Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 56: Chiều dài các bậc thang lập thành cấp số cộng với $u_1=196$ cm, công sai $d=-7$ cm, số hạng cuối $u_n=56$ cm.

Số bậc thang: $56=196+(n-1)(-7)\Rightarrow 7(n-1)=140\Rightarrow n=21$.

Tổng chiều dài các bậc: $S_{21}=\frac{21(196+56)}{2}=2646$ cm.

Diện tích toàn bộ các bậc (mỗi bậc rộng 35 cm): $S=2646\times 35=92610c{m}^2=9,261m^2$.

Giá thành: $9,261\times 1250000=11576250$ đồng.

Làm tròn đến hàng triệu đồng: khoảng $12$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 61: Xét từng dãy.
a) $u_n=19n-5$: $u_{n+1}-u_n=19(n+1)-5-(19n-5)=19$ không phụ thuộc $n$, nên dãy là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=19-5=14$ và công sai $d=19$.
b) $u_n=-3n+1$: $u_{n+1}-u_n=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3$ không phụ thuộc $n$, nên dãy là cấp số cộng với $u_1=-3+1=-2$ và công sai $d=-3$.
c) $u_n=n^2+n+1$: $u_1=3,u_2=7,u_3=13$. Vì $u_2-u_1=4$ còn $u_3-u_2=6$ khác nhau nên dãy không là cấp số cộng.
d) $u_n=(-1{)}^n+10n$: $u_1=-1+10=9,u_2=1+20=21,u_3=-1+30=29$. Vì $u_2-u_1=12$ còn $u_3-u_2=8$ khác nhau nên dãy không là cấp số cộng.
Kết luận: các dãy a) và b) là cấp số cộng; a) có $u_1=14,d=19$; b) có $u_1=-2,d=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $10-3x,2x^2+3,7-4x$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại: $$2(2x^2+3)=(10-3x)+(7-4x).$$ Giải: $4x^2+6=17-7x\iff 4x^2+7x-11=0$. Delta $\Delta =49+176=225$, $\sqrt{\Delta }=15$, nên $x=\frac{-7+15}{8}=1$ hoặc $x=\frac{-7-15}{8}=-\frac{11}{4}$. Kiểm tra: với $x=1$ ba số là $7,5,3$ (công sai $-2$); với $x=-\frac{11}{4}$ ba số là $\frac{73}{4},\frac{91}{8},12$ (công sai $-\frac{55}{8}$). Vậy $x=1$ hoặc $x=-\frac{11}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng là $x-d,x,x+d$ với $d>0$. Chu vi: $(x-d)+x+(x+d)=3x=3a\Rightarrow x=a$.

Vì tam giác vuông, cạnh lớn nhất $a+d$ là cạnh huyền, áp dụng định lý Pythagoras:
$$(a-d{)}^2+a^2=(a+d{)}^2$$
$$a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2=4ad\Rightarrow d=\frac{a}{4}$$ (do $a>0$).

Vậy ba cạnh của tam giác là:
$$\frac{3a}{4},a,\frac{5a}{4}.$$
Kiểm tra: tổng $=3a$ đúng; ${\left(\frac{3a}{4}\right)}^2+a^2=\frac{9a^2}{16}+\frac{16a^2}{16}=\frac{25a^2}{16}={\left(\frac{5a}{4}\right)}^2$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba góc của tam giác vuông theo thứ tự tăng dần là $a-d,a,a+d$ (cấp số cộng, $d\ge 0$). Vì tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ nên $3a=180^{\circ }\Rightarrow a=60^{\circ }$. Tam giác vuông nên góc lớn nhất bằng $90^{\circ }$: $a+d=90^{\circ }\Rightarrow d=30^{\circ }$. Vậy ba góc là $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$. Kiểm tra: $30+60=90$ (công sai $30$), tổng $180^{\circ }$, có một góc vuông — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số hạng đầu là $u_1$, công sai là $d$, với $u_n=u_1+(n-1)d$ và $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

a) Hệ: $u_5=u_1+4d=19$, $u_9=u_1+8d=35$. Trừ hai phương trình: $4d=16\Rightarrow d=4$; suy ra $u_1=19-16=3$. Số hạng thứ 20: $u_{20}=3+19\cdot 4=79$. Tổng: $S_{20}=\frac{20(3+79)}{2}=820$.

b) $u_2-u_3+u_5=(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=u_1+3d=10$. $u_4+u_6=(u_1+3d)+(u_1+5d)=2u_1+8d=26\Rightarrow u_1+4d=13$. Suy ra $d=3$, $u_1=10-9=1$. Khi đó $u_{20}=1+19\cdot 3=58$, $S_{20}=\frac{20(1+58)}{2}=590$.

c) $u_3+u_5=(u_1+2d)+(u_1+4d)=2u_1+6d=14\Rightarrow u_1+3d=7$. $S_{12}=12u_1+\frac{12\cdot 11}{2}d=12u_1+66d=129\Rightarrow 2u_1+11d=21,5$. Thay $u_1=7-3d$: $14-6d+11d=21,5\Rightarrow 5d=7,5\Rightarrow d=1,5$, $u_1=7-4,5=2,5$. Khi đó $u_{20}=2,5+19\cdot 1,5=31$, $S_{20}=\frac{20(2,5+31)}{2}=335$.

Kết luận:
a) $u_1=3$, $d=4$, $u_{20}=79$, $S_{20}=820$.
b) $u_1=1$, $d=3$, $u_{20}=58$, $S_{20}=590$.
c) $u_1=2,5$, $d=1,5$, $u_{20}=31$, $S_{20}=335$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a-d,a,a+d$ (cấp số cộng). Tổng $3a=21\Rightarrow a=7$. Thêm $2,3,9$ ta được $9-d,10+d,16+d$ lập thành cấp số nhân nên $(10+d{)}^2=(9-d)(16+d)$. Khai triển: $100+20d+d^2=144+7d-d^2\Rightarrow 2d^2+13d-44=0\Rightarrow d=4$ hoặc $d=-\frac{11}{2}$. Kiểm tra lại: với $d=4$ ta được $3,7,11$; thêm $2,3,9$ được $5,10,20$ là cấp số nhân (công bội 2). Với $d=-\frac{11}{2}$ ta được $\frac{25}{2},7,-\frac{3}{2}$; thêm $2,3,9$ được $\frac{29}{2},10,\frac{15}{2}$, kiểm tra $10^2=100$ và $\frac{29}{2}\cdot \frac{15}{2}=\frac{435}{4}\ne 100$, nên loại. Vậy ba số cần tìm là $3,7,11$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ của từng dãy:
- A: $u_n=3^n$ thì $u_{n+1}-u_n=3^n\cdot 2$ phụ thuộc $n$, không là cấp số cộng.
- B: $u_n=1-3n$ thì $u_{n+1}-u_n=(1-3(n+1))-(1-3n)=-3$ không đổi, nên là cấp số cộng với công sai $d=-3$.
- C: $u_n=3^n+1$ thì $u_{n+1}-u_n=2\cdot 3^n$ phụ thuộc $n$, không là cấp số cộng.
- D: $u_n=3+n^2$ thì $u_{n+1}-u_n=2n+1$ phụ thuộc $n$, không là cấp số cộng.
Vậy dãy là cấp số cộng ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_8=u_1+7d$ nên $26=\frac{1}{3}+7d\Rightarrow 7d=26-\frac{1}{3}=\frac{77}{3}\Rightarrow d=\frac{77}{21}=\frac{11}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có năm số hạng với $u_1=2$, $u_5=22$. Ta có $u_5=u_1+4d\Rightarrow 22=2+4d\Rightarrow d=5$. Ba số hạng xen giữa là $u_2=2+5=7$, $u_3=7+5=12$, $u_4=12+5=17$. Vậy ba số hạng là $7;12;17$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số cộng, $u_m+u_n=u_p+u_q$ khi $m+n=p+q$. Ta có $5+7=12$ và $2+10=12$, nên $u_2+u_{10}=u_5+u_7=19$. Cụ thể: $u_5+u_7=(u_1+4d)+(u_1+6d)=2u_1+10d=19$ và $u_2+u_{10}=(u_1+d)+(u_1+9d)=2u_1+10d=19$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]$. Với $u_1=2$, $d=-5$, $n=10$: $S_{10}=\frac{10}{2}\left[2\cdot 2+9\cdot (-5)\right]=5(4-45)=5\cdot (-41)=-205$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có năm số hạng với $u_1=2$, $u_5=22$. Ta có $u_5=u_1+4d\Rightarrow 22=2+4d\Rightarrow d=5$. Ba số hạng xen giữa là $u_2=2+5=7$, $u_3=12$, $u_4=17$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b,c$ là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên $2b=a+c$. Do đó $a+b+c=3b=15\Rightarrow b=5$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn số $x,-2,y,6$ lập thành cấp số cộng nên $-2=u_2$, $6=u_4$, do đó $2d=u_4-u_2=6-(-2)=8\Rightarrow d=4$. Suy ra $x=u_1=u_2-d=-2-4=-6$ và $y=u_3=u_2+d=-2+4=2$. Kiểm tra: dãy $-6;-2;2;6$ có công sai $4$ đúng. Vậy $x=-6;y=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-\frac{1}{2}$ và $d=\frac{1}{2}$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$. Suy ra: $u_1=-\frac{1}{2}$, $u_2=0$, $u_3=\frac{1}{2}$, $u_4=1$, $u_5=\frac{3}{2}$. Vậy năm số hạng liên tiếp đầu tiên là $-\frac{1}{2};0;\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng bắt đầu bằng $u_1=-3$, xen kẽ $n$ số hạng nên số 23 là số hạng thứ $n+2$. Ta có $u_{n+2}=-3+(n+1)\cdot 2=23\Rightarrow 2(n+1)=26\Rightarrow n+1=13\Rightarrow n=12$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{21}=u_1+20d$ nên $50=10+20d\Rightarrow 20d=40\Rightarrow d=2$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_2-u_1=1-4=-3$. Suy ra $u_{10}=u_1+9d=4+9(-3)=4-27=-23$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy -1; 2; 5; 8; 11; 14; 17 có hiệu các số hạng liên tiếp đều bằng 3 nên là cấp số cộng với u1 = -1, d = 3, gồm 7 số hạng. a) Sai vì dãy là cấp số cộng. b) Đúng, u1 = -1. c) Sai vì d = 3 chứ không phải 2. d) Đúng: S7 = 7(u1+u7)/2 = 7(-1+17)/2 = 56.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hiệu mỗi cặp số hạng liên tiếp đều bằng 3 (2-(-1)=3, 5-2=3, ...) nên dãy đã cho là cấp số cộng, không phải 'không phải cấp số cộng'.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng đầu của dãy là u1 = -1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công sai d = u2 - u1 = 2 - (-1) = 3, không phải d = 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Dãy có 7 số hạng: S7 = 7(u1+u7)/2 = 7(-1+17)/2 = 7·8 = 56.