Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
A: công bội 2. B: công bội −1. D: công bội $a^2$. C: $1^2;2^2;3^2;4^2$ có tỉ số $4/1=4$, $9/4=2,25$ không không đổi, nên không phải cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-2$ và $q=-5$: $u_2=u_{1}q=(-2)(-5)=10$; $u_3=u_{2}q=10(-5)=-50$; $u_4=u_{3}q=(-50)(-5)=250$. Vậy bốn số hạng đầu là $-2;10;-50;250$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_n=\frac{1}{3^{n-2}}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$, đây là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=9$ và công bội $q=\frac{1}{3}$. Các dãy B, C, D không phải cấp số nhân vì $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi (B có dạng trừ hằng số, C là cấp cộng, D là hàm bậc hai của $n$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ cho từng dãy. A: $u_n=7-3n$ là cấp số cộng (công sai $-3$), không phải cấp số nhân. B: $u_n=7-3^n$, tỉ số $\frac{7-3^{n+1}}{7-3^n}$ không phải hằng số. C: $u_n=\frac{7}{3n}$, tỉ số $\frac{n}{n+1}$ không phải hằng số. D: $u_n=7\cdot 3^n$, ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{7\cdot 3^{n+1}}{7\cdot 3^n}=3$ hằng số với mọi $n$, nên đây là cấp số nhân công bội $q=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x-3$; $x$; $2x+3$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $x^2=(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$. Suy ra $3x^2=9$, tức $x^2=3$, nên $x=\pm \sqrt{3}$. Vì đề yêu cầu $x$ dương nên $x=\sqrt{3}$. Kiểm tra: với $x=\sqrt{3}$, ba số là $2\sqrt{3}-3$; $\sqrt{3}$; $2\sqrt{3}+3$, và ${\sqrt{3}}^2=(2\sqrt{3}-3)(2\sqrt{3}+3)=12-9=3$ thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $-4;x;-9$ lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $x^2=(-4)(-9)=36$, tức $x=\pm 6$. Kiểm tra: với $x=6$, công bội $q=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}=\frac{-9}{6}$, thỏa mãn. Trong các đáp án chỉ có $x=6$ (không có $x=-6$), nên chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $\frac{1}{\sqrt{2}};\sqrt{b};\sqrt{2}$ lập thành cấp số nhân khi $\sqrt{b}$ là trung bình nhân: $b=(\sqrt{b}{)}^2=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{2}=1$. Thỏa $b>0$. Vậy $b=1$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-6}{3}=-2$. Suy ra $a_5=a_1\cdot q^4=3\cdot (-2{)}^4=3\cdot 16=48$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trữ lượng gỗ tăng theo cấp số nhân với công bội $q=1+4\%=1,04$. Sau 5 năm: $u_6=4\cdot 10^5\cdot (1,04{)}^5$ mét khối. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau 10 năm theo công thức lãi kép: $T=100000000\cdot (1,07{)}^{10}$. Tính $(1,07{)}^{10}\approx 1,96715$, nên $T\approx 196715000$ đồng (chính xác hơn: $1,07^{10}\approx 1,967151\dots$, tức khoảng $196715100$ đồng). Vậy kết quả gần với 196715000 đồng nhất, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: $u_4-u_2=u_{1}q(q^2-1)=54$, $u_5-u_3=u_1{q}^2(q^2-1)=108$. Chia hai phương trình được $q=2$ (công bội nguyên). Suy ra $u_1\cdot 2\cdot 3=54\Rightarrow u_1=9$.
a) Đúng: $u_1=9$.
b) Đúng: $S_9=9\cdot \frac{2^9-1}{2-1}=9\cdot 511=4599$.
c) Sai: $u_6=9\cdot 2^5=288\ne 576$ (thực tế $576=u_7$).
d) Sai: $v_n=u_{3n}$ là CSN với $v_1=u_3=9\cdot 4=36$, công bội $q^3=8$. Tổng $v_1+...+v_{10}=36\cdot \frac{8^{10}-1}{7}=\frac{36(2^{30}-1)}{7}\ne 12(4^{10}-1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia hai phương trình được $q=2$; khi đó $u_1\cdot 2\cdot (4-1)=54\Rightarrow u_1=9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_9=9\cdot \frac{2^9-1}{2-1}=4599$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=9\cdot 2^5=288\ne 576$; số 576 là $u_7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_1=u_3=36$, công bội $8$; tổng bằng $36\cdot \frac{8^{10}-1}{7}=\frac{36(2^{30}-1)}{7}\ne 12(4^{10}-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đợt 1 là cấp số cộng công sai d=2 (triệu đồng), tháng thứ 10 góp 21 triệu nên u10=u1+9d=21 ⟹ u1=21−18=3 (triệu đồng). Khẳng định ĐÚNG.
b) Đợt 2 là cấp số nhân với số tiền tháng đầu u1=5 triệu và mỗi tháng gấp đôi tháng trước, tức công bội q=2 (một số vô hướng, không có đơn vị 'triệu'). Khẳng định nói 'công bội là q=2 triệu' là SAI về bản chất (công bội không có đơn vị tiền tệ).
c) Tổng đợt 1: S_n = n/2·(2u1+(n−1)d) = n/2·(6+2(n−1)) = n(n+2). Giải n(n+2)=624 ⟹ n²+2n−624=0 ⟹ n=24 (nhận n>0). Vậy đợt 1 kéo dài 24 tháng, không phải 25 tháng ⟹ SAI.
d) Số tiền còn cần: 1259−624=635 triệu. Đợt 2 sau n tháng: T_n=5(2^n−1). Cần 5(2^n−1)≥635 ⟺ 2^n≥128 ⟺ n≥7. Tổng số tháng ít nhất: 24+7=31 tháng ⟹ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
u10=u1+9d=21 với d=2 ⟹ u1=3 triệu. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đợt 2 là cấp số nhân với u1=5 triệu và công bội q=2 (số vô hướng, không có đơn vị 'triệu'). Khẳng định sai vì gọi công bội là '2 triệu'.
c) (AI giải đề cho tôi)
S_n=n(n+2)=624 ⟹ n=24 tháng, không phải 25 tháng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Còn 635 triệu; 5(2^n−1)≥635 ⟹ n≥7; tổng 24+7=31 tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích các tầng lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{12288}{2}=6144{\mathrm{m}}^2$ và công bội $q=\frac{1}{2}$. Tầng trên cùng là tầng thứ 11: $u_{11}=u_1{q}^{10}=6144\cdot \frac{1}{2^{10}}=\frac{6144}{1024}=6{\mathrm{m}}^2$. Vậy diện tích bề mặt tầng trên cùng là $6{\mathrm{m}}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_3=u_2\cdot q$, nên $u_2=\frac{u_3}{q}=\frac{5}{2}=2,5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Ta có $u_1+u_5=u_1(1+q^4)=51$ và $u_2+u_6=u_{1}q(1+q^4)=102$. Chia hai phương thức: $q=\frac{102}{51}=2$. Suy ra $u_1(1+2^4)=u_1\cdot 17=51\Rightarrow u_1=3$. Vậy số hạng đầu $u_1=3$, công bội $q=2$.

b) Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=u_1\frac{q^n-1}{q-1}=3(2^n-1)$. Giải $3(2^n-1)=3069\Rightarrow 2^n=1024=2^{10}\Rightarrow n=10$. Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c) $u_n=u_1{q}^{n-1}=3\cdot 2^{n-1}=12288\Rightarrow 2^{n-1}=4096=2^{12}\Rightarrow n=13$. Vậy 12288 là số hạng thứ 13.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi CSN $(u_n)$ có công bội $q=3$, tổng $S_n=728$, số hạng cuối $u_n=486$.

Ta có:
$$u_n=u_1{q}^{n-1}=u_1\cdot 3^{n-1}=486$$
$$S_n=u_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}=u_1\cdot \frac{3^n-1}{2}=728\Rightarrow u_1(3^n-1)=1456$$

Từ phương trình đầu: $u_1\cdot 3^n=3\cdot 486=1458$.

Trừ hai phương trình: $u_1\cdot 3^n-u_1(3^n-1)=1458-1456$, suy ra $u_1=2$.

Thay lại: $3^n=\frac{1458}{2}=729=3^6$, nên $n=6$.

Kiểm tra: dãy $2,6,18,54,162,486$ có công bội 3, số hạng cuối 486, tổng $\frac{2(3^6-1)}{2}=728$. Đúng.

Vậy số hàng đầu của cấp số nhân là $u_1=2$ (dãy có 6 số hạng).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi 3 số là $a,ar,a{r}^2$ với $a>0$, $r>1$ (cấp số nhân tăng). Theo đề: $a(1+r+r^2)=65$. Vì $(a-1),ar,(a{r}^2-19)$ lập thành cấp số cộng nên $2ar=(a-1)+(a{r}^2-19)$, suy ra $a(r^2-2r+1)=20$, tức $a(r-1{)}^2=20$. Chia hai phương trình: $\frac{1+r+r^2}{(r-1{)}^2}=\frac{65}{20}=\frac{13}{4}$. Khai triển: $4r^2+4r+4=13r^2-26r+13\Rightarrow 9r^2-30r+9=0\Rightarrow 3r^2-10r+3=0\Rightarrow r=3$ hoặc $r=\frac{1}{3}$. Vì cấp số nhân tăng nên $r=3$, khi đó $a=\frac{20}{(3-1{)}^2}=5$. Vậy 3 số là $5,15,45$. Kiểm tra: tổng $5+15+45=65$; bớt 1 ở số thứ nhất và 19 ở số thứ ba ta được $4,15,26$ là cấp số cộng công sai 11. Đúng điều kiện đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x,3,y$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên theo tính chất trung bình nhân: $3^2=xy\Rightarrow xy=9$. Kết hợp với $x^4=y\sqrt{3}$, suy ra $y=\frac{x^4}{\sqrt{3}}$. Thay vào: $x\cdot \frac{x^4}{\sqrt{3}}=9\Rightarrow x^5=9\sqrt{3}=3^2\cdot 3^{1/2}=3^{5/2}\Rightarrow x=3^{1/2}=\sqrt{3}$. Khi đó $y=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$. Kiểm tra: $x^4=(\sqrt{3}{)}^4=9$ và $y\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=9$; hơn nữa $xy=\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}=9$ ✓. Vậy $x=\sqrt{3},y=3\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_n$ (triệu đồng) là giá trị còn lại của máy photocopy sau $n$ năm sử dụng. Lúc mới mua: $u_0=50$. Theo đề bài, sau mỗi năm giá trị chỉ còn $75\%$ giá trị năm liền trước, nên $u_n=0,75u_{n-1}$ với mọi $n\ge 1$. Vậy $(u_n)$ là cấp số nhân với số hạng đầu $u_0=50$ và công bội $q=\frac{3}{4}$, do đó $u_n=50\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^n$ (triệu đồng). Tính cụ thể trong 5 năm kể từ khi mua: $u_1=50\cdot \frac{3}{4}=37,5$ triệu đồng; $u_2=37,5\cdot \frac{3}{4}=28,125$ triệu đồng; $u_3=28,125\cdot \frac{3}{4}=21,09375$ triệu đồng; $u_4=21,09375\cdot \frac{3}{4}\approx 15,82$ triệu đồng (chính xác $15,8203125$); $u_5=15,8203125\cdot \frac{3}{4}\approx 11,87$ triệu đồng (chính xác $11,865234375$). Vậy giá trị còn lại của máy sau mỗi năm trong 5 năm lần lượt là: sau năm thứ nhất $37,5$ triệu đồng, sau năm thứ hai $28,125$ triệu đồng, sau năm thứ ba $21,09375$ triệu đồng, sau năm thứ tư $\approx 15,82$ triệu đồng, sau năm thứ năm $\approx 11,87$ triệu đồng. Đây là bài toán dãy số (cấp số nhân) nên không có phương án trắc nghiệm.