Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số nhân (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $q^2=\frac{u_4}{u_2}=\frac{9}{4}$, vì $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$ (d đúng). Suy ra $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$ (a đúng). $u_5=u_4\cdot q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}\ne \frac{27}{2}$ (b sai). $u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right){\left(-\frac{3}{2}\right)}^7=\frac{8}{3}\cdot \frac{2187}{128}=\frac{729}{16}>0$, nên $-\frac{2187}{32}$ không phải số hạng thứ 8 (c sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}$, không phải $\frac{27}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=\frac{729}{16}>0$, khác $-\frac{2187}{32}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$q^2=\frac{9}{4}$ và $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_5=u_1{q}^4\Rightarrow 405=5q^4\Rightarrow q^4=81\Rightarrow q=3$ (vì $u_5>u_1$ nên $q>0$). Tổng: $S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{5(3^n-1)}{2}=1820\Rightarrow 3^n-1=728\Rightarrow 3^n=729\Rightarrow n=6$. Kiểm tra: $S_6=5(729-1)/2=1820$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau 10 năm theo lãi kép: $T=100000000\cdot (1+0,07{)}^{10}=100000000\cdot 1,07^{10}$. Tính $1,07^{10}\approx 1,967151357$, nên $T\approx 196715135,7$ đồng, làm tròn đến hàng nghìn: $196715000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị máy ủi theo năm tạo thành cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=3000$ triệu đồng và công bội $q=0,8$ (giảm $20\%$ mỗi năm). Sau 5 năm, giá trị còn lại là $u_6=3000\cdot (0,8{)}^5=3000\cdot 0,32768=983,04$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 24 giờ = 1440 phút, số lần nhân đôi là 1440/20 = 72 lần. Từ 1 tế bào ban đầu, số tế bào sau 72 lần nhân đôi là $2^{72}=4722366482869645213696$ tế bào.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có số hạng dương: $u_n=u_1{q}^{n-1}$, $q>0$. Ta có $\frac{u_{12}}{u_{10}}=q^2=\frac{6144}{1536}=4\Rightarrow q=2$ (vì các số hạng dương). Suy ra $u_{20}=u_{10}\cdot q^{10}=1536\cdot 2^{10}=1536\cdot 1024=1572864$. Vậy số hạng thứ 20 bằng $1572864$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=(-5)\cdot 3^n$ thì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{(-5)\cdot 3^{n+1}}{(-5)\cdot 3^n}=3$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên đây là cấp số nhân với công bội $q=3$. B) $u_n=(-5)+3^n$: $u_1=-2,u_2=4,u_3=22$, không thỏa $u_{n+1}=q{u}_n$. C) $u_n=(-5)\cdot 3^0=-5$ là dãy không đổi (công bội $q=1$ thường không được xét là cấp số nhân trong các bài tập dạng này, và đáp án chuẩn là A). D) $u_n=-5n+3^n$: $u_1=-2,u_2=1$, không thỏa tính chất cấp số nhân. Vậy dãy là cấp số nhân là $u_n=(-5)\cdot 3^n$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số nhân, $u_{13}^2=u_{11}\cdot u_{15}=25\cdot 400=10000$, nên $u_{13}=100$ (lấy giá trị dương vì $u_{11},u_{15}>0$). Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=-3$. Tổng 10 số hạng đầu: $$S_{10}=u_1\cdot \frac{1-q^{10}}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-3{)}^{10}}{1-(-3)}=2\cdot \frac{1-59049}{4}=2\cdot \frac{-59048}{4}=-29524.$$ Vậy $S_{10}=-29524$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có $u_1=2$, $q=-3$. Tổng 9 số hạng đầu: $S_9=u_1\frac{1-q^9}{1-q}=2\cdot \frac{1-(-3{)}^9}{1-(-3)}=2\cdot \frac{1+19683}{4}=2\cdot \frac{19684}{4}=2\cdot 4921=9842$. Vậy $S_9=9842$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_4=u_2{q}^2\Rightarrow 9=4q^2\Rightarrow q^2=\frac{9}{4}$. Vì $q<0$ nên $q=-\frac{3}{2}$ → a đúng. $u_1=\frac{u_2}{q}=\frac{4}{-3/2}=-\frac{8}{3}$ → b đúng. $u_5=u_{4}q=9\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}\ne \frac{27}{2}$ → c sai. $u_8=u_1{q}^7=\left(-\frac{8}{3}\right){\left(-\frac{3}{2}\right)}^7=\left(-\frac{8}{3}\right)\left(-\frac{2187}{128}\right)=\frac{729}{16}>0$, khác $-\frac{2187}{32}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$q^2=u_4/u_2=9/4$, do $q<0$ nên $q=-3/2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_2/q=4/(-3/2)=-8/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=u_{4}q=9\cdot (-3/2)=-27/2$, âm nên không bằng $27/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1{q}^7=(-8/3)(-3/2{)}^7=729/16>0$, không bằng $-2187/32$.

(AI giải đề cho tôi)
Số vi khuẩn tăng theo cấp số nhân với công bội $q=2$. Sau 5 phút có 64000 con, nên sau $5+k$ phút số lượng là $64000\cdot 2^k$. Giải $64000\cdot 2^k=2048000\Rightarrow 2^k=32=2^5\Rightarrow k=5$. Vậy cần sau $5+5=10$ phút thì có 2048000 con.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tầng 1 bằng nửa diện tích đế: $S_1=\frac{12288}{2}=6144m^2$. Mỗi tầng trên bằng nửa tầng dưới nên $(S_n)$ là cấp số nhân với $S_1=6144$, công bội $q=\frac{1}{2}$. Tầng 10 (tầng trên cùng): $S_{10}=S_1\cdot q^9=6144\cdot \frac{1}{512}=12m^2$. Vậy diện tích bề mặt tầng trên cùng là $12m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $n$ sao cho $u_n=u_1{q}^{n-1}=-8{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}=-\frac{2187}{16}$. Suy ra ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}=\frac{2187}{128}$. Vì $2187=3^7$ và $128=2^7$ nên $\frac{2187}{128}={\left(\frac{3}{2}\right)}^7$, do đó $n-1=7\Rightarrow n=8$. Vậy $-\frac{2187}{16}$ là số hạng thứ 8. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm: $100\cdot (1,07{)}^n$ triệu đồng. a) Sau năm thứ nhất: $100\cdot 1,07=107$ triệu đồng → đúng. b) Sau năm thứ hai: $100\cdot (1,07{)}^2=114,49$ triệu đồng $\ne 117$ → sai. c) Dãy tiền sau $n$ năm là cấp số nhân công bội $q=1,07$ (không phải $1,7$) → sai. d) $100\cdot (1,07{)}^{10}\approx 196,72>195$ triệu đồng → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sau 1 năm: $100\cdot (1+0,07)=107$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau 2 năm: $100\cdot (1,07{)}^2=114,49$ triệu đồng, không phải 117.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có công bội $q=1,07$, không phải $1,7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$100\cdot (1,07{)}^{10}\approx 196,72$ triệu đồng $>195$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá mét khoan thứ $n$ là số hạng thứ $n$ của cấp số nhân với $u_1=80000$, công bội $q=1,05$. Tổng tiền cho 40 mét: $S_{40}=80000\cdot \frac{1,05^{40}-1}{1,05-1}=1600000\cdot (1,05^{40}-1)$. Tính $1,05^{40}\approx 7,0399887$, nên $S_{40}\approx 1600000\cdot 6,0399887\approx 9663981,9$ đồng. Kết quả chính xác đến nghìn đồng: khoảng $9664000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Dân số tăng theo cấp số nhân với công thức $P_n=P_0(1+r{)}^n$, trong đó $P_0=97,58$ triệu người (tháng 12/2020), $r=1,14\%=0,0114$, và sau 5 năm (đến tháng 12/2025) ta có:
$$P_5=97,58\cdot (1,0114{)}^5.$$
Tính $(1,0114{)}^5$: $(1,0114{)}^2\approx 1,022930$; $(1,0114{)}^4\approx (1,022930{)}^2\approx 1,046386$; nhân thêm $1,0114$ được $(1,0114{)}^5\approx 1,058312$.
Vậy $P_5\approx 97,58\times 1,058312\approx 103,27$ triệu người.
Làm tròn đến hàng đơn vị: dân số nước ta vào tháng 12 năm 2025 khoảng $103$ triệu người.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x-3$, $x$, $2x+3$ lập thành cấp số nhân khi $x^2=(2x-3)(2x+3)=4x^2-9$, suy ra $3x^2=9$, tức $x=\pm \sqrt{3}$. Vì yêu cầu $x$ dương nên $x=\sqrt{3}$. Kiểm tra: với $x=\sqrt{3}$, ba số là $2\sqrt{3}-3<0$, $\sqrt{3}>0$, $2\sqrt{3}+3>0$; công bội $q=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-3}$ và $\frac{2\sqrt{3}+3}{\sqrt{3}}$ bằng nhau (do $x^2=(2x-3)(2x+3)$), nên thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=S_1=5^1-1=4$ và $u_2=S_2-S_1=(5^2-1)-(5-1)=24-4=20$. Vậy $u_2=20$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn góc của tứ giác tạo thành cấp số nhân với công bội $q=2$, góc bé nhất là $a$, khi đó tổng bốn góc là $a+2a+4a+8a=15a=360^{\circ }$, suy ra $a=24^{\circ }$. Vậy góc bé nhất bằng $24^{\circ }$, khớp với đáp án A.