Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đặc trưng trung tâm mẫu ghép nhóm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai chính là trung vị. Với $N=40$, ta xét vị trí $N/2=20$. Tần số tích lũy: $2;7;22;30;39;40$. Vì $7<20\le 22$ nên trung vị thuộc nhóm $[20;25)$ với nhóm trước có tần số tích lũy $7$, tần số nhóm là $15$, độ dài nhóm $5$. Do đó: $Me=20+(20-7)\cdot \frac{5}{15}=20+\frac{65}{15}=20+\frac{13}{3}=\frac{73}{3}$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu nhóm: dùng giá trị đại diện của mỗi nhóm (trung điểm). Các trung điểm lần lượt là 12,5; 17,5; 22,5; 27,5; 32,5; 37,5.
Tổng: $12,5\cdot 2+17,5\cdot 5+22,5\cdot 15+27,5\cdot 8+32,5\cdot 9+37,5\cdot 1=25+87,5+337,5+220+292,5+37,5=1000$.
Số trung bình: $\bar{x}=\frac{1000}{40}=25$ (nghìn đồng). Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
N = 40 nên tứ phân vị thứ nhất là giá trị thứ $\frac{40}{4}=10$. Tần số tích lũy: $[10;15)$: 2; $[15;20)$: 7; $[20;25)$: 22. Vì $7<10\le 22$, giá trị thứ 10 nằm trong nhóm $[20;25)$. Áp dụng công thức: $Q_1=20+\frac{10-7}{15}\cdot (25-20)=20+\frac{3}{15}\cdot 5=20+1=21$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề.

Chọn B. Tần số lớn nhất là 31 nên nhóm chứa mốt là [60;80). Ta có: $j=4,a_4=60,m_4=31,m_3=23,m_5=29,h=20$. Do đó $M_o=60+\frac{31-23}{(31-23)+(31-29)}\times 20=76$. Ý nghĩa: Đa số các con ong có tuổi thọ là 76 ngày.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh: 3+9+18+36+21+6+4+3=100.
a) Tần số tương ứng các giá trị đại diện 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5. Trung bình = (0,5·3+1,5·9+2,5·18+3,5·36+4,5·21+5,5·6+6,5·4+7,5·3)/100 = 362/100 = 3,62 giờ ≠ 3,36 giờ → Sai.
b) Số học sinh dùng ít hơn 4 giờ: 3+9+18+36 = 66 học sinh ≠ 36 → Sai.
c) Nhóm chứa mốt là [3;4) có tần số lớn nhất 36. Mốt = 3 + (36−18)/((36−18)+(36−21)) = 3 + 18/33 ≈ 3,55 giờ → Đúng.
d) Tính phân vị 75%: tổng tần số đến nhóm [3;4) là 66 < 75, nên x75 thuộc nhóm [4;5): x75 = 4 + (75−66)/21 · 1 = 4 + 3/7 ≈ 4,43 giờ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 7115: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian trung bình = 362/100 = 3,62 giờ, không phải 3,36 giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số học sinh dùng ít hơn 4 giờ là 3+9+18+36 = 66 học sinh.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mốt = 3 + (36−18)/((36−18)+(36−21)) = 3 + 18/33 ≈ 3,55 giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phân vị 75%: x75 = 4 + (75−66)/21 ≈ 4,43 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=4+6+8+5+2=25$. Vị trí tứ phân vị thứ nhất: $\frac{n}{4}=\frac{25}{4}=6,25$. Xét tần số tích lũy: nhóm $[0;2)$ có 4; nhóm $[2;4)$ có $4+6=10\ge 6,25$. Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là $[2;4)$, đáp án B (khớp đáp án nguồn).

a) Sai. Cỡ mẫu là $n=2+6+12+4+1=25$.
b) Đúng. Trung vị của mẫu số liệu $x_1;\dots ;x_{25}$ là $x_{13}\in [160;165)$.
c) Sai. Tần số của nhóm chứa trung vị là $n_m=12$.
d) Đúng. $M_e=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}.(165-160)=161,875$.
a) Sai. Cỡ mẫu là $n=2+6+12+4+1=25$.
b) Đúng. Gọi $x_1;x_2;x_3;\dots ;x_{25}$ là cân nặng của 25 quả táo xếp theo thứ tự không giảm. Do $x_1,x_2\in [150;155)$; $x_3,\dots ,x_8\in [155;160)$; $x_9,\dots ,x_{20}\in [160;165)$ nên trung vị của mẫu số liệu $x_1;x_2;x_3;\dots ;x_{25}$ là $x_{13}\in [160;165)$.
c) Sai. Ta có: $n=25$. Tần số của nhóm chứa trung vị là $n_m=12$.
d) Đúng. $C=2+6=8$, $u_m=160$, $u_{m+1}=165$. Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $$M_e=u_m+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_m}.(u_{m+1}-u_m)=160+\frac{\frac{25}{2}-8}{12}.(165-160)=161,875.$$

Trung vị là $M_e=\frac{x_{60}+x_{61}}{2}$ nên nhóm chứa trung vị là nhóm $[40;60)$, chọn ngẫu nhiên một học sinh từ 120 học sinh trên, xác suất chọn được học sinh có điểm thuộc nhóm chứa trung vị là $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$. (Nguồn in "nhọn ngẫu nhiên" - lỗi đánh máy của đề gốc, giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=120$, trung vị là trung bình của phần tử thứ 60 và 61. Tần số tích lũy: $[0;20)$: 25; $[20;40)$: $25+34=59$; $[40;60)$: $59+15=74$. Vì $59<60\le 74$, trung vị thuộc nhóm $[40;60)$ có 15 học sinh. Xác suất $=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$. Khớp đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: $[0;20)$: 25; $[20;40)$: $25+34=59$; $[40;60)$: $59+15=74$. Vì $n=120$, trung vị là giá trị thứ 60 (và 61), thuộc nhóm $[40;60)$ vì $59<60\le 74$. Xác suất chọn được học sinh thuộc nhóm này là $\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1201, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=2+3+12+15+24+2+2=60$, nên trung vị là giá trị thứ 30. Cộng dồn tần số: 2, 5, 17, 32 → giá trị thứ 30 thuộc nhóm $[15,5;18,5)$ (nhóm có tần số 15, biên độ 3). Áp dụng công thức trung vị mẫu ghép nhóm: $Me=15,5+\frac{30-17}{15}\cdot 3=15,5+2,6=18,1$ (phút). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11. Tần số tích lũy: nhóm $[5;7)$ có 2, nhóm $[7;9)$ có $2+7=9$, nhóm $[9;11)$ có $9+7=16$. Vì $9<10,11\le 16$ nên cả giá trị thứ 10 và thứ 11 đều thuộc nhóm $[9;11)$, do đó trung vị thuộc nhóm $[9;11)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu số liệu nhóm: lấy giá trị đại diện của mỗi nhóm là trung điểm. Các trung điểm lần lượt là 1, 3, 5, 7, 9. Số trung bình: $\bar{x}=\frac{9\cdot 1+16\cdot 3+13\cdot 5+10\cdot 7+12\cdot 9}{60}=\frac{9+48+65+70+108}{60}=\frac{300}{60}=5$. Vậy chọn đáp án B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, phân vị thứ ba ứng với vị trí $\frac{3n}{4}=15$. Tần số tích lũy: $[5;7)$: 2; $[7;9)$: 9; $[9;11)$: 16. Vì giá trị thứ 15 nằm trong nhóm $[9;11)$ nên $Q_3=9+\frac{15-9}{7}\cdot 2=9+\frac{12}{7}\approx 10,71\approx 11$ (triệu đồng). Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tần số tích lũy: 6; 15; 30; 34; 35 với $n=35$. Trung vị là giá trị thứ $\frac{35+1}{2}=18$, thuộc nhóm $[7,5;8)$ vì $15<18\le 30$. Áp dụng công thức trung vị mẫu số liệu ghép nhóm: $$Me=7,5+\frac{\frac{35}{2}-15}{15}\cdot (8-7,5)=7,5+\frac{2,5}{15}\cdot 0,5=7,5+\frac{1}{12}\approx 7,5833\approx 7,58.$$ Kết quả khớp đáp án nguồn 7,58.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[40;60)$ với $n=12$. Mốt: $Mo=40+\frac{12-9}{(12-9)+(12-10)}\cdot 20=40+\frac{3}{5}\cdot 20=52$. Khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây $n=35$, trung vị là giá trị thứ $\frac{35+1}{2}=18$. Tần số tích lũy: nhóm $[6,5;7)$ có 6, nhóm $[7;7,5)$ có $6+9=15$, nhóm $[7,5;8)$ có $15+15=30$. Vì $15<18\le 30$ nên trung vị thuộc lớp $[7,5;8)$ với $n_M=15$, $C=15$, $h=0,5$, $a_M=7,5$. Áp dụng công thức trung vị mẫu ghép nhóm: $Me=a_M+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_M}\cdot h=7,5+\frac{17,5-15}{15}\cdot 0,5=7,5+\frac{2,5}{30}\approx 7,5833\approx 7,58$ (m). Kết quả trùng với đáp án nguồn 7,58.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu $n=20$, vị trí phân vị thứ ba: $\frac{3n}{4}=15$. Tần số tích lũy: $2;9;16;19;20$. Giá trị thứ 15 nằm trong nhóm $[9;11)$ (nhóm có tần số tích lũy đầu tiên $\ge 15$ là 16). Với $x_3=9$, $n_3=7$, $c{f}_2=9$, $h=2$: $Q_3=9+\frac{15-9}{7}\cdot 2=9+\frac{12}{7}\approx 10,71\approx 11$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có tần số lớn nhất là $[40;60)$ với tần số $12$. Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: $Mo=40+\frac{12-9}{(12-9)+(12-10)}\cdot 20=40+\frac{3}{5}\cdot 20=52$. Khớp đáp án D (mã đề 111, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số ghép nhóm: thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện (trung điểm). Các trung điểm lần lượt là $6,5;9,5;12,5;15,5;18,5$ với tần số $30;55;45;30;20$. Cỡ mẫu $n=30+55+45+30+20=180$. Mức thu nhập trung bình: $$\bar{x}=\frac{6,5\cdot 30+9,5\cdot 55+12,5\cdot 45+15,5\cdot 30+18,5\cdot 20}{180}=\frac{195+522,5+562,5+465+370}{180}=\frac{2115}{180}=11,75.$$ Vậy mức thu nhập trung bình là $11,75$ triệu đồng, khớp với đáp án A (bảng đáp án nguồn mã đề 202 câu 7 là A, trùng khớp).