Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}$.
a) Sai: công thức đúng là $u_n=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) Đúng: $u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) Sai: $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) Sai: $S_{100}=\frac{100\left(2\cdot \frac{3}{2}+99\cdot \frac{1}{2}\right)}{2}=50\left(3+\frac{99}{2}\right)=50\cdot \frac{105}{2}=2625\ne 2620$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=1+\frac{8}{2}=5$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}$ được $n=\frac{11}{2}$ không nguyên, nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100(3+99/2)}{2}=2625\ne 2620$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

1) $a_n=4n-3$: hiệu $a_{n+1}-a_n=4(n+1)-3-(4n-3)=4$ không đổi, nên $(a_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.

2) $b_n=\frac{2-3n}{4}$: hiệu $b_{n+1}-b_n=\frac{2-3(n+1)}{4}-\frac{2-3n}{4}=\frac{-3}{4}$ không đổi, nên $(b_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-\frac{3}{4}$.

3) $c_n=n^2$: $c_1=1,c_2=4,c_3=9$; các hiệu $c_2-c_1=3$, $c_3-c_2=5$ không bằng nhau, nên $(c_n)$ không phải cấp số cộng.

Vậy có 2 dãy là cấp số cộng: $(a_n)$ và $(b_n)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng $-2;x;6;y$ có công sai $d=6-x=x-(-2)$, suy ra $2x=6+(-2)=4\Rightarrow x=2$. Khi đó $d=x-(-2)=4$, nên $y=6+d=10$. Kiểm tra: dãy $-2;2;6;10$ là cấp số cộng với công sai $4$. Vậy $P=x^2+y^2=2^2+10^2=4+100=104$, đúng như đề bài cho.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba số $\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}$ lập thành cấp số cộng nên theo tính chất số hạng giữa: $$\frac{2}{c+a}=\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}.$$ (Điều kiện xác định: $a+b,b+c,c+a\ne 0$.) Nhân hai vế với $(a+b)(b+c)(c+a)$, ta được: $$2(b+c)(a+b)=(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c).$$ Khai triển từng vế: $$(b+c)(a+b)=ab+b^2+ac+bc\Rightarrow 2(b+c)(a+b)=2ab+2b^2+2ac+2bc.$$ $$(a+c)(a+b)=a^2+ab+ac+bc;(a+c)(b+c)=ab+ac+bc+c^2.$$ Cộng lại: $$(a+c)(a+b)+(a+c)(b+c)=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$ Suy ra $$2ab+2b^2+2ac+2bc=a^2+c^2+2ab+2ac+2bc\Rightarrow 2b^2=a^2+c^2.$$ Vậy $a^2+c^2=2b^2$, tức $b^2$ là trung bình cộng của $a^2$ và $c^2$, do đó ba số $a^2,b^2,c^2$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng (điều phải chứng minh).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_1$ là số hàng đầu, công sai $d=3$, số số hạng $n=20$, tổng $S_{20}=650$.

Công thức tổng của cấp số cộng:
$$S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+(20-1)d\right)=10\left(2u_1+19\cdot 3\right)=10\left(2u_1+57\right).$$

Theo đề bài:
$$10\left(2u_1+57\right)=650\Rightarrow 2u_1+57=65\Rightarrow 2u_1=8\Rightarrow u_1=4.$$

Kiểm tra: $S_{20}=10(2\cdot 4+57)=10\cdot 65=650$ đúng.

Vậy số hàng đầu của cấp số cộng là $u_1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x,3x+2,5x+3$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại:
$$2(3x+2)=2x+(5x+3).$$
Giải phương trình:
$$6x+4=7x+3\Rightarrow x=1.$$
Kiểm tra: với $x=1$ ta được ba số $2,5,8$, có công sai $d=3$, đúng là cấp số cộng.
Vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, tại các giờ đúng 1, 2, ..., 12 chuông đánh lần lượt 1, 2, ..., 12 tiếng. Tổng số tiếng tại giờ đúng là cấp số cộng: $S=1+2+\cdots +12=\frac{(1+12)\cdot 12}{2}=78$ tiếng. Ngoài ra, tại các mốc nửa giờ không phải giờ đúng (1 giờ 30, 2 giờ 30, ..., 11 giờ 30) chuông đánh 1 tiếng, tức có 11 mốc như vậy, cộng thêm 11 tiếng. Vậy tổng cộng chuông đánh $78+11=89$ tiếng.

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ theo từng lượt lập thành cấp số cộng: 21, 20, 19, ..., 15 với số hạng đầu $u_1=21$, công sai $d=-1$, số hạng cuối $u_n=15$. Số lượt: $n=\frac{15-21}{-1}+1=7$. Tổng số khúc gỗ: $S_7=\frac{7(21+15)}{2}=\frac{7\cdot 36}{2}=126$. Vậy tổng số khúc gỗ đã được xếp là 126 khúc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Dãy có tất cả số hạng bằng nhau, ví dụ $u_n=c$ (c tùy ý, $c\ne 0$), thì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$ với mọi $n$, tức là cấp số nhân với công bội $q=1$.
b) Đúng. Dãy không đổi $u_n=c$ có $u_{n+1}-u_n=0$ với mọi $n$, nên là cấp số cộng với công sai $d=0$.
c) Đúng. Với cấp số cộng công sai $d>0$: $u_{n+1}-u_n=d>0$ với mọi $n$, nên dãy số tăng.
d) Sai. Công sai dương chỉ bảo đảm dãy tăng, không bảo đảm các số hạng dương. Ví dụ cấp số cộng $-5;-3;-1;1;\dots$ có $d=2>0$ nhưng các số hạng đầu âm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy không đổi $u_n=c\ne 0$ có tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$ không đổi, nên là cấp số nhân với công bội $q=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy không đổi có $u_{n+1}-u_n=0$ với mọi $n$, nên là cấp số cộng với công sai $d=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $u_{n+1}-u_n=d>0$ với mọi $n$ nên dãy số tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công sai dương chỉ bảo đảm dãy tăng. Ví dụ $-5;-3;-1;1;\dots$ có $d=2>0$ nhưng có số hạng âm, nên không phải dãy số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ba số $\frac{2}{b-a},\frac{1}{b},\frac{2}{b-c}$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại (các mẫu khác 0 nên $b\ne 0$, $b\ne a$, $b\ne c$):
$$\frac{2}{b}=\frac{2}{b-a}+\frac{2}{b-c}.$$
Chia hai vế cho 2:
$$\frac{1}{b}=\frac{1}{b-a}+\frac{1}{b-c}=\frac{(b-c)+(b-a)}{(b-a)(b-c)}=\frac{2b-a-c}{(b-a)(b-c)}.$$
Nhân chéo:
$$(b-a)(b-c)=b(2b-a-c).$$
Khai triển vế trái:
$$b^2-b(a+c)+ac=2b^2-b(a+c).$$
Suy ra $ac=b^2$, tức $b^2=ac$.
Vì $b^2=ac$ nên ba số $a,b,c$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân (điều kiện đặc trưng của cấp số nhân: bình phương số hạng giữa bằng tích hai số hạng đầu và cuối). Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ suy ra $u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n$, tức dãy là cấp số cộng với công sai $d=u_2-u_1=2024-2023=1$.
a) Với $n\ge 2$: $v_n=u_n-u_{n-1}=d=1$ không đổi → đúng.
b) $u_n=u_{n-1}+d=u_{n-1}+1$ → đúng.
c) $u_3=u_2+d=2024+1=2025$ → đúng.
d) $u_{2024}=u_1+2023d=2023+2023=4046\ne 4044$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy là cấp số cộng công sai $d=1$, nên $v_n=u_n-u_{n-1}=1$ không đổi với mọi $n\ge 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d=1$ nên $u_n=u_{n-1}+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_2+d=2024+1=2025$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2024}=u_1+2023d=2023+2023=4046\ne 4044$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ có $u_n=3n-1$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Sáu số hạng đầu:
$u_1=3\cdot 1-1=2$
$u_2=3\cdot 2-1=5$
$u_3=3\cdot 3-1=8$
$u_4=3\cdot 4-1=11$
$u_5=3\cdot 5-1=14$
$u_6=3\cdot 6-1=17$

Đây là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=2$, công sai $d=3$.

Tổng 6 số hạng đầu:
$$S_6=\frac{6(u_1+u_6)}{2}=\frac{6(2+17)}{2}=3\cdot 19=57.$$

Kiểm tra bằng cộng trực tiếp: $2+5+8+11+14+17=57$. Vậy $S_6=57$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=1-3n$: $u_1=1-3=-2$, $u_{10}=1-30=-29$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{10(u_1+u_{10})}{2}=5(-2-29)=5(-31)=-155$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_n=1-3n$, nên $u_1=1-3=-2$, $u_{10}=1-30=-29$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{10(u_1+u_{10})}{2}=5(-2-29)=5(-31)=-155$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{10}=u_1+9d$, nên $u_1=u_{10}-9d=25-9\cdot 3=25-27=-2$. Vậy $u_1=-2$, khớp đáp án A (đáp án được gạch chân trong đề).

Do $(u_n)$ là cấp số cộng nên ta có hệ thức truy hồi: $\{\begin{array}{l}2u_1+21d=23\\ 4d=4\end{array}$

$\iff$ $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=1\end{array}$ . Vậy số hạng đầu tiên là $u_1=1$ và số hạng tổng quát là $u_n=n$ với $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Ta có a, b, c là cấp số cộng nên $a=u_1$, $b=u_1+2d$ và $c=u_1+4d$. Từ đó suy ra $2b=a+c$ (*). Mặt khác a, b, c là cấp số nhân nên $a=v_1$, $b=a.q^4$, $c=a.q^6$. Thay vào (*) ta được: $2(aq{)}^4=a+a{q}^6$

Trường hợp 1: Nếu $a=0\iff a=b=c=0\iff T=0$. Trường hợp 2: Nếu $a\ne 0\iff q^6-2q^4+1=0\iff (q^2-1)(q^4-q^2+1)=0$. i) $q^2=1\iff q=\pm 1\iff a=b=c$, nên $T=4a$. ii) $q^4-q^2+1=0$. Đặt $q^2=x$ $(x\ge 0)\iff x^2-x+1=0$ $$\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loại)\end{array}$$

+ Với $q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\iff T=a.\left(\frac{11+3\sqrt{5}}{2}\right)$. Với $T=4a$ và $T=a.\left(\frac{11+3\sqrt{5}}{2}\right)$ thì biểu thức bị phụ thuộc vào $a$ và $a$ chạy vô hạn và giá trị $T$ thay đổi liên tục. Mặt khác ta có định lí rằng nếu $a,b,c$ cùng lập thành cấp số cộng và cấp số nhân thì $a=b=c$. Hơn nữa, $a,b,c$ là các số hàng có thứ tự nên trường hợp 1 thỏa mãn là $a=b=c=0$. Vậy giá trị $T=0$

(AI giải đề cho tôi)
Dân số năm 2020 là 1,5 triệu người = 1500 nghìn người. Từ 2020 đến 2032 là 12 năm, mỗi năm tăng 30 nghìn người nên dân số năm 2032 là $1500+12\cdot 30=1500+360=1860$ (nghìn người).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2^{a_{10}}=2^{58}{a}_{10}$, tức $2^{a_{10}-58}=a_{10}$. Thử $a_{10}=64$: $2^{64-58}=2^6=64$ thỏa mãn (với $a>58$, hàm $2^{a-58}-a$ tăng nhanh nên nghiệm duy nhất phù hợp là $a_{10}=64$). Vậy $a_1+9d=64$ với $a_1,d$ nguyên dương, suy ra $d\le 7$ (vì $a_1=64-9d\ge 1$). Ta có $a_4=a_1+3d=64-6d$, nhỏ nhất khi $d$ lớn nhất, tức $d=7$, khi đó $a_1=1$, $a_4=64-42=22$. Kiểm tra: cấp số cộng $1,8,15,22,\dots ,64$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_2=u_1+d=7+2=9$. Vậy đáp án C.