Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=3$ nên $u_2=u_1+d=2+3=5$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=4$ nên $u_3=u_1+2d=2+2\cdot 4=10$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_4=u_1+3d$, nên $6=-3+3d\Rightarrow 3d=9\Rightarrow d=3$. Vậy công sai bằng 3, tương ứng phương án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-2$, $d=1$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=-2+(n-1)=n-3$. Suy ra $u_{2026}=2026-3=2023$, $u_{2027}=2027-3=2024$. Vậy $u_{2026}+u_{2027}=2023+2024=4047$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(x_a)$: công sai $d_a=3$, số hạng thứ $n$: $x_a(n)=4+3(n-1)=3n+1$. Dãy $(x_b)$: công sai $d_b=5$, $x_b(n)=1+5(n-1)=5n-4$. Số hạng chung thỏa $3m+1=5n-4\Rightarrow 3m-5n=-5$. Giải theo mô-đun: $3m\equiv -5\equiv 0(\mathrm{mod}5)$... kiểm tra lại: $3m+1=5n-4\Rightarrow 3m=5n-5\Rightarrow 3m\equiv 0(\mathrm{mod}5)\Rightarrow m\equiv 0(\mathrm{mod}5)$. Với $m=5k$: số chung là $3(5k)+1=15k+1$. Nhưng số chung đầu tiên phải xuất hiện trong cả hai dãy: $k=0$ cho $1$? Kiểm tra: $1$ không thuộc dãy $(x_a)$ vì $3m+1=1\Rightarrow m=0$ không hợp. Xét lại điều kiện: $m\ge 1$, $n\ge 1$. $m=5k\ge 1\Rightarrow k\ge 1$? Thử $k=1$: số chung $16$: dãy a có $16=3m+1\Rightarrow m=5$ ✓; dãy b có $16=5n-4\Rightarrow n=4$ ✓. Vậy các số chung dạng $16+15(k-1)$, tức $16+15t$ với $t\ge 0$. Giới hạn: trong 2018 số hàng đầu của dãy a, số lớn nhất là $3\cdot 2018+1=6055$; của dãy b là $5\cdot 2018-4=10086$. Điều kiện: $16+15t\le 6055\Rightarrow t\le 402,6\Rightarrow t=0,1,\dots ,402$, tức $403$ số hàng chung. Vậy đáp án C (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Bốn góc lập thành cấp số cộng: $\alpha ,\alpha +d,\alpha +2d,\alpha +3d$ với $\alpha <\beta <\gamma <\theta$. Tổng bốn góc của tứ giác lồi bằng $2\pi$: $4\alpha +6d=2\pi$. Góc nhỏ nhất bằng $\frac{1}{5}$ góc lớn nhất: $\alpha =\frac{\alpha +3d}{5}\Rightarrow 3d=4\alpha \Rightarrow d=\frac{4\alpha }{3}$. Thay vào: $4\alpha +8\alpha =2\pi \Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6},d=\frac{2\pi }{9}$. Suy ra $\gamma =\alpha +2d=\frac{\pi }{6}+\frac{4\pi }{9}=\frac{11\pi }{18}$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_5=-15$, $u_{20}=60$. Công sai: $d=\frac{u_{20}-u_5}{20-5}=\frac{60-(-15)}{15}=\frac{75}{15}=5$. Số hạng đầu: $u_1=u_5-4d=-15-20=-35$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2u_1+9d\right)=5\left(2(-35)+9\cdot 5\right)=5(-70+45)=5(-25)=-125$. Kết quả trùng với đáp án nguồn -125.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra hiệu hai số hạng liên tiếp của mỗi dãy: A: $-2-1=-3$, $-4-(-2)=-2$ (không không đổi). B: $-3-1=-4$, $-6-(-3)=-3$ (không không đổi). C: $-3-1=-4$, $-7-(-3)=-4$, $-11-(-7)=-4$, $-15-(-11)=-4$ (không đổi, công sai $d=-4$). D: $-3-1=-4$, $-5-(-3)=-2$ (không không đổi). Vậy chỉ dãy $1;-3;-7;-11;-15$ là cấp số cộng, khớp đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=3n+1$ có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ không đổi, nên là cấp số cộng công sai $d=3$. Các dãy $3^n$, $(-3{)}^{n+1}$, $2^{n+1}$ đều là cấp số nhân, không phải cấp số cộng. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng $(u_n)$ có $u_2=2023$, $u_5=2032$. Công sai: $3d=u_5-u_2=2032-2023=9\Rightarrow d=3$. Khi đó $u_{15}=u_2+13d=2023+13\cdot 3=2023+39=2062$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2062).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy 1; 2; 3; 4; 5 có công sai $d=1$ không đổi nên là cấp số cộng. Dãy B có tỉ số 2 (cấp số nhân), dãy C xen kẽ 1 và $-1$, dãy D có tỉ số $-3$ (cấp số nhân). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{1}{n}$: $u_1=1,u_2=\frac{1}{2},u_3=\frac{1}{3}$, hiệu $u_2-u_1=-\frac{1}{2}\ne u_3-u_2=-\frac{1}{6}$, không là cấp số cộng. B) $u_n=u_{n-1}-2,\forall n\ge 2$: ta có $u_n-u_{n-1}=-2$ không đổi với mọi $n\ge 2$, đây là cấp số cộng với công sai $d=-2$. C) $u_n=2^n-1$: $u_1=1,u_2=3,u_3=7$, hiệu $2$ rồi $4$, không là cấp số cộng. D) $u_n=2u_{n-1}$: đây là cấp số nhân với công bội $q=2$, không phải cấp số cộng. Vậy dãy là cấp số cộng là phương án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các dãy lập thành cấp số cộng với công sai d=4, số hạng cuối u_10=45. Suy ra số ghế dãy đầu: u_1 = 45 - 9·4 = 9. Tổng số ghế: S_10 = 10(9+45)/2 = 270. Kết quả trùng với đáp án nguồn (270).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_n=5-2n$. Công sai $d=u_{n+1}-u_n=(5-2(n+1))-(5-2n)=-2$. Vậy $d=-2$, chọn đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (key Phần I câu 6 là D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_6=14$, công sai $d=3$. Ta có $u_{20}=u_6+(20-6)d=14+14\cdot 3=14+42=56$. Vậy $u_{20}=56$, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số tầng là $n$. Số xu ở tầng dưới cùng là $a_1=4901$, mỗi tầng lên giảm $100$ xu nên đây là cấp số cộng với công sai $d=-100$. Tổng số xu: $S_n=\frac{n}{2}\left(2\cdot 4901+(n-1)(-100)\right)=\frac{n}{2}(9902-100n)=122550$.

Suy ra $n(9902-100n)=245100\iff 100n^2-9902n+245100=0$.

$\Delta =9902^2-4\cdot 100\cdot 245100=98049604-98040000=9604$, $\sqrt{\Delta }=98$.

$n=\frac{9902\pm 98}{200}$, cho $n=50$ hoặc $n=49,02$ (loại vì $n$ nguyên).

Kiểm tra: $n=50$: $\frac{50}{2}(9902-5000)=25\cdot 4902=122550$ ✓.

Vậy mô hình kim tự tháp có 50 tầng, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng là $u_n=u_1+(n-1)d$ với $n\ge 1$. Kiểm tra: với $n=1$ ta được $u_1$; hiệu $u_{n+1}-u_n=d$ thỏa mãn định nghĩa. Các phương án khác sai vì: A cho $u_1+2d$ khi $n=1$; B cho $u_1+d$ khi $n=1$; D là tích chứ không phải tổng. Đáp án khớp với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3n$ thì $u_{n+1}-u_n=3(n+1)-3n=3$ không đổi, nên là cấp số cộng với công sai $d=3$. B) $u_n=n^2$: hiệu $u_{n+1}-u_n=2n+1$ thay đổi, không phải CSC. C) $u_n=2^n$: là cấp số nhân với công bội $2$, không phải CSC. D) $u_n=\frac{1}{n}$: hiệu $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{-1}{n(n+1)}$ thay đổi, không phải CSC. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, công sai $d=3$. Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}\left(4+3(n-1)\right)=\frac{n(3n+1)}{2}$. Giải $\frac{n(3n+1)}{2}=345\iff 3n^2+n-690=0$. Thử $n=15$: $3\cdot 225+15=690$ ✓. Vậy cần lấy tổng của 15 số hạng đầu (khớp đáp án nguồn 15).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu các số hạng liên tiếp: A: 3/2−1/2=1, dãy công sai 1 là CSC. B: hiệu 0, là CSC (công sai 0). C: −6−(−8)=2, −4−(−6)=2, −2−(−4)=2, 0−(−2)=2, là CSC công sai 2. D: 1−3=−2, −1−1=−2, −2−(−1)=−1 ≠ −2, nên không phải cấp số cộng. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.