Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy nạp: $u_1=-2<0$. Giả sử $u_n<0$ thì $1-u_n>1>0$, do đó $u_{n+1}=\frac{u_n}{1-u_n}$ là thương của số âm với số dương nên $u_{n+1}<0$. Vậy $u_n<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (đặc biệt $u_n\ne 0$ nên $v_n$ xác định).

b) Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, do $u_n<0$ nên $v_n=\frac{u_n+1}{u_n}=1+\frac{1}{u_n}$ xác định. Ta có
$$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}}=\frac{\frac{u_n}{1-u_n}+1}{\frac{u_n}{1-u_n}}=\frac{u_n+1-u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}=v_n-1.$$
Vậy $v_{n+1}-v_n=-1$ với mọi $n$, tức $(v_n)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $v_1=\frac{-2+1}{-2}=\frac{1}{2}$ và công sai $d=-1$.

Suy ra $v_n=\frac{1}{2}-(n-1)=\frac{3-2n}{2}$, do đó
$$\frac{1}{u_n}=v_n-1=\frac{1-2n}{2}\Rightarrow u_n=\frac{2}{1-2n}.$$
Vì $\underset{n\to \infty }{\lim }(1-2n)=-\infty$ nên $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ (dãy $u_n<0$ tiến tới $0$).

Lời giải (nguồn: CLB Toán Lim - LIM Olympic):

1) Gọi bốn nghiệm của $P_4$ là $x_1<x_2<x_3<x_4$.
Vì các nghiệm này lập thành một cấp số cộng nên tồn tại số thực $m$ sao cho $x_1+x_4=x_2+x_3=2m$.
Theo Rolle, $P_4^{\prime }(x)$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt $y_1,y_2,y_3$ thoả mãn
$$x_1<y_1<x_2<y_2<x_3<y_3<x_4$$
Với mỗi $x$ không là nghiệm của $P_4$, ta có $\frac{P_4^{\prime }(x)}{P_4(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}+\frac{1}{x-x_4}$.
Do $m\in (x_2,x_3)$ và $x_1+x_4=x_2+x_3=2m$ nên $\frac{1}{m-x_1}+\frac{1}{m-x_4}=0$ và $\frac{1}{m-x_2}+\frac{1}{m-x_3}=0$.
Suy ra $P_4^{\prime }(m)=0$, nên $m=y_2$.
Mặt khác, theo định lý Viète, $y_1+y_2+y_3=\frac{3}{4}(x_1+x_2+x_3+x_4)$.
Vì $x_1+x_2+x_3+x_4=4m$, suy ra $y_1+y_2+y_3=3m$.
Kết hợp với $y_2=m$, ta được $y_1+y_3=2m=2y_2$.
Vậy ba nghiệm của $P_4^{\prime }(x)$ lập thành một cấp số cộng.

2) Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: $n=2k$.
Vì các nghiệm của $P_n$ lập thành một cấp số cộng nên ta có thể viết chúng dưới dạng
$$a-(2k-1)d,a-(2k-3)d,\dots ,a-d,a+d,\dots ,a+(2k-3)d,a+(2k-1)d,$$
với $d>0$. Theo định lý Viète, tổng các nghiệm bằng $2ka\in \mathbb{Z}$, do đó $a\in \mathbb{Q}$.
Gọi $r_1,r_2,\dots ,r_{2k}$ là các nghiệm của $P_n$. Ta có $\sum r_i^2={\left(\sum r_i\right)}^2-2{\sum }_{i<j}{r}_i{r}_j$.
Theo định lý Viète, hai tổng ở vế phải đều là các số nguyên, do đó $\sum r_i^2\in \mathbb{Q}$.
Mặt khác, $\sum r_i^2=2k{a}^2+2d^2{\sum }_{i=1}^k(2i-1{)}^2$. Vì $a\in \mathbb{Q}$ nên suy ra $d^2\in \mathbb{Q}$.
Với mỗi $i=1,2,\dots ,k$, ghép hai nghiệm $a-(2i-1)d$ và $a+(2i-1)d$, ta có
$$\left(x-(a-(2i-1)d)\right)\left(x-(a+(2i-1)d)\right)=(x-a{)}^2-(2i-1{)}^2{d}^2\in \mathbb{Q}[x].$$
Do đó $P_n(x)=\prod _{i=1}^k\left((x-a{)}^2-(2i-1{)}^2{d}^2\right)$ nên $P_n$ khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$.
Mặt khác, $P_n$ là đa thức monic thuộc $\mathbb{Z}[x]$ nên theo bổ đề Gauss, $P_n$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.

Trường hợp 2: $n=2k+1$.
Ta viết các nghiệm của $P_n$ dưới dạng
$$a-kd,a-(k-1)d,\dots ,a-d,a,a+d,\dots ,a+(k-1)d,a+kd$$
với $d>0$. Theo định lý Viète, $(2k+1)a\in \mathbb{Z}$, nên $a\in \mathbb{Q}$.
Tương tự trường hợp trên, ta cũng suy ra được $d^2\in \mathbb{Q}$. Vì thế
$$P_n(x)=(x-a)\prod _{i=1}^k\left((x-a{)}^2-i^2{d}^2\right),$$
khả quy trên $\mathbb{Q}[x]$, và theo bổ đề Gauss thì $P_n$ khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$.
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có được $P_n(x)$ có thể phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(6+4(n-1))=n(2n+1)$. Theo đề $n(2n+1)=210\iff 2n^2+n-210=0$. Giải phương trình bậc hai: $\Delta =1+1680=1681=41^2$, nên $n=\frac{-1+41}{4}=10$ (nhận, vì $n$ nguyên dương; nghiệm $n=-10.5$ loại). Vậy $n=10$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_{ij}$ là số ở hàng $i$, cột $j$ $(i,j=\mathrm{1..7})$. Vì mỗi hàng là cấp số cộng nên hiệu $a_{i,j+1}-a_{i,j}$ không phụ thuộc $j$ (chỉ phụ thuộc $i$); vì mỗi cột là cấp số cộng nên $a_{i+1,j}-a_{i,j}$ không phụ thuộc $i$ (chỉ phụ thuộc $j$). Dạng tổng quát của bảng là mô hình song tuyến $a_{ij}=p+qi+sj+tij$ (không được giả sử $t=0$).

Theo hình vẽ: $2$ ở ô $(1,2)$, $13$ ở ô $(2,7)$, $13$ ở ô $(4,4)$, $1$ ở ô $(7,1)$, và $x=a_{7,6}$. Ta có hệ:
$$p+q+2s+2t=2$$
$$p+2q+7s+14t=13$$
$$p+4q+4s+16t=13$$
$$p+7q+s+7t=1$$

Trừ phương trình đầu khỏi ba phương trình còn lại:
$$q+5s+12t=11;3q+2s+14t=11;6q-s+5t=-1.$$

Từ hai phương trình đầu: $13s+22t=22$. Từ phương trình thứ hai và thứ ba: $q=s+3t-4$, thay vào $q+5s+12t=11$ được $2s+5t=5$. Giải hệ $\{13s+22t=22,2s+5t=5\}$: nhân phương trình thứ hai với $\frac{13}{2}$ và trừ, được $\frac{21}{2}t=\frac{21}{2}$, suy ra $t=1$, $s=0$, $q=-1$, $p=1$.

Kiểm tra: $a_{7,1}=1-7+0+7=1$ đúng; $a_{4,4}=1-4+0+16=13$ đúng; $a_{2,7}=1-2+0+14=13$ đúng; $a_{1,2}=1-1+0+2=2$ đúng.

Vậy $x=a_{7,6}=1+7\cdot (-1)+6\cdot 0+42\cdot 1=36$.

Ghi chú: lời giải AI gốc trong nguồn đã dùng đúng dữ kiện $13$ ở ô $(4,4)$ và lập luận với $t\ne 0$ là chính xác; phản hồi lịch sử cho rằng phải lấy $t=0$ (mô hình tuyến tính) là sai, vì dạng tổng quát bắt buộc phải có số hạng $tij$. Đáp số $x=36$.

(AI giải đề cho tôi)
Lương hàng tháng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=7$ (triệu đồng), công sai $d=0,3$ (triệu đồng). Lương tháng thứ mười: $u_{10}=u_1+9d=7+9\cdot 0,3=9,7$ triệu đồng. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra hiệu các số hạng liên tiếp: A: 2−6=−4, 14−2=12 (loại). B: 5−10=−5, 0−5=−5, −5−0=−5, cùng công sai d=−5 nên là cấp số cộng. C: −3−(−1)=−2, −9−(−3)=−6 (loại). D: 1−2=−1, −1−1=−2 (loại). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=14$, $d=-5$. Số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d$. Suy ra $u_{40}=14+39\cdot (-5)=14-195=-181$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_{n+1}-u_n=[22-3(n+1)]-(22-3n)=-3$. Vậy $d=-3$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_7-u_6=-2-5=-7$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tổng cấp số cộng: $S_{19}=\frac{19}{2}(2u_1+18d)=\frac{19}{2}(2\cdot 15+18\cdot (-2))=\frac{19}{2}(30-36)=\frac{19}{2}\cdot (-6)=-57$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=21$, $u_5=51$. Công sai: $2d=u_5-u_3=51-21=30\Rightarrow d=15$. Số hạng đầu: $u_1=u_3-2d=21-30=-9$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=u_1+(n-1)d=-8-11(n-1)$. Giải $-8-11(n-1)=-316\Rightarrow -11(n-1)=-308\Rightarrow n-1=28\Rightarrow n=29$. Vậy $-316$ là số hạng thứ $29$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $d=4$. a) $u_n=u_1+(n-1)d=-3+4(n-1)=4n-7$ → đúng. b) $u_{10}=4\cdot 10-7=33$ → đúng. c) Giải $4n-7=2026\Rightarrow 4n=2033$, không chia hết cho 4 nên 2026 không là số hạng → đúng. d) $S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10(-3+73)=700$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=-3+4(n-1)=4n-7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=4\cdot 10-7=33$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4n-7=2026\Rightarrow n=2033/4\notin \mathbb{N}$, nên 2026 không là số hạng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=73$, $S_{20}=10(-3+73)=700$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, tổng 20 số hạng đầu $S_{20}=670$. Công thức tổng: $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+19d\right)=10(10+19d)=100+190d$. Suy ra $100+190d=670\Rightarrow 190d=570\Rightarrow d=3$. Vậy công sai $d=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cây ở hàng thứ $n$ là $n$, tổng số cây sau $n$ hàng là $\frac{n(n+1)}{2}$. Ta cần $\frac{n(n+1)}{2}=300\Rightarrow n(n+1)=600$. Thử $n=24$: $24\cdot 25=600$ thỏa mãn. Vậy có 24 hàng cây.

(AI giải đề cho tôi)
Số chai mỗi tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=23$, công sai $d=-1$, số tầng $n=14$. Tầng thứ 14 có $u_{14}=23+13(-1)=10$ chai. Tổng số chai: $S_{14}=\frac{14(23+10)}{2}=\frac{14\cdot 33}{2}=224$. Vậy có tất cả 224 chai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có hệ: $u_5=u_1+4d=39$, $u_{13}=u_1+12d=103$. Trừ hai phương trình: $8d=64\Rightarrow d=8$. Suy ra $u_1=39-4\cdot 8=39-32=7$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2u_1+9d\right)=5\left(14+72\right)=5\cdot 86=430$. Vậy $u_1=7$, $d=8$, $S_{10}=430$. Kiểm tra: $u_5=7+32=39$ đúng, $u_{13}=7+96=103$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_{ij}$ là số ở hàng $i$, cột $j$ ($i,j=\mathrm{1..5}$). Vì mỗi hàng là cấp số cộng nên $a_{i,j+1}-a_{i,j}=d_i$; vì mỗi cột là cấp số cộng nên $a_{i+1,j}-a_{i,j}=s_j$. Do $a_{i+1,j+1}$ tính theo hai đường: $a_{i,j}+d_i+s_{j+1}=a_{i,j}+d_{i+1}+s_j$ nên $d_{i+1}-d_i=s_{j+1}-s_j=k$ không đổi. Suy ra $d_i=d_1+(i-1)k$, $s_j=s_1+(j-1)k$, và dạng tổng quát là $a_{ij}=\alpha +\beta i+\gamma j+\delta ij$ (với $\delta =k$). Từ dữ kiện: $a_{12}=15$: $\alpha +\beta +2\gamma +2\delta =15$; $a_{25}=30$: $\alpha +2\beta +5\gamma +10\delta =30$; $a_{33}=14$: $\alpha +3\beta +3\gamma +9\delta =14$; $a_{51}=0$: $\alpha +5\beta +\gamma +5\delta =0$. Trừ phương trình đầu: $\beta +3\gamma +8\delta =15$, $2\beta +\gamma +7\delta =-1$, $4\beta -\gamma +3\delta =-15$. Giải hệ ba ẩn $\beta ,\gamma ,\delta$: từ phương trình thứ hai $\gamma =-1-2\beta -7\delta$; thay vào hai phương trình còn lại được $-5\beta -13\delta =18$ và $3\beta +5\delta =-8$, giải ra $\delta =-1$, $\beta =-1$, $\gamma =8$, $\alpha =2$. Kiểm tra: $a_{12}=2-1+16-2=15$ ✓, $a_{25}=2-2+40-10=30$ ✓, $a_{33}=2-3+24-9=14$ ✓, $a_{51}=2-5+8-5=0$ ✓. Vậy $x=a_{55}=2-5+40-25=12$, do đó $10x^2=10\cdot 144=1440$, khớp với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_6-u_5=2028-2027=1$. Khi đó $u_1=u_5-4d=2027-4=2023$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2023).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$:
- A: $u_n=3n+2$ nên $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+2-(3n+2)=3$ không đổi, đây là cấp số cộng công sai $d=3$.
- B: $u_n=3^n$ là cấp số nhân (công bội $3$), không phải cấp số cộng.
- C: $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2+1-(n^2+1)=2n+1$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- D: $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
Vậy dãy là cấp số cộng là $u_n=3n+2$, khớp đáp án nguồn (Câu 7: A).