Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+3x^2-9x$, có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$.

$y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$.

Bảng xét dấu của $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(-3;1)$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến); trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến).

Do đó hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ (đạo hàm đổi dấu từ $+$ sang $-$) và đạt cực tiểu tại $x=1$ (đạo hàm đổi dấu từ $-$ sang $+$).

Vậy điểm cực tiểu của hàm số là $x_{CT}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{2x^2+5x+4}{x+2}=2x+1+\frac{2}{x+2}$ (với $x\ne -2$).

Ta có $y^{\prime }=2-\frac{2}{(x+2{)}^2}=\frac{2x^2+8x+6}{(x+2{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x^2+4x+3=0\Rightarrow x=-1$ hoặc $x=-3$ (đều thuộc TXĐ).

Tính giá trị tương ứng:
- Tại $x=-1$: $y=\frac{2-5+4}{1}=1$, điểm cực trị $(-1;1)$.
- Tại $x=-3$: $y=\frac{18-15+4}{-1}=-7$, điểm cực trị $(-3;-7)$.

Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm cực trị:
$$d=\sqrt{(-1-(-3){)}^2+(1-(-7){)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\approx 8,246\approx 8,2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị của $f^{\prime }(x)$ là một đường cong bậc ba cắt trục hoành tại $x=-1$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=2$ (điểm cực tiểu của $f^{\prime }(x)$ nằm đúng trên trục hoành).

Xét dấu của $f^{\prime }(x)$:
- Với $x<-1$: $f^{\prime }(x)<0$.
- Khi qua $x=-1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, nên $x=-1$ là điểm cực tiểu của $f(x)$.
- Trên $(-1;+\infty )$: $f^{\prime }(x)\ge 0$, chỉ bằng $0$ tại $x=2$ (do tiếp xúc), nên $f^{\prime }(x)$ không đổi dấu khi qua $x=2$; do đó $x=2$ không phải điểm cực trị của $f(x)$.

Vậy hàm số $y=f(x)$ có đúng $1$ điểm cực trị (một cực tiểu tại $x=-1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=1$, tung độ $y=-2$, tức điểm $M(1;-2)$. Lưu ý: 'điểm cực tiểu' là điểm trên đồ thị nên chọn $M(1;-2)$, không phải $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=1$ (hai điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu bằng 0), và đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (một điểm cực đại, giá trị cực đại bằng 3). Vậy hàm số có ba điểm cực trị, hai điểm cực tiểu, giá trị cực đại bằng 3. Do đó các mệnh đề A, B, D đúng; mệnh đề C 'Hàm số có giá trị cực đại bằng 0' sai (giá trị cực đại là 3, còn 0 là giá trị cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$ (giá trị cực đại $f(3)=2$). Tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu f'(x): trên (−∞;−1) f'>0, trên (−1;0) f'<0 → x=−1 là điểm cực đại. Trên (0;1) f'>0, trên (1;2) f'<0, f liên tục tại x=1 (f' không xác định nhưng f xác định) → x=1 là điểm cực đại. Tại x=0: f' đổi dấu từ − sang + → cực tiểu. Tại x=2: f' không đổi dấu (− sang −) → không cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực đại (x=−1 và x=1).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=e^{-3x}(1-3x)$, $y^{\prime }=0\iff x=\frac{1}{3}$. Với $x<\frac{1}{3}$ thì $y^{\prime }>0$, với $x>\frac{1}{3}$ thì $y^{\prime }<0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;0)$ hàm đồng biến, trên $(0;1)$ nghịch biến, trên $(1;+\infty )$ đồng biến. Tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (hàm liên tục trên $\mathbb{R}$) nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0)=0$. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $f(1)=-1$. Do đó C đúng. A sai vì giá trị cực tiểu bằng $-1$ chứ không phải $1$. B sai vì hàm số không có GTLN, GTNN trên $\mathbb{R}$ (khi $x\to \pm \infty$, $y\to \pm \infty$). D sai vì hàm có hai cực trị là $x=0$ và $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+1)(x-3{)}^2$. Vì $(x-3{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }(x)$ do $(x+1)$ quyết định: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-1$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-1$ (riêng tại $x=3$ thì $f^{\prime }(3)=0$ nhưng không đổi dấu). a) Trên $(-\infty ;-1)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng. b) Trên $(-1;3)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến, không nghịch biến → Sai. c) và d) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu; tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Vậy hàm có đúng một điểm cực trị → c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$: $(x+1)<0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$, hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;3)$: $(x+1)>0$ và $(x-3{)}^2>0$ nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm đồng biến chứ không nghịch biến. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ chỉ đổi dấu tại $x=-1$ (từ âm sang dương); tại $x=3$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm chỉ có một điểm cực trị, không phải hai. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x=-1$ là điểm cực tiểu duy nhất vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$; $x=3$ không phải cực trị. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+16x=-4x(x-2)(x+2)$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm 2$ (đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương). Tại đó $y=-(\pm 2{)}^4+8\cdot (\pm 2{)}^2+2025=-16+32+2025=2041$. Vậy giá trị cực tiểu $y_{ct}=2041$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+6x^2-15x+2033$ có $y^{\prime }=3x^2+12x-15=3(x^2+4x-5)=3(x-1)(x+5)$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm cực đại là $x=-5$). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1+6-15+2033=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}$, TXĐ $x\ne 2$. Ta có $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Với $y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x-2{)}^3}$: tại $x=1$, $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=1$, $y(1)=\frac{1-4+5}{1-2}=-2$. Tại $x=3$, $y^{\prime \prime }>0$ nên đó là cực tiểu. Vậy điểm cực đại là $M(1;-2)$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x_0=\frac{5}{3}$. Tính $y_0=y\left(\frac{5}{3}\right)=-\frac{125}{27}+\frac{25}{9}+\frac{25}{3}-5=\frac{-125+75+225-135}{27}=\frac{40}{27}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1,1,4$ và $f^{\prime }$ đổi dấu tại cả ba điểm: $f^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }<0$ trên $(1;4)$, $f^{\prime }>0$ trên $(4;+\infty )$. a) Sai: $f$ có ba điểm cực trị (cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=4$), không phải hai. b) Sai: trên $(1;4)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, do đó $f$ không đồng biến trên toàn khoảng $(1;+\infty )$. c) Đúng: vì $f$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $1<2<4$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$. d) Đúng: trên đoạn $[-1;4]$, $f$ đồng biến trên $[-1;1]$ và nghịch biến trên $[1;4]$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức ${\max }_{[-1;4]}f=f(1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại ba điểm $x=-1,1,4$ nên $f$ có ba cực trị (cực tiểu tại $x=-1$, cực đại tại $x=1$, cực tiểu tại $x=4$), không phải hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;4)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên $f$ nghịch biến, do đó $f$ không đồng biến trên toàn khoảng $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f$ nghịch biến trên $(1;4)$ và $1<2<4$ nên $f(1)>f(2)>f(4)$. Mệnh đề đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-1;4]$, $f$ đồng biến trên $[-1;1]$ và nghịch biến trên $[1;4]$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=1$, tức ${\max }_{[-1;4]}f=f(1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-1$ là điểm cực đại; tại $x=0$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn âm) nên không phải cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-3x^2+2x+5=0\iff x=-1$ hoặc $x=\frac{5}{3}$. Với $x=-1$: $y=1+1-5-5=-8$; với $x=\frac{5}{3}$: $y=\frac{40}{27}$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ ($y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=-1$). Vậy điểm cực tiểu là $(-1;-8)$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$ qua từng điểm: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu $\Vert$) nhưng $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$, nên $x=1$ cũng là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ giữ dấu $+$ nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=-1$ và $x=1$).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$. $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ nên hàm đạt cực tiểu tại $x=1$, $y(1)=1-3+1=-1$. Vậy điểm cực tiểu là $(1;-1)$, trùng đáp án B.