Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên: $3x+y=3$ đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$ (cắt trục $Ox$ tại $x=1$, cắt trục $Oy$ tại $y=3$). Thử điểm gốc $O(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<3$, nên gốc tọa độ không thuộc miền nghiệm. Do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $3x+y=3$ (bao gồm bờ vì dấu $\ge$) không chứa gốc tọa độ. Trong các hình, chỉ có phương án A vẽ đường thẳng qua $(1;0)$ và $(0;3)$ với phần gạch chéo nằm phía không chứa gốc $O$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}3x+y\ge 6\\ x\ge y-3\end{array}$. Điểm $(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<6$ → loại A. Điểm $(2;1)$: $3\cdot 2+1=7\ge 6$ và $2\ge 1-3=-2$ → thỏa cả hai bất phương trình. Điểm $(1;1)$: $3\cdot 1+1=4<6$ → loại C. Điểm $(1;2025)$: $3\cdot 1+2025=2028\ge 6$ nhưng $1\ge 2025-3=2022$ sai → loại D. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(2;1)$, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}3x+y\ge 6\\ x\ge y-3\end{array}$: Điểm $(0;0)$: $3\cdot 0+0=0<6$ loại. Điểm $(1;1)$: $3\cdot 1+1=4<6$ loại. Điểm $(2;1)$: $3\cdot 2+1=7\ge 6$ và $2\ge 1-3=-2$, thỏa cả hai bất phương trình. Điểm $(1;2025)$: $3\cdot 1+2025=2028\ge 6$ nhưng $1\ge 2025-3=2022$ sai, loại. Vậy miền nghiệm chứa điểm $(2;1)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hệ $\{\begin{array}{l}2x+y\le 3\\ x-y\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$. Miền nghiệm có 3 đỉnh: $O(0;0)$, giao của $2x+y=3$ và $x-y=0$ là $A(1;1)$, giao của $2x+y=3$ và $y=0$ là $B\left(\frac{3}{2};0\right)$ — đúng như hình vẽ, nên miền nghiệm là tam giác $OAB$.
a) Với $(x;y)=(m;1)$: $2m+1\le 3\iff m\le 1$ và $m-1\ge 0\iff m\ge 1$, suy ra $m=1$ duy nhất. Vậy chỉ có 1 giá trị nguyên của $m$, khẳng định 'có 2 giá trị' là SAI.
b) $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$ vi phạm bất phương trình thứ nhất, nên SAI.
c) Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(1;1)$, $B\left(\frac{3}{2};0\right)$ khớp với hình tô đậm, ĐÚNG.
d) $F=2x+3y$ là hàm tuyến tính nên đạt GTLN tại đỉnh của miền: $F(O)=0$, $F(A)=2+3=5$, $F(B)=3$. Vậy $\max F=5$, ĐÚNG. Khớp với đáp án nguồn: a)S - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $y=1$: cần $2m+1\le 3\iff m\le 1$ và $m-1\ge 0\iff m\ge 1$, suy ra $m=1$ là giá trị duy nhất. Chỉ có 1 giá trị nguyên, không phải 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $(1;2)$: $2\cdot 1+2=4>3$ vi phạm $2x+y\le 3$, nên không phải nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các đỉnh miền nghiệm là $O(0;0)$, $A(1;1)$ (giao $2x+y=3$ và $x-y=0$), $B\left(\frac{3}{2};0\right)$ (giao $2x+y=3$ và $y=0$), trùng với tam giác tô đậm trong hình.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=2x+3y$ đạt GTLN trên miền tam giác tại một đỉnh: $F(O)=0$, $F(A)=5$, $F(B)=3$. Vậy $\max F=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (ha) là diện tích trồng Củ cải, $y$ (ha) là diện tích trồng Cà rốt ($x,y\ge 0$). Vì tổng diện tích là $8$ ha nên $x+y=8$, tức $y=8-x$. Ràng buộc số công: $20x+30y\le 180\iff 2x+3y\le 18$. Thay $y=8-x$: $2x+3(8-x)\le 18\iff 24-x\le 18\iff x\ge 6$. Kết hợp $0\le x\le 8$ ta được $6\le x\le 8$. Số tiền lãi: $P=3x+5y=3x+5(8-x)=40-2x$ (triệu đồng). Vì $P$ giảm theo $x$ nên $P$ đạt max khi $x=6$, khi đó $y=2$, $P=40-12=28$ (triệu đồng). Vậy trồng $6$ ha Củ cải và $2$ ha Cà rốt, thu lãi nhiều nhất là $28$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn 28.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bất phương trình $3x+y\ge 3$. Đường thẳng bờ là $3x+y=3$, tức $y=-3x+3$, đi qua hai điểm $(1;0)$ và $(0;3)$. Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng này (kể cả bờ) không chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ vì $3\cdot 0+0=0<3$, tức là phía trên-trái đường thẳng (thử điểm $(0;4)$: $3\cdot 0+4=4\ge 3$ đúng).
- Hình A: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;3)$, tức $y=3x+3$ (bất phương trình $-3x+y\ge 3$) → sai.
- Hình B: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;-3)$ → sai.
- Hình C: đường thẳng qua $(-1;0)$ và $(0;3)$, miền gạch ở phía dưới-phải → sai.
- Hình D: đường thẳng qua $(1;0)$ và $(0;3)$, tức $y=-3x+3$, phần gạch chéo phía trên-trái đường thẳng (không chứa $O$) → đúng là miền nghiệm của $3x+y\ge 3$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}x+y-2\le 0\\ 2x-3y+2>0\end{array}$: Với $(-1;1)$: $x+y-2=-2\le 0$ thỏa, nhưng $2x-3y+2=-2-3+2=-3>0$ sai, nên $(-1;1)$ không là nghiệm. Với $(1;1)$: $0\le 0$ và $2-3+2=1>0$, thỏa cả hai. Với $(-1;-1)$: $-4\le 0$ và $-2+3+2=3>0$, thỏa. Với $(0;0)$: $-2\le 0$ và $2>0$, thỏa. Vậy cặp không là nghiệm là $(-1;1)$, khớp đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc là tam giác với các đỉnh: giao của $y=0$ và $x+y=1$ là $(1;0)$; giao của $y=0$ và $-3x+y=9$ là $(-3;0)$; giao của $x+y=1$ và $-3x+y=9$: trừ hai phương trình được $-4x=8\Rightarrow x=-2$, $y=3$, tức $(-2;3)$. Tính $F=4x+3y$ tại các đỉnh: $F(1;0)=4$, $F(-3;0)=-12$, $F(-2;3)=1$. Vậy $\min F=-12$ đạt tại $(-3;0)$, khớp với đáp án nguồn.

Giải. Gọi $x,y$ lần lượt là số bút bi và bút chì bạn Lan có thể mua ($x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Theo bài ra ta có: $4x+5y\le 20$. Ta lấy gốc tọa độ $O(0;0)$ và tính $4.0+5.0-20\le 0$. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$ (miền nghiệm là miền không bị gạch sọc).
[Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]
Vì $x,y\ge 1$ nên các cặp $(x,y)$ thoả mãn là $(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(3,1)$. Vậy bạn Lan có thể mua được nhiều nhất 4 bút cả hai loại. (Điểm: 0.25; 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường biên trong hình là: đường thẳng $x+y=0$ (đi qua gốc $O$) và đường thẳng $y=3x-2$ (tức $3x-y=2$, đi qua $(0;-2)$), cắt nhau tại $(0,5;-0,5)$. Phần không tô đậm (không chứa biên) là góc phía trên nằm giữa hai đường, tức phần nằm phía trên cả hai đường biên. Thử điểm trong miền, ví dụ $(0;2)$: $3\cdot 0-2=-2<2$ và $0+2=2>0$, thỏa mãn cả hai bất phương trình của hệ ở phương án B. Kiểm tra với các phương án khác: A yêu cầu $x+y<0$ (sai vì miền có $x+y>0$); C yêu cầu $3x+y>-2$ (tại $(0;2)$: $2>-2$ đúng nhưng miền thực chất bị chặn bởi $3x-y=2$, không phải $3x+y=-2$); D yêu cầu $3x-y>2$ (sai vì tại $(0;2)$ có $3x-y=-2<2$). Vậy miền nghiệm là $\{\begin{array}{l}3x-y<2\\ x+y>0\end{array}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 5): B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $\ge ,>,<$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. A có $\frac{1}{y}$, B có $\frac{1}{x}$ (ẩn ở mẫu), D có $x(x+y)=x^2+xy$ (bậc hai), nên không phải. C: $-3x-5y\le -6$ có dạng bậc nhất hai ẩn. Đáp án C, khớp đáp án nguồn (mã đề 112, câu 9 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}x+2y>3\\ 2x-y\le 1\end{array}$:
- A $(-1;3)$: $-1+2\cdot 3=5>3$ và $2(-1)-3=-5\le 1$ → là nghiệm.
- B $(1;2)$: $1+4=5>3$ và $2-2=0\le 1$ → là nghiệm.
- C $(1;1)$: $1+2=3$ không thỏa $>3$ → KHÔNG là nghiệm.
- D $(0;2)$: $0+4=4>3$ và $0-2=-2\le 1$ → là nghiệm.
Vậy cặp số không là nghiệm là $(1;1)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Miền ràng buộc là tam giác với ba đỉnh là giao điểm các đường thẳng: $2x-y=4$ và $y-x=1$ cho $(5;6)$; $y-x=1$ và $x+y=2$ cho $(0,5;1,5)$; $2x-y=4$ và $x+y=2$ cho $(2;0)$. Vì $F=x-3y+1$ là hàm tuyến tính nên GTLN đạt tại đỉnh: $F(5;6)=-12$, $F(0,5;1,5)=-3$, $F(2;0)=2-0+1=3$. Vậy $\max F=3$, khớp đáp án nguồn (mã đề 111, câu 2 = 3).

Giải. Gọi $x,y$ lần lượt là số vở và bút bạn An có thể mua ($x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Theo bài ra ta có: $6x+8y\le 30$. Ta lấy gốc tọa độ $O(0;0)$ và tính $6.0+8.0-30\le 0$. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ chứa gốc tọa độ $O$, kể cả đường thẳng $d$ (miền nghiệm là miền không tô màu).
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Vì $x,y\ge 1$ nên các cặp $(x,y)$ thỏa mãn là $(1,1);(1,2);(1,3);(2,1);(2,2);(3,1)$. Vậy bạn Lan có thể mua được nhiều nhất 3 chiếc bút sao cho có cả hai loại. (Điểm: 0.25; 0.25)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,\ge ,>$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, các ẩn chỉ xuất hiện ở bậc nhất. Xét từng phương án: A: $3(x+6)\ge y-2\iff 3x-y+20\ge 0$ là bậc nhất hai ẩn. B: $x^2>y-6$ chứa $x^2$ (bậc hai), nên KHÔNG là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C: $x+y-3\le 0$ là bậc nhất hai ẩn. D: $2(x-y)\le 3(x+1)\iff -x-2y-3\le 0$ là bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 111: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường biên là $2x+y=3$ (đi qua $(0;3)$ và $(1,5;0)$) và $x-y=-1$ tức $y=x+1$ (đi qua $(0;1)$ và $(1;2)$). Miền không tô đậm là góc giữa hai đường nằm về phía phải giao điểm $(\frac{2}{3};\frac{5}{3})$. Lấy điểm thử $(1;1,5)$ thuộc miền này: $2(1)+1,5=3,5>3$ và $1-1,5=-0,5>-1$. Vậy miền nghiệm là $\{\begin{array}{l}2x+y>3\\ x-y>-1\end{array}$, khớp đáp án A đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng biên trong hình đi qua hai điểm $(0;-2)$ và $\left(\frac{2}{3};0\right)$, nên có phương trình: $\frac{x}{2/3}+\frac{y}{-2}=1\iff 3x-6=y\iff -3x+y=-2$. Loại ngay các phương án A, C vì biên $2x+y=1$ không khớp hình vẽ. Nửa mặt phẳng bị gạch là phần bên trái đường thẳng, chứa gốc tọa độ $O(0;0)$ (vì $-3\cdot 0+0=0>-2$). Theo đề, miền nghiệm cần tìm là nửa mặt phẳng không bị gạch, tức phần bên phải đường thẳng (không chứa $O$). Thử điểm không bị gạch, ví dụ $(1;0)$: $-3\cdot 1+0=-3\le -2$; còn điểm bị gạch $O(0;0)$ cho $0>-2$ nên không thỏa. Đường biên vẽ nét liền nên bất phương trình lấy dấu $\le$. Vậy miền nghiệm không bị gạch là $-3x+y\le -2$, tương ứng phương án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 424, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và chỉ chứa hai ẩn với bậc 1. Xét từng phương án: A có $x^{2}y$ (bậc cao), loại. B có $x^2,y^2$ (bậc hai), loại. C chứa ba ẩn $x,y,z$, loại. D: $x+3y>0$ có dạng $ax+by+c>0$ với $a=1,b=3$, thỏa mãn. Khớp đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số xe du lịch và số xe tải ($x,y\ge 0$, nguyên). Ràng buộc: diện tích $3x+5y\le 150$; số xe $x+y\le 40$. Doanh thu $f(x,y)=40x+50y$ (nghìn đồng).
a) Đúng: cách đặt ẩn như trên là hợp lý.
b) Đúng: mỗi xe du lịch trả 40 nghìn, mỗi xe tải trả 50 nghìn nên tổng doanh thu là $40x+50y$ (nghìn đồng).
c) Sai: miền nghiệm của hệ $\{3x+5y\le 150;x+y\le 40;x\ge 0;y\ge 0\}$ là tứ giác có 4 đỉnh $(0;0),(40;0),(25;15),(0;30)$, không phải hình tam giác.
d) Đúng: xét $f$ tại các đỉnh: $f(0;0)=0$, $f(40;0)=1600$, $f(0;30)=1500$, $f(25;15)=40\cdot 25+50\cdot 15=1750$. Vậy doanh thu lớn nhất 1750 nghìn đồng đạt tại $x=25,y=15$, tức 25 xe du lịch và 15 xe tải. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 424 (ĐĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $x$ là số xe du lịch, $y$ là số xe tải cho đậu một đêm là cách lập mô hình phù hợp, với $x,y\ge 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $40x+50y$ (nghìn đồng) vì mỗi xe du lịch đóng 40 nghìn, mỗi xe tải đóng 50 nghìn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình: $3x+5y\le 150$, $x+y\le 40$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $(0;0),(40;0),(25;15),(0;30)$, không phải hình tam giác.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính $f=40x+50y$ tại các đỉnh: $f(40;0)=1600$, $f(0;30)=1500$, $f(25;15)=1750$. Vậy max tại $(25;15)$: 25 xe du lịch và 15 xe tải, doanh thu 1750 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ràng buộc: nguyên liệu $2x+4y\le 200\iff x+2y\le 100$; thời gian $30x+15y\le 1200\iff 2x+y\le 80$; $x,y\ge 0$. Lợi nhuận $P=40x+30y$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0,0)$, $(40,0)$, $(0,50)$ và giao điểm của $x+2y=100$, $2x+y=80$: giải hệ được $x=20,y=40$. Tính $P$: tại $(40,0)$: $P=1600$; tại $(0,50)$: $P=1500$; tại $(20,40)$: $P=40\cdot 20+30\cdot 40=800+1200=2000$ (lớn nhất). Vậy $x=20,y=40$ và $x+y=60$, khớp với đáp án nguồn (60).