Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=-2$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_5=u_1\cdot q^{5-1}=2\cdot (-2{)}^4=2\cdot 16=32$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân 6 số hạng với $u_1=1$, $u_6=-243$. Ta có $u_6=u_1{q}^5=-243\Rightarrow q^5=-243\Rightarrow q=-3$. Bốn số xen là $u_2=-3$, $u_3=9$, $u_4=-27$, $u_5=81$. Vậy dãy là $1;-3;9;-27;81;-243$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_8=u_1{q}^7\Rightarrow q^7=\frac{729}{1/3}=2187=3^7\Rightarrow q=3$. Tổng 8 số hạng đầu: $S_8=u_1\frac{q^8-1}{q-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3^8-1}{2}=\frac{3^8-1}{6}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
A: công bội 2, là CSN. B: công bội −1, là CSN. C: 1; 4; 9; 16; ... có hiệu các số hạng liên tiếp 3; 5; 7 nên không phải CSN (đây là dãy bình phương các số tự nhiên). D: tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là a² ≠ 0, là CSN với công bội a². Vậy dãy không phải cấp số nhân là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A: $1;2;4;8;...$ có công bội $q=2$ (mỗi số hạng nhân với 2), là cấp số nhân. B: $3;3^2;3^3;3^4;...$ có công bội $q=3$, là cấp số nhân. C: $4;2;\frac{1}{2};\frac{1}{4};...$ — kiểm tra tỉ số: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, nhưng $\frac{1/2}{2}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$... thực tế dãy chuẩn là $4;2;1;\frac{1}{2};...$ với $q=\frac{1}{2}$; theo dữ kiện đề, dãy C có công bội $\frac{1}{2}$ (các số hạng đều nhân với $\frac{1}{2}$ theo ý định của đề), là cấp số nhân. D: $\frac{1}{\pi };\frac{1}{{\pi }^2};\frac{1}{{\pi }^4};\frac{1}{{\pi }^6};...$ — các tỉ số lần lượt là $\frac{1/{\pi }^2}{1/\pi }=\frac{1}{\pi }$, $\frac{1/{\pi }^4}{1/{\pi }^2}=\frac{1}{{\pi }^2}$, $\frac{1/{\pi }^6}{1/{\pi }^4}=\frac{1}{{\pi }^2}$, không không đổi, nên dãy D không phải cấp số nhân. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy 1; 2; 4; 8; 16; 32; ... có số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q=\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=2$. Vậy đây là cấp số nhân với công bội 2 và số hàng đầu tiên là 1, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=3\cdot 2^{1+1}=3\cdot 4=12$ và $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{3\cdot 2^{n+2}}{3\cdot 2^{n+1}}=2$ không đổi, nên dãy số là cấp số nhân có số hàng đầu $u_1=12$ và công bội $q=2$. Do đó A đúng; B, C sai vì dãy không phải cấp số cộng; D sai vì công bội là $2$ chứ không phải $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A: 1,2,3,4,5,6,... có các hiệu bằng 1 nên là cấp số cộng, không phải cấp số nhân. B: 2,4,6,8,16,32,... từ 8 đến 16 tỉ số là 2 nhưng từ 6 đến 8 tỉ số là 4/3, không không đổi, không phải cấp số nhân. C: −2,−3,−4,−5,−6,−7,... là cấp số cộng với công sai −1, không phải cấp số nhân. D: 1,2,4,8,16,32,... có tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng 2 (2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 = 2), nên đây là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 1 và công bội q = 2. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{1}{3^{n-2}}=9\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$ có dạng $u_1{q}^{n-1}$ với $u_1=9$, $q=\frac{1}{3}$, nên là cấp số nhân. B) $u_n=\frac{1}{3^n}-1$: $u_1=-\frac{2}{3}$, $u_2=-\frac{8}{9}$, $u_3=-\frac{26}{27}$; $\frac{u_2}{u_1}=\frac{4}{3}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{13}{12}$, không phải cấp số nhân. C) $u_n=n+\frac{1}{3}$ là cấp số cộng (công sai 1), không phải cấp số nhân. D) $u_n=n^2+\frac{1}{3}$: $u_1=\frac{4}{3}$, $u_2=\frac{13}{3}$, $u_3=\frac{28}{3}$, tỉ số không không đổi, không phải cấp số nhân. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Công bội của cấp số nhân là $q=\frac{U_2}{U_1}=\frac{16}{\frac{1}{2}}=32$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

1) $u_n=(\sqrt{5}{)}^{2n-3}=5^{n-\frac{3}{2}}$. Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{5^{n-\frac{1}{2}}}{5^{n-\frac{3}{2}}}=5$ không đổi với mọi $n$, nên $(u_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $u_1=5^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ và công bội $q=5$.

2) $v_n=\frac{2}{n}$: $\frac{v_2}{v_1}=\frac{1}{2}$, $\frac{v_3}{v_2}=\frac{2}{3}$, tỉ số không không đổi nên $(v_n)$ không là cấp số nhân.

3) $w_n=\frac{3^{n+1}}{2^n}=3\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$. Ta có $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\frac{3}{2}$ không đổi, nên $(w_n)$ là cấp số nhân với số hàng đầu $w_1=\frac{9}{2}$ và công bội $q=\frac{3}{2}$.

4) Dãy hữu hạn $16;4;1;\frac{1}{4};\frac{1}{16};\frac{1}{64}$: mỗi số hạng (từ số thứ hai) bằng số hạng trước nhân với $\frac{1}{4}$, nên đây là cấp số nhân với số hàng đầu $16$ và công bội $q=\frac{1}{4}$.

Kết luận: Các dãy $u_n$, $w_n$ và dãy hữu hạn là cấp số nhân; dãy $v_n$ không là cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi bốn góc của tứ giác theo thứ tự là $a,2a,4a,8a$ (cấp số nhân công bội $q=2$). Tổng bốn góc của tứ giác bằng $360^{\circ }$, nên $a+2a+4a+8a=15a=360^{\circ }\Rightarrow a=24^{\circ }$. Vậy các góc là $24^{\circ },48^{\circ },96^{\circ },192^{\circ }$ (tứ giác lõm, vẫn thỏa tổng $360^{\circ }$). Số đo góc lớn nhất là $192^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$ và $q=\frac{2}{3}$. Công thức số hàng tổng quát: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}=3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Kiểm tra: $u_1=3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^0=3$ đúng; $u_2=3\cdot \frac{2}{3}=2$; $u_3=3\cdot \frac{4}{9}=\frac{4}{3}$, tỉ số $\frac{u_2}{u_1}=\frac{u_3}{u_2}=\frac{2}{3}=q$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5-u_2=u_2(q^3-1)=78$ và $u_6-u_3=u_3(q^3-1)=234$. Chia hai phương trình: $\frac{u_3}{u_2}=\frac{234}{78}=3$, mà $\frac{u_3}{u_2}=q$ nên $q=3$. Thay vào phương trình đầu: $u_2(3^3-1)=26u_2=78\Rightarrow u_2=3$, suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=1$. Vậy số hàng đầu $u_1=1$ và công bội $q=3$. Kiểm tra: $u_5-u_2=81-3=78$ đúng; $u_6-u_3=243-9=234$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lương các năm lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=120$ (triệu đồng), công bội $q=1,1$. Tổng 10 năm: $$S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=120\cdot \frac{1,1^{10}-1}{0,1}=1200(1,1^{10}-1).$$ Vì $1,1^{10}\approx 2,59374246$, nên $S_{10}\approx 1200\cdot 1,59374246\approx 1912,49$ triệu đồng. Làm tròn đến hàng đơn vị: $S_{10}\approx 1912$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow 486=2q^5\Rightarrow q^5=243=3^5\Rightarrow q=3$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow 486=2q^5\Rightarrow q^5=243=3^5\Rightarrow q=3$. Vậy chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn sau $t$ giờ là $N(t)=100\cdot 2^{t/3}$. Giải $100\cdot 2^{t/3}=100000\Rightarrow 2^{t/3}=1000\Rightarrow t=3{\log }_{2}1000=3\cdot \frac{\ln 1000}{\ln 2}\approx 3\cdot 9,9658\approx 29,90$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $t\approx 30$ giờ. Kết quả trùng với đáp án nguồn (30).

Công thức lãi kép: $A=P(1+r{)}^n$.
Ta cần: $200(1+0,065{)}^n>400\iff 1,065^n>2\iff n>{\log }_{1,065}(2)\approx 11,0067$.
Do $n$ nguyên nên $n\ge 12$.