Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x^2=1$, tức $x=\pm 1$. Hai điểm cực trị là $x_1=1$ và $x_2=-1$ (hoặc ngược lại), khi đó $x_1^2=x_2^2=1$ nên $T=x_1^2-x_2^2=1-1=0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (0).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-1{)}^2(x-2{)}^3$. Tại $x=-1$: $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (số mũ 1 lẻ) nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$: $(x-1{)}^2\ge 0$ nên $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=1$, không phải cực trị. Tại $x=2$: $(x-2{)}^3$ đổi dấu từ dương sang âm nên $x=2$ là điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(e^x-1)(x^2-x)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=0$ (từ cả hai nhân tử) và $x=1$. Xét dấu: với $x<0$: $(e^x-1)<0$, $(x^2-x)>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$: $(e^x-1)>0$, $(x^2-x)<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>1$: cả hai nhân tử dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (âm trên cả hai bên) nên không phải điểm cực trị. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
$y=x^3-9x+8$, $y^{\prime }=3x^2-9=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$. Điểm cực đại $x_{CD}=-\sqrt{3}$, điểm cực tiểu $x_{CT}=\sqrt{3}$. Hiệu điểm cực tiểu và điểm cực đại (theo hoành độ): $x_{CT}-x_{CD}=\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\approx 3,464\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-9=0\iff x=\pm \sqrt{3}$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-\sqrt{3}$ và cực tiểu tại $x=\sqrt{3}$. Hiệu giữa hoành độ điểm cực tiểu và hoành độ điểm cực đại là $\sqrt{3}-(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}\approx 3,464\approx 3,5$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$; $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$.
a) Hàm đa thức nên tập xác định $D=\mathbb{R}$ → Đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=3$, $y_{CT}=f(3)=27-54+27+2=2$ → Đúng.
c) Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến → Sai.
d) Trên đoạn $[-1;0]$ có $f^{\prime }(x)>0$ với $x<1$... thực tế với $x\in [-1;0]$, $f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)>0$ nên hàm đồng biến; giá trị nhỏ nhất tại $x=-1$: $f(-1)=-1-6-9+2=-14$, không phải 2 → Sai. (Lưu ý $f(0)=2$ là giá trị lớn nhất trên đoạn này.) Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-Đ-S-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=3$, nên $y_{CT}=f(3)=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;0]$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến; ${\min }_{[-1;0]}f=f(-1)=-14\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
y'=3x^2-6x=3x(x-2). a) y'<0 khi 0<x<2 nên nghịch biến trên (0;2) → đúng. b) y'=0 tại x=0, x=2, đổi dấu qua cả hai điểm nên có hai cực trị → đúng. c) Trên (0;+∞), hàm đạt cực tiểu (cũng là GTNN) tại x=2: y(2)=8-12+5=1 ≠ 2 → sai. d) Tại x=1: y(1)=1-3+5=3, y'(1)=3-6=-3, tiếp tuyến: y=-3(x-1)+3=-3x+6 ≠ -3x+3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y'=3x(x-2)<0 trên (0;2) nên hàm nghịch biến trên (0;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
y'=0 tại x=0 và x=2, y' đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (0;+∞) hàm đạt GTNN tại x=2 với y(2)=1, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
y(1)=3, y'(1)=-3, tiếp tuyến là y=-3x+6, không phải y=-3x+3.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+3x-1$ có đạo hàm $y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$ hoặc $x=3$. Xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;1)$ ta có $y^{\prime }>0$; trên $(1;3)$ ta có $y^{\prime }<0$; trên $(3;+\infty )$ ta có $y^{\prime }>0$. Vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=3$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ (tại $x=1$ hàm số đạt cực đại). Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x=3$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x^2-2)$ với 5 nghiệm đơn: $x=-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2}$. Xét dấu $f^{\prime }$ (với hệ số của $x^5$ dương): $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-\sqrt{2})$, $f^{\prime }>0$ trên $(-\sqrt{2};-1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }>0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;\sqrt{2})$, $f^{\prime }>0$ trên $(\sqrt{2};+\infty )$. Điểm cực đại là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$: tại $x=-\sqrt{2}$, $x=0$, $x=\sqrt{2}$. Vậy hàm số có 3 điểm cực đại, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x^2-1)(x^2-2)$ với các nghiệm đơn $x=-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2}$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x>\sqrt{2}$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(1;\sqrt{2})$ thì $f^{\prime }<0$; trên $(0;1)$ thì $f^{\prime }>0$; trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }<0$; trên $(-\sqrt{2};-1)$ thì $f^{\prime }>0$; với $x<-\sqrt{2}$ thì $f^{\prime }<0$. Điểm cực đại là nơi $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$: đó là $x=-1$ và $x=0$. Vậy hàm số có 2 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x-2{)}^2$. Xét dấu: với $x<0$, $f^{\prime }(x)<0$; với $0<x<1$, $f^{\prime }(x)>0$; với $1<x<2$ và $x>2$, $f^{\prime }(x)>0$ (do $(x-2{)}^2\ge 0$ luôn dương). Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=0$ (cực tiểu) và từ dương sang âm tại $x=1$ (cực đại). Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị.

Từ bảng suy ra hàm số $y=f(x)$ có 4 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, hàm số không có đạo hàm (có vạch kép) nhưng $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ và hàm liên tục trên đoạn qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Lời giải. Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$. Khi đó,

$$y^{\prime }=0\iff 3x^2-3=0\iff \{\begin{array}{ll}x=1& \Rightarrow y=0\\ x=-1& \Rightarrow y=4.\end{array}$$

Vậy $(\mathcal{C})$ có hai điểm cực trị là $A(1;0)$ và $B(-1;4)$.

Bình luận. Bài toán yêu cầu xác định các điểm cực trị của một hàm số bậc ba thông qua việc tính đạo hàm và giải phương trình $y^{\prime }=0$. Đây là dạng bài cơ bản trong chương trình giải tích lớp 12, chủ yếu kiểm tra khả năng thực hiện các thao tác tính toán tiêu chuẩn. Mức độ yêu cầu chưa cao và khả năng phân hóa thí sinh còn hạn chế so với tính chất của một đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh.

Hàm số có đạo hàm đổi dấu hai lần tại các điểm $x=-3;x=2$ nên hàm số có hai điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=2x^4+5x^2+7$. Ta có $y^{\prime }=8x^3+10x=2x(4x^2+5)$. Vì $4x^2+5>0$ với mọi $x$, nên $y^{\prime }=0\iff x=0$. Dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm số có đúng một điểm cực trị (điểm cực tiểu) tại $x=0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3+3x-1$, $y^{\prime }=-3x^2+3=0\iff x=\pm 1$, $y^{\prime }$ đổi dấu qua các nghiệm nên hàm có cực trị. B) $y=x^2$, $y^{\prime }=2x=0\iff x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm có cực tiểu tại $x=0$. C) $y=x^4-2x^2+1$, $y^{\prime }=4x^3-4x=0\iff x=0,\pm 1$, $y^{\prime }$ đổi dấu qua các nghiệm nên hàm có cực trị. D) $y=\frac{x-1}{x-2}$, $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, đạo hàm không đổi dấu nên hàm số không có cực trị. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$, nghịch biến trên $(-1;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. Hàm đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $f(-1)=4$ (A đúng), đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-5$ (B đúng). Khi $x\to -\infty$, $y\to 2$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 6$ nên đồ thị có 2 tiệm cận ngang $y=2$ và $y=6$ (C đúng). Tuy nhiên $y\to 6$ khi $x\to +\infty$ chỉ là giới hạn, hàm không đạt giá trị 6 nên không có giá trị lớn nhất bằng 6. Vậy mệnh đề D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (cả hai bên đều $+$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại là $x=0$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;2)$, đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $y=2$ (điểm cực đại $M(-1;2)$), đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $y=-1$. Vì hàm số đi tới $-\infty$ khi $x\to -\infty$ và $+\infty$ khi $x\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN và GTNN. Do đó mệnh đề B sai; A, C, D đúng.