nghiệm là tam giác kín, bao gồm cả các cạnh. d) Sai: xét $F=3x+4y$ tại các đỉnh: $F(0;2)=8$; $F(2/3;4/3)=2+16/3=22/3\approx 7,33$; $F(-2;0)=-6$. Vậy giá trị nhỏ nhất $F=-6$ đạt tại $x=-2$; $y=0$, không phải tại $x=0$; $y=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ (1) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(0;0)$ vào bất phương trình $x-2y+2\le 0$ ta được $2\le 0$, vô lí. Vậy $(0;0)$ không là nghiệm của hệ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba đường thẳng $x+y=2$, $x-y=-2$, $x-2y=-2$ tạo thành tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(2/3;4/3)$, $(-2;0)$. Vì các bất phương trình đều không chặt nên miền nghiệm là tam giác kín, gồm cả các cạnh.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=3x+4y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh của miền tam giác: $F(0;2)=8$, $F(2/3;4/3)=22/3$, $F(-2;0)=-6$. Vậy $\min F=-6$ tại $x=-2$; $y=0$, không phải tại $x=0$; $y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số tiền phải trả là $12000x+8000y\le 200000$. Chia hai vế cho $4000$ ta được $3x+2y\le 50$. Vậy $a=2$, $b=50$, suy ra $P=a+b=2+50=52$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 3: 52).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $<,\le ,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A có $3xy$ là hạng tử bậc hai nên không phải; C có $4x^2$ bậc hai nên không phải; D có $3y^2$ bậc hai nên không phải. Phương án B: $2x+5y>3$ có $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất với hệ số $2,5$ khác 0, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Khớp với đáp án nguồn B.

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lít nước loại K và T cần pha chế.
Theo đề bài, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ sau:
$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 30x+10y\le 180\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}\text{hay }\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ 3x+y\le 18(\ast )\\ x+y\le 8\\ x+2y\le 14\end{array}$$ (0,25 điểm)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, ta được miền ngũ giác $OABCD$ (lấy cả các điểm trên các cạnh của ngũ giác) với tọa độ các đỉnh là $O(0;0)$, $A(0;7)$, $B(2;6)$, $C(5;3)$, $D(6;0)$. [Hình cần kiểm tra lại: p8_f1] (0,25 điểm)

Số điểm thưởng đội choi nhận được là $F(x;y)=60x+70y$ (điểm).
Tìm $x,y$ để $F(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất.
$F(0;0)=0$, $F(0;7)=490$, $F(2;6)=540$, $F(5;3)=510$, $F(6;0)=360$ (0,25 điểm)

Giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ bằng 540 khi $x=2,y=6$.
Kết luận: Vậy cần pha chế 2 lít nước loại K và 6 lít nước loại T thì số điểm thưởng cao nhất. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Thay từng cặp số vào bất phương trình $2x+y<1$: A $(3;-7)$: $2\cdot 3+(-7)=-1<1$ (thỏa). B $(0;1)$: $2\cdot 0+1=1$, không nhỏ hơn 1 (không thỏa). C $(-2;1)$: $2\cdot (-2)+1=-3<1$ (thỏa). D $(0;0)$: $0<1$ (thỏa). Vậy cặp $(0;1)$ không là nghiệm, khớp đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: cả ba bất phương trình đều bậc nhất hai ẩn nên (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Sai: thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$ ta được $-1\ge 0$, vô lý, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ (I).
c) Đúng: thay $O(0;0)$ vào $2x+3y\le 6$ được $0\le 6$ đúng, nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ (kể cả $d_1$) chứa $O$ là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$.
d) Đúng: miền nghiệm của hệ là phần chung của: nửa mặt phẳng $x\ge 0$ (bên phải trục $Oy$), nửa mặt phẳng dưới $d_1$ chứa $O$, và nửa mặt phẳng trên $d_2:2x-3y=1$ chứa $O$ (vì $0\le 1$ đúng). Ba đỉnh: giao $d_1$ với $Oy$ là $(0;2)$, giao $d_2$ với $Oy$ là $(0;-\frac{1}{3})$, giao $d_1$ và $d_2$: giải $2x+3y=6$, $2x-3y=1$ được $x=\frac{7}{4},y=\frac{5}{6}$. Đây đúng là miền tam giác (phần không bị gạch) như hình vẽ. Đối chiếu đáp án nguồn (Mã đề 1003, Phần II Câu 4, trang 9): a Đ, b S, c Đ, d Đ — khớp hoàn toàn với kết quả giải.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả ba bất phương trình đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên (I) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(-1;2)$ vào $x\ge 0$: $-1\ge 0$ sai, nên $(-1;2)$ không là nghiệm của hệ (I).
c) (AI giải đề cho tôi)
$O(0;0)$ thỏa $0\le 6$ nên nửa mặt phẳng bờ $d_1:2x+3y=6$ (kể cả $d_1$) chứa $O$ là miền nghiệm của $2x+3y\le 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là phần chung của $x\ge 0$, phía dưới $d_1$ chứa $O$, phía trên $d_2$ chứa $O$; tam giác với các đỉnh $(0;2)$, $(0;-\frac{1}{3})$, $(\frac{7}{4};\frac{5}{6})$, đúng như phần không bị gạch trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Lượng canxi từ $x$ lạng đậu nành là $277x$ mg, từ $y$ lạng thịt bò là $18y$ mg. Nhu cầu tối thiểu 1000 mg nên bất phương trình là $277x+18y\ge 1000$, tức $b=277$, $a=1000$. Suy ra $T=\frac{a}{2}-b=\frac{1000}{2}-277=500-277=223$.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng điểm vào hệ $\{\begin{array}{l}x-2y>4\\ 2x+y>6\end{array}$: Điểm $N(7;1)$: $7-2\cdot 1=5>4$ và $2\cdot 7+1=15>6$, thỏa cả hai bất phương trình. Điểm $M(2;-1)$: $2-2(-1)=4$ không lớn hơn 4, loại. Điểm $Q(-1;0)$: $-1-0=-1<4$, loại. Điểm $P(5;3)$: $5-6=-1<4$, loại. Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $N(7;1)$, khớp với đáp án A trong hướng dẫn chấm (Mã đề 1003, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: $2x+3y\le 30$, $x+y\ge 12$, $x,y\in \mathbb{N}$. Hàm mục tiêu $P=30x+50y$ (ngàn đồng). Vì $x+y\ge 12$ nên $2x+3y=2(x+y)+y\ge 24+y\le 30\Rightarrow y\le 6$. Do đó $x+y\le x+6$ và $x+y\ge 12$ cho $x\ge 6$. Với $y\le 6$ và $2x+3y\le 30$: nếu $y=6$ thì $2x\le 12\Rightarrow x\le 6$, kết hợp $x\ge 6$ được $(x,y)=(6,6)$, $P=30\cdot 6+50\cdot 6=480$. Nếu $y=5$ thì $2x\le 15\Rightarrow x\le 7$, và $x+y\ge 12\Rightarrow x\ge 7$, nên $(7,5)$: $P=30\cdot 7+50\cdot 5=460$. Nếu $y=4$ thì $2x\le 18\Rightarrow x\le 9$, $x\ge 8$; tốt nhất $(9,4)$: $P=30\cdot 9+50\cdot 4=470$. Nếu $y=3$ thì $2x\le 21\Rightarrow x\le 10$, $x\ge 9$; tốt nhất $(10,3)$: $P=450$. Tương tự các trường hợp $y$ nhỏ hơn cho $P$ nhỏ hơn (ví dụ $(12,2)$: $P=460$; $(15,0)$: $P=450$). Vậy maximum là $P=480$ tại $x=6,y=6$. Số tiền lớn nhất An ủng hộ là $480$ ngàn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$ nên có phương trình: $\frac{x}{1}+\frac{y}{3}=1\iff 3x+y=3$. Miền không bị gạch nằm về phía bên phải của $d$ (phía không chứa gốc tọa độ $O$). Thử điểm $O(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<3$, mà $O$ thuộc miền bị gạch, vậy miền không bị gạch (không kể $d$) là miền thỏa $3x+y>3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1003, Câu 6: B).