Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có công bội $q=\frac{32}{-64}=-\frac{1}{2}$. Số hạng tiếp theo sau $8$ là $8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-4$. Vậy đáp án A.

a) Số tiền mà anh Huy phải trả khi mua xe ô tô là $500\cdot 0,68=340$ (triệu đồng).

Tổng tiền lương năm đầu tiên anh Huy nhận được là $T_1=10\cdot 12=120$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ hai là $T_2=120\cdot 1,12-120=120\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ ba là $T_3=120\cdot 1,12^2-120\cdot 1,12=120\cdot 1,12\cdot 0,12$ (triệu đồng).

Số tiền tiết kiệm được sau năm thứ $n$ là
$$T_n=120\cdot 1,12^{n-1}-120\cdot 1,12^{n-2}=120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12\text{ (triệu đoˆˋng)}$$

Tổng số tiền tiết kiệm của anh Huy sau năm thứ $n$ là
$$T=T_2+T_3+\dots +T_n=120\cdot 0,12+120\cdot 1,12\cdot 0,12+\dots +120\cdot 1,12^{n-2}\cdot 0,12$$
$$=120\cdot 0,12\cdot \left(1+1,12+\dots +1,12^{n-2}\right)=120\cdot 0,12\cdot \frac{1,12^{n-1}-1}{1,12-1}=120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)$$

Để anh Huy đủ tiền mua xe thì
$$T\ge 340\iff 120\cdot \left(1,12^{n-1}-1\right)\ge 340\iff n-1\ge {\log }_{1,12}\left(\frac{23}{6}\right)\Rightarrow n\ge 12,8$$

Vậy tính từ khi đi làm, phải ít nhất 13 năm thì anh Huy mới đủ tiền mua ô tô.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=C_9^3\cdot C_8^3=84\cdot 56=4704$.

Gọi A là biến cố “Sơn thua” tức là số của Sơn nhỏ hơn số của Hải.

Gọi bộ 3 quả bóng Hải bốc được là $H=\{h_1;h_2;h_3\}$ với $h_1>h_2>h_3$.

Gọi bộ 3 quả bóng Sơn bốc được là $S=\{s_1;s_2;s_3\}$ với $s_1>s_2>s_3$.

Số của Hải là $\overline{h_1{h}_2{h}_3}$, số của Sơn là $\overline{s_1{s}_2{s}_3}$.

Trường hợp 1: Hải bốc được quả bóng số 9. Khi đó số của Hải luôn lớn hơn của Sơn. Số cách chọn là $C_8^2\cdot C_8^3=28\cdot 56=1568$.

Trường hợp 2: Hải không bốc được quả bóng số 9. Khi đó Hải và Sơn đều bốc 3 quả ngẫu nhiên từ tập $\{1;2;\dots ;8\}$.

Số cách chọn là $C_8^3\cdot C_8^3=56\cdot 56=3136$. Vai trò của Hải và Sơn như nhau, có 3 khả năng: Hải thắng, Sơn thắng và hòa. Số trường hợp hòa (hai bạn bốc giống nhau) là $C_8^3=56$.

Số trường hợp Hải thắng và Sơn thắng là như nhau và bằng $\frac{3136-56}{2}=1540$.

$$\Rightarrow n(A)=1568+1540=3108$$
$$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{3108}{4704}=\frac{37}{56}$$

(AI giải đề cho tôi)
Dân số sau $n$ năm: $P(n)=91,7\cdot (1,011{)}^n$ (triệu người). Cần $91,7\cdot (1,011{)}^n=113$, suy ra $(1,011{)}^n=\frac{113}{91,7}\approx 1,2323$. Vậy $n=\frac{\ln 1,2323}{\ln 1,011}\approx \frac{0,2089}{0,01094}\approx 19,1$. Vì dân số đạt mức 113 triệu khi $n\ge 19,1$, tức sau 20 năm (khi đó $91,7\cdot 1,011^{20}\approx 113,0$ triệu), nên năm cần tìm là $2015+20=2035$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút nên $N(t)=N(5)\cdot 2^{t-5}=64000\cdot 2^{t-5}$. Cần $64000\cdot 2^{t-5}=2048000\Rightarrow 2^{t-5}=32=2^5\Rightarrow t=10$ phút. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân nên $(3x-3{)}^2=(2x)(5x-5)$. Suy ra $9x^2-18x+9=10x^2-10x\iff x^2+8x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=-9$. Vì $x<0$ nên $x=-9$. Khi đó ba số hạng là $-18;-30;-50$, công bội $q=\frac{-30}{-18}=\frac{5}{3}$. Số hạng thứ tư: $u_4=-50\cdot \frac{5}{3}=-\frac{250}{3}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông nối các trung điểm cạnh của hình vuông cạnh $x$ có cạnh $\frac{x}{\sqrt{2}}$, nên diện tích giảm một nửa. Vậy $S(C_n)=\frac{1}{2^{n-1}}$. Với $n=2027$: $S(C_{2027})=\frac{1}{2^{2026}}$, do đó $a=2026$.

Đáp án mã đề 221 (bảng đáp án trang 5, dòng Câu 3 của Phần II): SĐSĐ, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Kiểm tra ý c): tổng lương 3 năm (36 tháng, 6 bậc lương, mỗi bậc 6 tháng) = 96·(1 + 1,05 + 1,05² + 1,05³ + 1,05⁴ + 1,05⁵) = 96·6,8019128... ≈ 652,98 triệu đồng, khớp mệnh đề nên c) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=3$, $u_6=-96$. Ta có $u_6=u_1{q}^5\Rightarrow q^5=\frac{-96}{3}=-32\Rightarrow q=-2$. Suy ra $u_5=u_1{q}^4=3\cdot (-2{)}^4=3\cdot 16=48$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tỉ số giữa số sản phẩm hai tháng liên tiếp: tháng 2 so tháng 1: 525/500 = 1,05 (tăng đúng 5%); tháng 3 so tháng 2: 551/525 ≈ 1,0495 ≈ 1,05 (đúng); tháng 4 so tháng 3: 569/551 ≈ 1,0327 (chỉ tăng khoảng 3,3%, sai); tháng 5 so tháng 4: 606/569 ≈ 1,065; tháng 6 so tháng 5: 636/606 ≈ 1,0495 ≈ 1,05 (đúng); tháng 7 so tháng 6: 668/636 ≈ 1,0503 ≈ 1,05 (đúng). Nếu tháng 4 đúng theo quy luật 5% thì giá trị phải là 551 · 1,05 ≈ 578,55 ≈ 579, và khi đó 606/579 ≈ 1,0466 ≈ 1,05 cũng hợp lệ. Vậy tháng bị nhập sai là tháng 4 (giá trị đúng khoảng 579 sản phẩm thay vì 569).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $q$ là hệ số tăng trung bình mỗi tháng. Vì sau 5 lần tăng, số sản phẩm tháng 6 gấp 3 lần tháng 1 nên $q^5=\frac{435}{145}=3$, suy ra $q=3^{1/5}\approx 1,2457$ (tức tăng khoảng $24,6\%\approx 25\%$ mỗi tháng). Tính số sản phẩm dự kiến từ tháng 1: tháng 2: $145\cdot 1,2457\approx 180,6\approx 180$ (đúng); tháng 3: $145\cdot 1,2457^2\approx 225$ (đúng); tháng 4: $145\cdot 1,2457^3\approx 280,3\approx 279$ (đúng); tháng 5: $145\cdot 1,2457^4\approx 349,2$, khác hẳn 390 trong bảng; tháng 6: $145\cdot 1,2457^5=435$ (đúng). Kiểm tra ngược từ tháng 6: $435/1,2457\approx 349,2\ne 390$, còn $390/1,2457\approx 313$ cũng không khớp tháng 4 là 279. Vậy số liệu của tháng 5 bị nhập sai (giá trị đúng khoảng 349).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ có $u_1=5$ và $u_{n+1}=-2u_n$ nên đây là cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=5$, công bội $q=-2$. Số hạng tổng quát: $u_n=u_1{q}^{n-1}=5\cdot (-2{)}^{n-1}$. Kiểm tra: $u_1=5\cdot (-2{)}^0=5$ đúng; $u_2=5\cdot (-2)=-10=-2\cdot 5$ đúng. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $1;2;4;8$ có công bội $q=2$ (mỗi số hạng gấp đôi số trước), nên là cấp số nhân. B là cấp số cộng; C và D không có công bội không đổi (D: $-32\cdot 2=-64\ne -63$).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=1$, $q=\frac{1}{2}$. Số hạng tổng quát: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$. Suy ra $u_7=1\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_{10}=u_9\cdot q$, nên $q=\frac{u_{10}}{u_9}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng gấp đôi mỗi phút nên theo cấp số nhân với công bội $q=2$. Sau 5 phút có $64000$ con. Số phút cần thêm để đạt $2048000$ con: $2048000:64000=32=2^5$, tức cần thêm 5 phút nữa. Vậy tổng thời gian là $5+5=10$ phút. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân: $S_8=u_1\frac{1-q^8}{1-q}=3\cdot \frac{1-(-2{)}^8}{1-(-2)}=3\cdot \frac{1-256}{3}=-255$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền tiết kiệm mỗi tuần lập thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=100$ (nghìn đồng), công bội $q=2$, gồm 10 số hạng. Tổng: $S_{10}=u_1\frac{q^{10}-1}{q-1}=100\cdot \frac{2^{10}-1}{2-1}=100\cdot 1023=102300$ nghìn đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=3$. a) $u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot 3^{n-1}$ đúng. b) $u_5=2\cdot 3^4=162$ đúng. c) $u_6=2\cdot 3^5=486\ne 468$ nên sai. d) $S_6=u_1\frac{q^6-1}{q-1}=2\cdot \frac{729-1}{2}=728$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1{q}^{n-1}=2\cdot 3^{n-1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=2\cdot 3^4=2\cdot 81=162$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_6=2\cdot 3^5=486\ne 468$, nên 468 không phải số hạng thứ 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_6=2\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=3^6-1=729-1=728$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng 6 số hạng đầu: $S_6=u_1\frac{1-q^6}{1-q}=3\cdot \frac{1-(-2{)}^6}{1-(-2)}=3\cdot \frac{1-64}{3}=-63$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có số hạng dương: $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow 54=6q^2\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=3$ (vì các số hạng dương nên $q>0$). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{6}{3}=2$.